Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 70

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

Таким образом число оборотов для достаточно малых окружностей должно было быть равно нулю. Итак, мы пришли к противоречию, Следовательно, не существует непрерывного отображения круга на самого себя без неподвижных точек. Подобным же образом можно показать, что при всяком не. прерывном отображении сферы на себя либо должна быть неподвижная точка, либо точка, которая переходит в диаметрально противоположную точку. В противном случае для всякой 324 Гл ть тополОГия точки можно было бы однозначно определить дугу большого круга, соединяющую эту точку с ее образом.

Таким способом мы получили бы всюду непрерывное поле стрелок на поверхности шара и, рассматривая число оборотов, можно было бы доказать, что подобное поле невозможно. Это показывает, что на земле невозможно всюду установить указатели путей, направления которых непрерывно изменялись бы от одного места к другому. Принимая сферу с отождествленными диаметрально противоположными точками за модель проективной плоскости, можно отсюда получить следствие, что всякое непрерывное отображение проектнвной плоскости на себя обладает неподвижной точкой. Для того чтобы лучше обозреть топологические отображения заданной поверхности на себя, можно разбить совокупность отображений на классы. Будем считать два отображения принадлежащими к одному и тому же классу, если они отличаются друг от друга только одной деформацией; деформации образуют класс тождественных преобразований, На сфере можно получить отображение, не принадлежащее к этому классу, если отобразить всякую точку в диаметрально противоположную ей точку; в самом деле, очевидно, что при таком отображении направление обхода для малых кругов меняется на обратное, Таким образом мы нашли два класса отображений для сферы.

Более подробное рассмотрение, которое нас завело бы слишком далеко, показывает, что иа сфере нет других классов отображений. Поэтому все топологические отображения проективной плоскости суть деформации. Наоборот, на торе существует бесконечно много классов. Для того чтобы рассмотреть некоторые из этих классов, представим себе, что тор разрезан вдоль одного из меридианов и превращен в круговой цилиндр с двумя краевыми окружностями, Закрепим неподвижно одну окружность и станем закручивать цилиндр вокруг самого себя так, чтобы вторая окружность сделала Й оборотов; всякая прямолинейная образующая цилиндра при этом обратится в винтовую линию, обходящую ось цилиндра Й раз.

Если мы теперь снова склеим оба края, то получим топологическое отображение тора на самого себя. При этом все точки склеенных окружностей будут неподвижными точками, а во всех остальных точках отображение получается из отображения кругового цилиндра. Образующие п11- линдра соответствуют параллелям тора, и если определить дополнительно соответствие обеих поверхностей также и для частей пространства, заключенных внутри них, то можно ось цилиндра поставить в соответствие с «осью» тора, т.

е, с траекторией центра окружности, вращением которой образуется тор. При отображении тора, которое мы получили, параллели тора % м ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА СЕТЯ эзэ превратились в такие замкнутые кривые на торе, которые обходят винтообразно ось тора й раз. Для такой кривой число й не может измениться при деформации тора. Поэтому два отображения тора, для которых значения й различны, никогда не могут принадлежать к одному и тому же классу.

Однако было бы неправильным, если бы мы захотели воспользоваться аналогичным способом для доказательства сушествования бесконечно большого числа классов отображений на бутылке Клейна. Винтообразным кривым на поверхности цилиндра соответствуют на бутылке Клейна замкнутые кривые, которые могут быть деформированы одна в другую и при различных значениях й. Разницу, которая в этом отношении существует между тором и бутылкой Клейна, можно уяснить на квадратных моделях. На бутылке Клейна имеется лишь конечное число классов отображений. В случае тора наш способ отнюдь не исчерпывает всех классов отображений. Полное обозрение всех отображений становится возможным для тора лишь при помощи универсальной накрывающей тора.

Для того чтобы представить себе эту поверхность, вообразим, что евклидова плоскость навивается иа бесконечно длинный круговой цилиндр, который при этом, конечно, бесконечно много раз обертывается плоскостью. Мы уже гсолнократно превращали обрезанный с двух сторон цилиндр В тор. Точно так же можно превратить в тор бесконечно длинный цилиндр, причем ось цилиндра перейдет в «ось» тора, которую ось цилиндра будет описывать бесконечно много раэ; цилиндр ж" будет бесконечное число раз покрывать самого себя.

