Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Таким образом непосредственно получаем циклоидальные движения как результат двух вращений. На этом основывается значение циклоид и трохоид в астрономии. В самом деле, так как пути планет вокруг Солнца представляют приближенно окружности и так как движения происходят с постоянной угловой скоростью и (приближенно) водной и той же плоскости эклиптики, то с Земли пути планет представляются приближенно в виде трохоид. Поэтому геоцентрическая система астрономии дала толчок к обстоятельному изучению этих криВых.
В нашем примере точки М и т представляют мгновенные центры движений (еЕ) и Це). Мгновенный центр Я циклоидального движения (гЕ), как уже было упомянуто, есть точка соприкосновения кругов й и К Таким образом три мгновенных центра лежат на одной прямой. Можно показать, что вообще имеет ме- $ м приВОР лля ЛОстРОения эллипсОВ и Их Рулетт 283 сто теорема: если некоторое движение ((Е) складывается из движений (!Е) и (ЕЕ), то в каждый момент мгновенные центры движений ()Е), ()е) и (еЕ) лежат на одной прямой.
5 42. Прибор для построения эллипсов и их рулетт') Г!усть два стержня с и с' одинаковой длины с шарнирно соединены своими концами Гп Ра и Рь Ра с двумя другими стержнями а!, аа также одинаковой длины а с, причем (рис. 266) так, что эти четыре стержня образуют плоский самопересекающийся четырехугольник с е Р равными противоположными сторонами. Точка Ег и пересечения Е стержней аг Е а!.и аа будетизменятьположение на этих стержнях, когда шарнирный че- г тырехугольник будет при- / нимать всевозможные положения на плоскости. Поместим в точке Е шар- Рнс. 266.
нир с двумя вращающимися друг относительно друга гильзами, в которых могут скользить стержни а! и аа. Закрепим теперь. неподвижно стержень с и рассмотрим кривую, которую может описывать точка Е. Мы утверждаем, что эта кривая есть эллипс е с фокусами Р! и Ра и с постоянной суммой расстояний а. Д о к аз а тел ь от во.
Треугольники Р!РаРа.и Р!Р1РЕ при всяком положении шарнирного четырехугольника конгруэнткы, так как имеют попарно равные стороны. Отсюда ~ Р1РаРа= = ~ РтР~Р(, т. е. треугольник Р!РтŠ— равнобедренный, откуда следует далее: Р1Е+ ЕРт='. РтЕ+ ЕР(=а, что и требовалось до' казать. Пусть теперь в произвольных точках стержней а~ и аа закреплены два колесика л! и Еа, которые могут вращаться вокруг этих стержней, как вокруг осей, но не могут скользить по ним (рнс. 266).
Пусть точка Е движется по некоторой кривой й и од'новременно колесики катятся по плоскости этой кривой и определяют положение точек Р1 и Га. Благодаря колеснкам направление движения их центров совпадает с плоскостью колесиков н поэтому всегда перпендикулярно к стержню, на котором закре- ') Этот прибор предложен Ейтсом !У а!ее Ц. С.
Тьс Оеаст!р1!оп о1 а апт1асе о1 сопмап1 спгта1пте. — Атег. Майе Мопщ1у, 193!). ГЛ. Ч. КИНЕМАТИКА плено колесико. Но в таком случае и всякая другая точка стержней аь ае всегда должна двигаться перпендикулярно к направлению стержня. Это можно строго вывести из того, что расстояния двух точек стержня остаются постоянными. Если теперь мы вообразим, что при движении со стержнем с жестко связана плоскость ~, параллельная плоскости кривой й, то точка Е всегда будет служить мгновенным центром для движения этой плоскости.
В самом деле, так как всякая точка плоскости 7 всегда движется перпендикулярно к линни, соединяющей ее со всяким мгновенным центром (с, 276), и так как, с другой сто. роны, точка Е~ движется всегда перпендикулярно к стержню аь то мгновенный центр должен всегда лежать на аь Но то же самое также имеет место для аь Таким образом, мгновенный центр должен совпадать с точкой пересечения этих стержней. Поэтому неподвижной полодией движения плоскости ~ служит кривая Ф, подвижной же по. лодией должен служить эллипс е, так как мы показали, что точка Е описывает этот эллипс, если закрепить стержень с. Таким образом точки плоскости 7 при движении наРнс.
