Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

Нормальные формы поверхностей конечной связности Будем относить к одному и тому же классу поверхностей все поверхности, которые могут быть топологически отображены одна на другую, Для того чтобы две поверхности конечной связности принадлежали к одному и тому же классу, необходимы следующие условия: !) обе поверхности должны быть либо замкнуты, либо иметь одинаковое число граничных кривых; 2) поверхности должны быть либо обе ориентируемы, либо обе неориентируемы; ') Эта задача решена в 1950 г. А. С. Леабнным.

— Прим, ред. гл,ю. топология 3) обе поверхности должны иметь одинаковую связность. Необходимость первого условия очевидна. Второе условие можно выразить еще так: всякая поверхность Р, которая может быть топологически отображена на ориентируемую поверхность 6, также ориентируема.

В такой форме это утверждение легко доказать, В самом деле, ориентация поверхности С приводит при топологическом отображении к ориентации поверхности Р. Точно так же легко убедиться в необходимости третьего условия: связность обусловливает существование системы разрезов, которая при топологическом отображении переходит а систему разрезов одинаковой структуры на другой поверхности.

Более подробное рассмотрение показывает, что названные три условия для возможности топологического отображения двух поверхностей также и достаточны. Именно, если относительно некоторой поверхности известно, ориентируема она или нет, и если известны число ее краевых кривых и связность, то всегда можно применить способ, подобный тому, который мы применяли для тора и для ориентируемых замкнутых поверхностей Рас. 322.

со связностью 5 и 7 (рис. 282 — 287, с. 298 — 300). При помоши соответствующей системы разрезов поверхность может быть превращена в многоугольную область, границы которой целиком или частично отождествлены, причем как структура системы разрезов, так и число граничных кривых и способ склеивания границ многоугольника полностью определены указанными тремя условиями. Следовательно, если две поверхности имеют одни и те же данные, то они могут быть топологическн отображены на одну и ту же многоугольную область и, следовательно, друг на друга. Ориентируемые замкнутые поверхности рода р согласно этому способу приводят к 4р-угольнику, склеивание сторок которого изображено на рис.

322. Эти 4р-угольники дают нам ряд нормальных типов всех ориентируемых замкнутых поверхностей. В самом деле, всякая подобная поверхность имеет нечетную связность Ь = 2р+1. Другой полный ряд нормальных типов образует шар, тор и кренделевидные поверхности с р-дырами. Римановы поверхности теории функций частично содержатся в этом подразделении, хотя их вид не дает возможности предполагать это. Это — поверхности, которые подобно сферическому изображению большинства минимальных поверхностей можно наложить на шар в несколько слоев, причем эти слои в точках ветвления связаны друг с другом.

Все эти поверхности ориентируемы, так как ориентация поверхности шара может быть пе- з м ноем. фогмы повегхностси конечнои связности зы ренесена на риманову поверхность, наложенную на шар. Замкнутые поверхности получаются тогда и только тогда, если исходить от алгебраических функций, в то время как трансцендентные функции всегда приводят к незамкнутым поверхностям.

Мы не будем на этом подробно останавливаться, так как существует много хороших книг по геометрической теории функций. Для поверхностей с границей можно также подобрать ряд многоугольников так, что всякая поверхность с конечным числом граничных кривых и конечной связности будет отображаться топологически на один и только один из этих многоугольников. Квадратные модели плоского кругового кольца и мебиусовой поверхности могут служить примерами подобных многоугольников. Для ориентируемых поверхностей с границами можно получить еше более наглядные нормальные формы, если вырезать в шаре, торе или кренделевидной поверхности некоторое число дыр (рис.

273), Чтобы получить и для неориентируемых поверхностей подобные же формы, можно исходить от скрещенного колпака, который мы построили как модель мебиусовой поверхности (с. 315). Для этого вырежем в шаре определенное число дыр и закроем некоторые из них скрещенными колпаками. Всякая неориентируемая поверхность конечной связности эквивалентна одной из таких поверхностей.

Число скрешениых колпаков и открытых дыр однозначно определяется числом граничных кривых и связностью. Скрещенный колпак имеет одну кривую самопересечения и две особые точки. Односторонние поверхности без особых точек мы уже встречали в виде бутылки Клейна и поверхности Боя, Все другие неориентируемые замкнутые поверхности могут быть осуществлены без особенностей, если к поверхности Клейна, или к поверхности Боя, присоединить подходящее число ручек. Но никогда подобная поверхность не может быть осуществлена без самопересечений, как об этом уже упоминалось выше.

