Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Понятно, что это Ряс. 2Ж отображение не может сохранять длину, так как кривизна 0 равна нулю, в то время как кривизна поверхности Р отрицательна. Пусть А, В (рис. 235) — образы двух точек Р, Я поверхности Р и пусть )г, 8 — концевые точки хорды круга, проходящей через А, В; геодезическое расстояние г точек Р и 1г удовлетворяет формуле (1) ГЛ.

1У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 244 или В'5' А'В' АА' ВВ и'1Г Л'Р' АВ Вя ' (2) Так как три точки А, А', В лежат внутри круга, то все т1и от. ношения в правой части равенства (2) отрицательны. СледоваВ'В' тельно,Втр- также отрицательно, т. е. точка В' лежит внутри круга, как мы и утверждали. Если прикладывать некоторый отрезок произвольное число раз к самому себе, то можно сколь угодно близко подойти к периферии круга, не достигая ее (рис. 237); периферия круга играет в нашей модели геометрии Лобачевского такую же роль, как бесконечно удаленная прямая в евклидовой геометрии.

Правую часть равенства (1) для всех пар точек нашей мо. дели гиперболической плоскости будем называть «гиперболическим расстоянием». Отображение Р-» сх приводит также к определенному измерению «гиперболических углов», отличающемуся от способа определеиия углов в евклидовой геометрии. Так, иапример, чтобы опустить перпендикуляр 6 из точки А плоскости Лобачевского на прямую д, нужно провести й в виде прямой, соединяющей точку А с вспомогательной точкой Р (рис. 236). Легко усмотреть, что евклидов угол между прямыми 6 н а, вообще говоря, отличен от прямого.

Посмотрим теперь, какие аксиомы евклидовой геометрии сохраняются на плоскости Лобачевского. Прежде вссРес. 236. го ясно, что аксиомы сочетания вы- полняются. Если далее мы определим понятие «между» для трех точек, исходя пз их расположения на нашей модели, то можно видеть, что и аксиомы порядка выполняются. В качестве отрезка АВ определим точки евклидова отрезка на нашей модели. В осиову определения конгруэнтности отрезков положим формулу (1).

Если теперь рассмотрим первую аксиому конгруэнтности, то могло бы показаться. что свободному нанесению отрезка мешает граница круга и что, следовательно, аксиома не выполняется. В действительности же при определеиии расстояния по формуле (1) нанесению отрезков окружность круга никогда не мешает. Пусть даны внутри круга отрезок АВ (рис. 235) и некоторая полупрямая й, выходящая из точки А'. Тогда для точки В' на прямой й, для которой должно быть АВ = А'В', выполняется на основании (1) соотношение АВ ВВ А'й' В'5' 243 й за. гиометвия ловлчквского Наше рассмотрение показывает, что первая аксиома конгру» энтности выполняется на гиперболической плочскости. Очевидно, выполняются также аксиомы конгруэнтност~ вторая, третья и четвертая.

Пятая аксиома конгруэнтности, как уже было указано в $34, равнозначна существованию достаточно общей группы отображений, переводящих внутренность круга в самое себя таким обра зом, что при этом прямые переходят в . прямые же, а гиперболические расстояния и углы сохраняются неизменными.. В проективной геометрии на плоскости доказывается, что подобная группа действительно существует (этн отображения л принадлежат к проективным преобразованиям плоскости и могут быть наглядно представлены при помощи повторного применения центральной проекции). От- Рис. 237. сюда следует, что в геометрии Лобачевского выполняются те же аксиомы конгруэнтности.

Легко видеть, что и аксиомы непрерывности выполняются. Только одна единственная аксиома евклидовой геометрии не выполняется иа плоскости Лобачевского — аксиома параллельности. Это можно усмотреть из рис. 238. Через всякую точку ко всякой прямой л, не проходящей через. эту точку, всегда можно провести пучок прямых, не пересекающих прямой д. В то время как в геометрии Римана помимо аксиомы параллельности не выполняются также евклидовы аксиомы порядка, геометрия Лобачевского отличается от евклидовой только тем, что в ней не выполняется аксиома прраллельностн. На этом основании наша модель' приобретает большое принципиальное значение.

В течение всего средневековья н Рис. 238. вплоть до начала Х)Х в. напрасно стара- лись доказать аксиому параллельности, исходя из остальных аксиом Евклида. Открытие модели геометрии Лобачевского показало принципиальную невозможность подобного доказательства '), нбо наша модель удовлетворяет всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксио. мы параллельности.

