Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теорема Римана об отображениях. Коиформное отображение в пространстве Возьмем декартову систему координат на плоскости и отнесем произвольной точке Р, имеющей координаты х, у, комплексное число з= х + уй Таким способом мы установим однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, Представляется целесообразным обобшнть это соответствие, дополнив плоскость, так же как в учении о преобразованиях, сохраняю1цнх окружности, бесконечно удаленной точкой Р , которой мы присвоим число ОО. ПодоГ>ное наглядное представление комплексных чисел называется числооой плоскостью. Отображение одного куска плоскости на другой прн этом приводится к соответствию между комплексными числами, Простейшим' примером может служить соотношение ш = ах+ Ь, где а, Ь вЂ” произвольные комплексные постоянные, причем а чь О.
В ка-' честве образа точки, которой соответствует комплексное число х, мы рассматриваем точку, которой соответствует число и1 = = ах+ Ь. Получающееся таким образом отображение плоскости на самое себя Представляет просто преобразование подобия; обратно, можно получить все преобразования подобия плоскости, возникаюшие непрерывно нз тождественного преобразования, если заставить числа а и Ь пробегать все комплексные значения, кроме а = О. Преобразования подобия, соединенные, с перевертыванием плоскости, которые невозможно получить непрерывно в самой плоскости, соответствуют уравнению Ге=аг+Ь, где х означает комплексное число г = х — у>„сопряженное с числом е = х+у>. Эти теоремы можно доказать элементарным путем.
Преобразования, сохраняющие окружности и не оставляющие неподвижной точки Р, соответствуют дробно. линейным преобразованиям: а>=, +н (с~О, аГ( — ЬсФО), ах+ Б (() если рассматривать только те преобразования, сохрнняющие окружности, которые можно получить непрерывно из тождествен-.
Гл. в. диФФеРенцилльнля ГеометРия ного преобразования на плоскости. Остальные преобразования можно получить, заменяя в (1) е на й. Инверсия относительно окружности й радиуса единица, проведенной вокруг начала, бу. дет, например, представлена формулой 1 в=— к В самом деле, имеем: 1 1 к+у1 в=и+ о(= == —. = —, к х уз х +у т.
е. к у и=-р — г п = — е — г. х+у ' к+у (2) Пусть М, Р, (,1 — точки с координатами .(О, О), (х,у), (и, и), т.е. Р, Π— точки, соответствующие числам г, в; тогда из (2) следует, что точки Р и Я расположены на одном и том же луче, выходящем из точки М, и что для расстояний МР и М() имеет место соотношение МР МЯ = 1.' Таким образом точки Р и () составляют инверсию по отношению к кругу й. Если исходить из более общего соотношения в=((х), где ((г) представляет некоторую дробную рациональную функцию от г, то эта функция также всегда дает конформное отображение плоскости; При этом нужно только ограничиться такими областями плоскости, которые не содержат особых точек, определяемых этой функцией.
Всякая функция 1(г) такого рода, что в = 1(г) определяет конформное отображение на числовой плоскости, называется аналитической функцией' ), Не только рациональные, но и почти все встречающиеся в практике функции являются аналитическими функциями, С аналитическими функциями можно производить вычисления в значительной мере так же, как с действительными функциями от действительных переменных. Тем самым двумерная задача конформного отображения приводится к рассмотренному одномерному типу. Подобные исследования в теории функций комплексного переменного позволяют прежде всего доказать важную теорему о том, что преобразования, сохраняющие окружности и, соответственно, целые и дробные линейные функции, дают все конформные отображения, переводящие внутренность одного круга во внутренность или внешность другого (или того же самою круга). Вследствие этого гиперболические движения в модели Пуанкаре ') Это наглядное определение эквивалентно тому, что 1(к) диффереи- 1(в) — 1 (к,) ип уема, т.