Однако в четырехмерном пространстве все неориентируемые поверхности могут быть представлены без особенностей и без самопересечений. В этом пространстве в мы будем обозначать его через Р4, в то время как трехмерное пространство будем обозначать через Рм — следует представлять себе )7, так же расположенным, как и плоскость в Р,. Прежде всего построим в Р, модель скрещенного колпака, свободную от самопересечений и от особенностей. Для этого представим себе некоторый скрешенный колпак в )гз, причем Из расположено в Яе Удалим из Рз круг е, имеющий диаметром отрезок самопересечения (рис. 307, с. 314). В пространстве Рэ мы можем, закрепив окружность круга, так выпучить внутренность круга, что ни одна внутренняя точка деформированной поверхности не будет лежать в плоскости окружности.

Таким же образом мы можем Гл. ть тополОГия 322 теперь в пространстве Р4 внутренность круга е деформировать в такую поверхность ~, что граница этой поверхности не отры. вается от скрещенного колпака пространства 444ь между тем как внутренность поверхности ~ целиком выпячивается из пространства й4,. При такой деформации скрещенный колпак перейдет в некоторую поверхность Р пространства Ь4, которая, очевидно, не имеет ни самопересечений, ни особенностей. Если мы теперь поместим в пространство 4х4 шар с некоторым числом дыр и некоторые из этих дыр закроем не скрешенными колпаками, а поверхностями, подобными Р, то получим свободные от особенностей и самопересечений нормальные формы для всех неориентируемых поверхностей конечной связности.

Другая проблема состоит в том, чтобы представить поверхности заданной структуры алгебраическими уравнениями возможно более низкой степени. Так, мы упоминали уже о поверхности Штейнера как модели проективной плоскости. Существуют ли алгебраические поверхности вида поверхности Боя, еще неизвестно. В пространстве 4т4 проективную плоскость можно осуществить без самопересечений и особенностей при помоши очень простых уравнений. Этот вопрос будет описан в добавлении к настоящей главе. Вопрос о топологической эквивалентности переносится с поверхностей на образы трех и большего числа измерений. При этом мы приходим к группам Бетта, в теории которых связность и ориентируемость поверхности рассматривается с гораздо более обшей точки зрения.

Сравните изложенное, например, с упомянутой на с. 288 книгой П. С. Александрова и В. А, Ефремовича. $ 49. Топологическое отображение поверхности на себя. Неподвижные точки. Классы отображений. Универсальная накрывающая тора Простейшее топологическое отображение некоторого образа на самого себя состоит в том, что этот образ как целое непрерывно деформируется в самом себе.

Такое отображение мы бу. дем называть деформацией. Движения плоскости в самой себе суть деформации. Наоборот, зеркальное отражение плоскости относительно прямой дает пример топологического отображения, ие представляюшего деформации. В самом деле, при зеркальном отражении направление обхода всякого круга изменяется на обратное, между тем как деформация оставляет направление обхода неизменным. Точка, которая отображается на самое себя, называется неподвижной точкой отображения. Мы теперь докажем, что всякое непрерывное отображение круга на себя должно обладать по з м топологнчиское отовнхжеиие повигхности пх севя зэз крайней мере одной неподвижной точкой; при этом точки окружности мы также причисляем к кругу.

Допустим, в противо. положность нашему утверждению, что существует непрерывное отображение круга е на себя, не имеющее неподвижных точек. Тогда мы можем во всякой точке Р круга е начертить стрелку, направленную из точки Р в ее образ; такое построение нельзя было бы осуществить только в неподвижных точках. Вследствие предположеиной непрерывности отображений направление стрелки должно меняться непрерывно от точки к точке.

Рас. смотрим теперь стрелку в какой-нибудь точке окружности, и пусть зта точка один раз пробегает окружность в направлении часовой стрелки; при этом и касательная в этой точке также повернется один раз в направлении вращения часовой стрелки. Мы утверждаем, что и направление стрелки в этой точке точно так же повернется один раз в направлении часовой стрелки. В самом деле, угол между стрелкой и касательной всегда отличен от нуля или от некоторого кратного и, так как стрелка в точках окружности всегда направлена внутрь круга и никогда не направлена по касательной. Но если бы при одном повороте точки по окружности число оборотов стрелки отличалось от числа оборотов касательной, то по крайней мере однажды должно было бы случиться, чтобы на окружности оба направления совпали или были прямо противоположны.

Аналогичным образом мы рассмотрим число оборотов стрелки для какой-нибудь окружности й, концентричной с окружностью -нашего круга н расположенной внутри круга. И в этом случае стрелка должна один раз повернуться в направлении вращения часовой стрелки, если начальный конец стрелки, взятый на окружности, пробегает окружность один раз в направлении вращения часовой стрелки; в самом деле, в противном случае число оборотов стрелки должно было бы где-то измениться скачкообразно при непрерывном сокращении окружности взятого круга до концепт. рической окружности й, а это противоречило бы непрерывности распределения стрелок внутри круга. В то же время, если мы будем непрерывно стягивать окружность й к центру М круга, то направление стрелки во всех точках окружности й должно все меньше отличаться от одного определенного направления, а именно, направления стрелки в точке М.

Характеристики

Список файлов книги