Если бы эту последнюю можно было ') Здесь может создаться впечатление, будто такая недоказуемость аксиомы параллельности была понятна лишь после появления модели Клейна. На самом деле зта недоказуемость фактически вытекает нз открытия Гл. !у. диФФеРенциальная ГеометРия логически вывести из остальных, то она должна была бы выпол» няться и на нашей модели, что ие имеет места. Гиперболическая и эллиптическая геометрии называются неевклидовыми геометриями. Если исходить из распределения значений гауссовой кривизны, то евклидова геометрия получается как переходная между эллиптической и гиперболической геометриями. В этом можно убедиться и с другой точки зрения.

'Так, мы получали гиперболическую плоскость путем удаления внешних точек некоторого круга на евклидовой плоскости, между тем как для получения всей эллиптической плоскости нам нужно было добавлять к евклидовой плоскости еще точки бесконечно удаленной прямой. Далее, в эллиптической геометрии нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной пря. ' мой, через точку, лежащую вне ее; в евклидовой геометрии можно провести одну такую прямую, а в гиперболической геометрии —.бесконечное множество параллельных прямых. Осо.

бенно характерной для трех геометрий является сумма углов треугольника. В то время как в евклидовой геометрии она равна .н, в эллиптической геометрии она всегда больше и, как это следует нз известных теорем сферической геометрии; в гиперболической плоскости эта сумма всегда меньше и. Ниже мы приведем наглядные доказательства этого. Теорема евклидовой геометрии, что сумма углов всякого треугольника равна и, поэтому не может быть доказана без использования аксиомы параллельности, так как в противном случае эта теорема должна была бы иметь место и в гиперболической плоскости.

В то же время, если какая-нибудь теорема имеет место как в евклидовой, так и в гиперболической геометрии, .то для ее доказательства евклидова аксиома параллельности заведомо ие нужна. В качестве примера такой теоремы можно привести теорему, что всякий внешний угол треугольника боль. ше, чем любой из двух, не смежных с ним внутренних углов .треугольника. Из рассмотрения сферических треугольников легко убедиться, что в эллиптической геометрии зта теорема не имеет места. Отсюда следует, что для ее доказательства необходимо использовать евклидовы аксиомы порядка.

Примером теоремы, имеющей место во всех трех геометриях, может служить теорема о равенстве углов при основании рав. нобедренного треугольника. ОтсюДа следует, что для доказательства этой теоремы не нужны ни евклидовы аксиомы поряд- .Н. И. Лобачевским веевкаидовой геометряе, См. Вфямов Н. В. Вмыиаи геометрия.-Мз Наука, !971; Деаоие В. Н. Вояе в Лобачевский.-Мл Природа, 1900, № 7, е. 70-73; Я е о в е к а я С А. Передовые ваеи Н. И. Ло.

бачевского — орудяе борьбы против ядевиизма в математика — Мз Изя. АН СССР, 199О. — Плита 1ЯЯХ э м геомвтРия ловлчевского иа, ни какие-нибудь предположения относительно 'параллельности. Мы уже указывали, что проективиые теоремы о точках пересечения, например теорема Дезарга, выполняются в эллиптической плоскости. В евклидовой плоскости эта теорема, как и всякая другая теорема о точках пересечения, имеет место лишь в. том случае, если принимать во внимание и бесконечно удаленные точки. В гиперболической плоскости теоремы о точках пере-. сечения только в том случае можно сформулировать, не оговаривая исключений, если принять во внимание два различных. вида несобственных точек: точки, которые соответствуют точкам периферии в нашей модели, и точки, соответствующие точкам,, внешним по отношению к кругу.

Очевидно, мы можем, например, для некоторой дезарговой конфигурации на плоскости про-. вести окружность, так определяющую нашу модель гиперболической плоскости, что она будет содержать девять точек конфигурации внутри и десятую на периферии или вовне. Вследствие правильности конфигурации мы можем рассматривать эту точку.

как дезаргову; тогда мы можем представить себе нашу фигуру как два гиперболических треугольника, соответствующие сто~ роны которых пересекают попарно друг друга в точках гиперболической прямой. Согласно дезарговой теореме, линии, соединяющие соответствующие вершины углов, проходят через одну точку, между тем как эти прямые внутри круга не имеют об-. щей точки. Если попытаться доказать дезаргову теорему в геометрии. Лобачевского непосредственно, не обращаясь к нашей модели,. то здесь встречаются те же трудности, как и в евклидовой н проективной геометриях. Эту теорему можно доказать при помощи аксиомы коигруэнтности. Без нее для доказательства этой теоремы необходимы пространственные вспомогательные средства.

Именно, в пространстве также существует геометрия Лобачевского. Модель пространства Лобачевского можно получить, если рассматривать в качестве точек, прямых и плоскостей этого пространства точки, отрезки прямых и куски плоскостей, лежащие внутри сферы обыкновенного пространства, и если определять расстояния между двумя точками аналогично определению расстояния в плоской модели.

Характеристики

Список файлов книги