е, что отиоп1ение во всякой точке кч области Р х — ка стремится к некоторому комплексному числу 1'(кз), если к в этой области стремится к кв суп1ественио при этом, чтобы число 1'(кч) ие зависело от пути, по которому к стремится к кч в числовой плоскости. аж геомитгичзскхя твогия Фэнкцип представляют все конформные отображения круга на самого себя. Таким образом, если известно относительно некоторого конформного отображения, в какую область оно переводит круг, то это отображение определяется этими данными с точностью до гиперболического движения. В соответствии с этим мы можем охарактеризовать аналитические функции с точностью'до несущественного преобразования той облаатью, в которую они переводят круг. Области, которые получаются одна нз другой прн помощи преобразования, сохраняюшего окружности, мы прн этом не будем рассматривать как существенно различные.
Так, например, мы можем исходить от полуплоскостн, вместо того чтобы исходить от круга. Так, функция ~/з переводит полу- плоскость в квадрант, а функция !и г превращает полуплоскость в полосу, ограниченную двумя параллельнымн прямымн. Поэтому линей. ные преобразования позволяют легко установить конформное отображение, которое переводит круг, нзображенный на рис.
252, в один из двух других изображенных на этом чертеже рис. ззз. кусков плоскостй. Вр всех этнх примерах, которые будут описаны ннже„ ото. браженне конформно во всех внутренних точках кусков поверх. ностей, на границе же оно конформно лишь постольку, поскольку границы не имеют изломов, Если гладкая дуга граничной кри. вой переходит в ломаную, то, естественно, в этом месте отображение не может быть конформным. Оказывается, что в таких точках отображение всегда сохраняет пропорцнональность уг. лов, т. е.
все углы изменяются так, что коэффициент пропорциональности остается одним н тем же. Так, прн отображеннн, определяемом функцией ~/г, прямая, ограничивающая рассматрнваемую полуплоскость, переходит в стороны прямого угла. В точке, которая переходит в вершину угла, все углы уменьшаются вдвое. Раман установил важную. теорему, что всякая плоская область, не охватывающая всей евклидовой плоскости, н прнтом такая, которая может быть взаимно однозначно н непрерывно отображена на круг, может быть отображена на него также конформно.
Эта теорема дает представленне о многообразнн аналитических функций. Теорема Римана самим Риманом строго доказана не была, нм только была установлена ее эквивалентность разрешимости одной задачи варнацнонного нсчнслення, так называемой за» дачи Дирнхле. Разрешнмость задачи Днрнхле, которую Рнман ГЛ. 1Ц ДИФФЕРЕНЦ!ГХЛЫ!КЯ ГЕОМЕРРИЯ считал очевидной, была строго доказана лишь значительно позже. Для того чтобы отобразить конформно на круг К произвольную область 6, допускающую деформацию ее в круг, будем исходить от некоторого конформного отображения аь, которое отображает конформно область 6 на частичную область К, области К.
Можно, например, в качестве отображения аь выбрать преобразование подобия. Потребуем еще, чтобы при преобразовании аь некоторая наперед заданная внутренняя точка Р области 6 переходила в центр круга М. Пусть теперь )1ь представляет образ другой внутренней точки Я области 6. Тогда можно доказать следующее. Преобразование ай может быть превращено в другое конформное преобразование а! так, что область 6 будет переходить при преобразовании а, в частичную область К! области К, и, далее, точка Р опять перейдет в точку М и так, что точка 6 перейдет в некоторую точку К1, лежащую на радиусе М)с,, расположенную на больисеж расстоянии от М, чел! точка )кь КРоме того пеРеход от отобРажениЯ аь к а! даетсЯ конформным отображением, соответствующим корню квадратному из некоторой дробно-линейной функции.
Таким же' способом можно далее изменить преобразование а„так что мы получим последовательность конформных отображений а„области 6 на частичные области К„ области К, причем при всех этих отображениях точка Р будет переходить в точку М, а точка 1ч' — в последовательность точек )с„, расположенных на радиусе М)гь и все более удаленных от точки М. Оказывается, что области К все более заполняют круг К и что последовательность отображений а„ сходится к конформному отображению а. Это отображение а преобразует конформно область 6 в круг К, как того и требует теорема Римана.