Евклидг за плоскость при нашем способе отобразится топологически на поверхность, покрывающую тор бесконечным числом слоев без складок и без точек ветвления. Эта поверхность и есть универсальная накрывающая тора. Каждый оборот меридиана или параллели тора ведет от одного слоя поверхности к другому. Проведем иа торе каноническую систему разрезов (Один меридиан и одну параллель), которая обычным способом превратит тор в прямоугольник с отождествленными противоположными сторонами. Если теперь отметить на накрывающей поверхности эсе точки, расположенные на кривых системы разрезов, и превратить накрывающую поверхность обратно в плоскость, то отмеченные точки покроют на плоскости систему прямых, разбивающую плоскость на бесконечное множество прямоугльных полей, причем эти поля расположены так же, как фундаментальные области плоской федоровской группы переносов (рис. 72, с.

79). Каждое поле соответствует одному слою накрывающей поверхности. Для того чтобы убедиться в этом, мы построим универсальную накрывающую тора еще другим способом, Представим себе тор как 326 ГЛ. ЧЬ ТОПОЛОГИЯ квадрат с отождествленными противоположными сторонами. Так же как при построении плоской квадратной точе пюй решетки (с. 40), образуем из подобных квадратов плоскую, бесконечно протяженную в обе стороны полосу 5, ограниченную двумя параллельными прямыми а и Ь.

Полоса 5 превратится в бесконечно длинный круговой цилиндр С, если мы путем соответствующего изгибания этой полосы совместим прямые а и Ь. Квадраты, из которых образована полоса 5, разбивают цилиндр С на поля, ограниченные окружностями. Мы вновь получим тор, если отождествим две окружности, ограничивающие цилиндрическое поля. Если описанным выше способом наложим цилиндр на тор, то все эти поля наложатся одно на другое, причем каждое поле покроет тор один раз целиком, а граничные линии расположатся по канонической системе разрезов тора, Теперь применим к нашей полосе 5 такой же способ, какой мы применяли при построении квадратной решетки: составим всю плоскость из подобных полос. Если мы затем наложим плоскость бесконечное число раз на цилиндр С так, чтобы опять полоса 5 перешла в цилиндр С, то, очевидно, все полосы налох:атся на полосу 5 и деление на квадраты каждой полосы совпадет с делением полосы 5. Если теперь опять накрутим цилиндр С на тор, то все квадраты плоскости наложатся друг на друга, а их границы будут расположены по канонической систече разрезов тора, как мы и утверждали, Это второе построение дает нам возможность получить осо« бенно простое отображение универсальной накрывающей У тора на плоскость Е.

Именно, если считать эквивалентными все точки поверхности У, расположенные на одной и той же точке тора, то в плоскости Е всякая система эквивалентных точек поверхности У представится квадратной точечной решеткой. Назовем теперь (Ьундажентальной группой (г) тора группу всех топологических отображений поверхности У на себя, которые переводят всякую точку в эквивалентную ей, Тогда, очевидно, группа (Г) при отображении С' -~- Е перейдет в группу перено.

сов, которая переводит квадратную решетку в себя. Пусть теперь д — какое-нибудь другое топологическое отображение поверхности У на себя, которое переводит, правда, ие всякую точку в эквивалентную ей, но всегда переводит эквива« лентные точки в эквивалентные же. Тогда отображение и соответствует определенному топологическому отображению й тора на себя.

Именно, всякая точка Р тора покрыта системой бесконечного множества эквивалентных точек (~) поверхности У, Все образы Я') точки 9 по определению д покрывают одну и ту же точку тора Р'. Таким образом отображение у определяет отображение Р- Р', и это топологическое отображение тора на себя мы называем 6.

Можно показать, обратно, что для каждого злу э м. коноормное отоврлжвние тора заданного отображения й тора можно найти отображение дг поверхности наложения, которое находится в этом соотношении с отображением й. Тогда д определено только с точностью до произвольного отображения нз фундаментальной группы ()). Таким способом мы можем теперь полностью обозреть все классы отображений тора, Мы приведем это следствие здесь без подробного обоснования; отображение д при этом заменяется отображением у в плоскости Е, в которое я переходит при отображении Р— ьЕ.

Характеристики

Список файлов книги