267. щего аппарата движутся по тем же кривым, как при качении эллипса е по кривой й. Эти кривые называются рулеттами эллипса. Среди рулетт эллипса особенно важна кривая, описываемая фокусом, когда эллипс катится по прямой. Одна из таких кривых изображена на рис. 267. Прибор Ейтса заставляет углы шарнирного четырехугольника двигаться по таким кривым, если точка Е движется по некоторой прямой д. Всякая другая точка стержня а1 описывает кривую, параллельную траектории точки Е1 или точки Г1. В самом деле, стержень аь как уже упомянуто, есть общий перпендикуляр к траекториям всех его точек. Отсюда этот прибор приводит к замечательной геометрической теореме: будем наносить на всех нормалях к рулетте фокуса эллипса от основания нормали в сторону центра кривизны отрезки, равные постоянной сумме расстояний эллипса; тогда концы этих отрезков лежат опять-таки на рулетте фокуса некоторого эллипса, причем этот последний конгрузнтен с первым эллипсом и катится по той же кривой, как первый, но с другой стороны.
Изображенная на рис. 267 рулетта является меридианом пон верхности вращения с постоянной средней кривизной. Кривизна равна обратной величине полусуммы расстояний образующего эллипса. Мы уже упоминали на с. 229, что для всякой поверх- Ф м. движяния в пэостэхнствя ности с постоянной средней кривизной существует параллельная поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной. В нашем случае эта параллельная поверхность должна быть также поверхностью вращения, а ее меридианом должна служить кривая, параллельная меридиану первоначально рассмотренной поверхности.
В соответствии с этим точка стержня а~ нашего прибора описывает кривую, являющуюся меридианом. некоторой поверхности вращения постоянной положительной гауссовой кривизны. Из соотношения для кривизны„приведен. ного на с. 229, можно установить, что эта кривая описывается как раз серединой стержня аь Придавая стержням с и а всевозможную длину, можно получить меридианы всех поверхностей вращения с постоянной положительной гауссовой кривизной, за исключением шара. й 43. Движеиия в пространстве Перенесем рассуждения предыдущего параграфа иа случай, когда некоторая область пространства г движется в пространстве 1с, принимаемом за неподвижное.
В пространстве всякое отдельное движение может быть заменено одним вращением вокруг определенной оси и одним переносным движением вдоль этой оси, т. е. винтовым движением (с. 91). Вследствие этого всякому движению, за исключением переносного движения, соответствует определенная прямая в качестве винтовой оси или оси вращения. Исключительное положение переносного движения можно устранить, если рассматривать это движение как вращение вокруг бесконечно удаленной оси. Сравнивая два соседних положения подвижного пространства, можно прийти к построению мгновенной винтовой оси для каждого момента движения аналогично движению на плоскости. В процессе движения эта прямая непрерывно изменяет свое по.
ложение, причем описывает линейчатую поверхность как в пространстве 1т', так и в пространстве г. Эти поверхности соответствуют неподвижной и подвижной полодиям плоского движения и называются подвижным и неподвижным аксоидами движения. Пространственное движение вполне определено заданием обоих аксоидов, если только для некоторой прямой одного аксоида задана соответствующая прямая другого.
Тогда необходимо наложить обе поверхности одну на другую так, чтобы обе эти прямые совпали, а поверхности соприкасались вдоль этой прямой. Движение получается, если подвижный Вксоид катится по неподвижному, т. е. движется определенным образом, описанным ниже, так, что обе поверхности все время имеют общую прямую и соприкасаются .вдоль этой прямой. 2ЗЕ ГЛ. Щ КИНЕМАТИКА Таким образом мы видим здесь аналогию с движением иа плоскости. Однако оба этих вида движения обнаруживают существенную разницу. Именно, в то время как плоскую кривую можно катить по любой другой плоской кривой множеством способов, линейчатая поверхность не может катиться по любой другой. Мы уже выяснили ранее, что две линейчатые поверхности могут тогда и только тогда соприкасаться вдоль образующей, когда они вдоль этой образующей >гмеют одинаковое закручивание.
Если это имеет место, то необходимо наложить поверхности таким образом, чтобы соответствующие этим прямым горловины обеих поверхностей совпали. При качении обоих аксоидав необходимо, чтобы все время выполнялось это условие и поверхности сохраняли такое положение, Если на обеих поверхностях горловые линни в соответствующих точках образуют одинаковые углы с образующей, то мы имеем чистое качение без скольжения. Если, напротив, эти углы различны, то обе поверхности при качении в то же время скользят друг 1 относительно друга вдоль общей образующей ').
В первом, специаль'о' нам, случае можно сказать, что дви- Ъ жение слагается из бесконечно маРис. 268. лых вращений. В этом случае оба аксоида представляют поверхности, налагающиеся одна на другую. В качестве особенно простого примера рассмотрим случай, когда аба аксоида представляют однополостные гиперболоиды вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
