Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

До сих пор мы рассматривали только такие поверхности, которые расположены целиком в конечной части пространства н не имеют границ. Можно распространить понятие связности и на более общие случаи. Сначала предположим, что поверхность лежит целиком в конечной части пространства, но имеет границу, состоящую из некоторого числа замкнутых кривых. Пусть эти кривые не пересекаются друг с другом и не пересекают самы себя. Тогда мы получим такие куски поверхностей, какие изображены на рис. 277. Другие типы подобных поверхностей можно получить, если представить, что изображенные на -рис. 275 ~В© 6ВЯВ Рис.

277. Рис. 278 и 276 замкнутые поверхности — полые, и если в них проделать произвольное число дыр (рис. 278')). Для этих поверхностей мы также определим связность при помощи системы кривых с единственным отличием от данного прежде определения: первая кривая не должна быть замкнутой, а должна соединять две точки границы; каждая добавляемая кривая должна начинаться в точках границы. Тогда поверхности, изображенные на рис. 278, должны иметь связности 2, 3, 7, 8.

Определение связности при помощи замкнутых кривых нельзя непосредственно перенести на поверхности, имеющие границу. Допустим теперь, что поверхность, имеющая или не имеющим границу, простирается в бесконечность. Тогда топологическагв структура поверхности зависит от того, будем ли мы рассматривать ее в метрическом или в проективном пространстве. В первом случае мы ограничимся конечными точками. Тогда про- ') В противоположность поверхностям, изображенным на рис. 277, поверхности рис. 278,б,в,г не могут быть выреааны из плоеного листа бумагж даже при любой его деформации. (Выступаюпгее здесь различие играет роль в геометрической теории функций.) $4з. пОВВРхнОсти странство можно рассматривать так, как будто оно отделено от бесконечности сферой очень большого радиуса.

Мы можем заменить поверхность той ее частью, которая расположена внутри этой сферы. Рассматриваемая часть поверхности представляет ограниченный кусок, расположенный в конечной части пространства, к которому мы можем применить теорию, изложенную выше '). В проективном пространстве мы встречаем совсем другие сочутношения. Мы выше приписывали каждой прямой одну единственную, бесконечно удаленную точку, рассматривая прямую как замкнутую линию; обе ее ветви, простирающиеся в бесконечность, сливаются друг с другом в бесконечно удаленной точке прямой.

Кроме того, эта точка принадлежит одновременно всем прямым, параллельным друг другу. В соответствии с таким представлением, проективное пространство в целом также замыкается своими бесконечно удаленными точками. Поверхность содержит бесконечно удаленную тачку, если подвижная точка при движении по ией в некотором направлении все более приближается к определенной прямой, в направлении которой и расположена бесконечно удаленная точка. При этом вовсе не чзбязательно, чтобы поверхность и в противоположном направлении приближалась к некоторой параллельной прямой; бесконечно удаленная точка может быть граничной точкой поверхности.

Если же поверхность и обе стороны приближаются все более к двум параллельным прямым, то эту поверхность следует рассматривать как смыкающуюся в ее бесконечно удаленной точке. Далее, если поверхность имеет границу, простирающуюся в бесконечность, то кривая, образующая границу, должна замыкаться, проходя через бесконечность, т.

е. либо в одинаковых направлениях, либо в противоположных она должна безгранично приближаться к двум параллельным прямым или содержать часть бесконечно удаленной прямой; в самом деле, незамкнутая кривая не может служить границей поверхности. Так, например, плоский кусок поверхности, ограниченный прямой и ломаной, составленной из двух полупрямых, изображенный на рис. 279, в проективном пространстве не замкнут по отношению к остальной части плоскости, так как возможен пере- ') При этом предполагается, что мы можем взять столь большой шар, что находящийся внутри шара кусок поверхности не изменит своей топологической структуры при дальнейшем увеличении размеров шара Можно легко указать примеры поверхностей, ие удовлетворяющих этому предположению.

Опишем, например, вокруг точен плоской квадратной решетки ма. ленькие окружности, не пересекающие друг друга Если удалить внутрен. ность всех этих кругов из плоскости, то получится плосная поверхность. Для части этой поверхности, лежащей внутри шара, можно легко вычислить связмость. Очевидно, однако, что эта связность безгранично возрастает при воз растании шара с сохранением его центра постоянным. гл. тк топология ход из точки А в точку А' через бесконечность. Между тем в метрическом простринстве тот же самый кусок плоскости ведет себя так, как если бы он был ограничен замкнутой кривой. То же самое имеет место и для плоскости в целом.