Описанный здесь способ, данный Кебе, показывает, что искомое отображение обладаетнекоторым экстремальным свойством. Именно, очевидно, что точка )ч области К, в которую переводится точка !е отображением а, есть та точка на радиусе ЛИ„ к которой сходятся точки )7„. Отсюда следует, что для всякого и имеем М)г ) М)ч„. То же самое неравенство сохраняется, если измерять расстояние не евклидовым способом, н гиперболическим, рассматривая внутренность круга К как модель Пуанкаре гиперболической плоскости. В самом деле, гиперболическое расстояние некоторой точки от центра круга М измеряется, так же как евклидово, вдоль радиуса, так как радиусы представляют гиперболические прямые, проходящие через точку М (с.
357). Кроме отображения а существуют и другие конформные отображения Ь области 6 на круг К. Однако согласно приведенной выше теореме отображения Ь могут отличаться от отображения а только на гиперболическое движение круга К. По. з м, гаомгтгнческля таогия ьгнкцни 267 этому, если 5, Т суть изображения точек Р, Я при отображении Ь, то гиперболические расстояния МЯ и БТ должны быть непременно равны.
Таким образом мы нашли искомое экстремальное свойство: при всяком конформном отображении области 6 на круг К образы произвольной пары внутренних точек области 0 отстоят на большем гиперболическом расстоянии в круге К, чем при всяком конформном отображении области 0 на частичную область круга К, В смысле гиперболической геометрии мы можем описать наш способ таким образом. Если область 6 конформно отображена на область гиперболической плоскости- К' и если пытаться непрерывно изменять это отображение так, что оно остается конформным, но при этом любые две выбранные точки все более удаляются одна от другой, то область К' постепенно заполняет всю гиперболическую плоскость.
Расстояние между обеими точками возрастает до определенного конечного максимума, кото. рый достигается тогда и только тогда, когда область К' заполняет всю гиперболическую плоскость. Напра>пивается мысль попробовать конформно отобразить внутренность области 6 вместо гиперболической на еквлндову плоскость, Непрерывное отображение, конечно, возможно, так как внутренность области О, по предположению, может быть непрерывно отображена на внутренность круга, а внутренность круга, очевидно, непрерывно отображается на евклидову плоскость (так, например, мы можем непрерывно отобразить при помощи стереографической проекции внутренность круга Н на полушарие, а полушарие при помощи центральной проекции нз центра шара непрерывно отобразить на евклндову плоскость Е)).
Конформное отображение области Н на плоскость Е, однако, невозможно. В самом деле, при таком отображении всякому конформному отображению области Н на самое себя должно было бы соответствовать конформное отображение плоскости Е на самое себя. Совокупность конформных отображений области Н на себя представляет семейство гиперболических движений с тремя параметрами Поэтому, если бы существовало конформное отображение Н->.Е, то и совокупность конформных отображений плоскости Е на себя должна была бы представлять семейство с тремя параметрами. Однако такие отображения во всяком случае представляют преобразования подобия, а преобразования подобия образуют семейство с четырьмя параметрами. В самом деле, если представить их в виде и> = аг + Ь, то они определяются двумя комплексными числами а и Ь, т.
е. четырьмя действительными числами. Отсюда следует, что невозможно конформное отображение области Н на плоскость Е. Впрочем, преобразования подобия исчерпывают совокупность конформпых отображений плоскости на себя. гл пх пнчьаяанцнхльнхя гаоматгня В пространстве можно определить конформное отображение точно так же, как на плоскости. Однако в пространстве совокупность всех конформных отображений весьма ограничена. Именно, все эти отображения суть преобразования, сохраняющие сферы, т. е. они переводят совокупность сфер и плоскостей в себя. Совокупность всех преобразований, сохраняющих сферы, образует семейство с десятью параметрами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