Метрическая плоскость имеет замкнутую границу, именно, бесконечно Я В В Р В' Я' яь Рис. 280. Рис. 279. удаленную прямую. Таким образом она топологически эквивалентна внутренности круга. Напротив, проективная плоскость является замкнутой поверхностью. Для того чтобы получить простую топологнческую модель проективной плоскости, будем Рис, 282. С Р Рис. 281.

Рис. 283. исходить из рассмотренных выше построений (с. 236, 240). Проективную плоскость мы отображали взаимно однозначно на поверхность полушара, рассматривая две диаметрально противоположные точки большого круга, ограничивающего полушар, как тождественные. Подобным же образом мы могли бы вместо полушара использовать круг, так как его можно деформировать в полушар. Далее мы можем деформировать круг в квадрат. Поэтому проективная плоскость топологически эквивалентна квадрату (рис.

280), если мы будем считать каждую пару диаметрально противоположных точек границы квадрата за одну единственную точку (например, точки А и А' на рис. 280). Замкнутым кривым проективной плоскости соответствуют в этой модели, во-первых, замкнутые кривые, а во-вторых, все те кривые, Ф 4Е ПОВЕРХНОСТИ которые соединяют тождественные точки границы (например, отрезок АА' на рис. 280).

Рис. 285. Рис. 284. Топологическое исследование проективной плоскости мы продолжим позднее (с. 311). Но способ, приведенный на рнс. 280, Рис. 288. немедленно приводит нас к другим подобным же построениям. Сначала мы будем исходить опять-таки из квадрата или нз пря- ГЛ. ЧЬ ТОПОЛОГИЯ моугольника, ио при этом будем считать тождественными точки границы, согласно схеме, приведенной на рис.

281. Мы опять получаем модель замкнутой поверхности. На этот раз изображаемую поверхность очень легко восстановить, исходя из модели. Согнем прямоугольник (рис. 282) сначала в кусок круго. вого цилиндра (рис. 283). При этом мы приложим стороны прямоугольника 1, 2 друг к другу таким образом, чтобы тождественные точки этих сторон действительно совпали. Другие две г) Ряс.

ВЗ7. стороны 8, 4, которые при этом переходят в круги, мы можем приложить друг к другу по тому же принципу, если нзогнем круговой цилиндр (рис. 284). В конечном счете мы получим поверхность тора; граница прямоугольника перейдет в «каноническую систему разрезов» тора, причем каждый из разрезав соответствует двум противоположным сторонам прямоугольника (рис. 285 и 275, б). Обратно: если разрезать тор вдоль канонической системы, то всегда получается фигура, топологически эквивалентная прямоугольнику с указанным соответствием сторон. Этот способ можно распространить на все «крендели».

Если связность кренделя равна 2р+ 1, то каноническая система раз. резов состоит из 2р кривых. Следовательно, выполнив разрезы, З хк одностогонние поввяхности зо~ получим 4р-угольник с определенным соответствием сторон. На рис. 286 и 287 изображено это построение для случаев Ь = 5, 7 и, следовательно, р = 2, 3, Отображение кренделей на 4р-угольники играет важную роль как в теории непрерывных отображений (с.

324), так и в теории функций (с. 330). В этих приложениях исходят из того, что правильными 4р-угольниками можно покрыть плоскость Лобачевского (если р = 1, то евклидову плоскость), что мы уже выяснили на с. 263. Если стороны 4р-угольника склеивать иначе, то помимо кренделей можно получить большое число других поверхностей; некоторыми из ннх мы займемся ниже, Э 46. Односторонние поверхности Все рассмотренные до сих пор многогранники и замкнутые поверхности имели нечетную связность.

Поэтому возникает вопрос, существуют ли вообще замкнутые поверхности четной связности, т. е, образы, которые по своим топологиче, ским свойствам находятся ';посредине между шаром и тором или между двумя кренделями. Попробуем разрешить этот вопрос. Построим многогранник, именно гептаэдр, который согласно теореме л Эйлера о многогранниках должен быть двусвязным, Будем исходить из правильного октаэдра (рис.

Характеристики

Список файлов книги