Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 50
Текст из файла (страница 50)
') Если выдувать мыльную пленку, натянутую на раструбе трубни, то средняя кривизна мыльного пузыря должна, казалось бы, непрерывно воз. растать, Однако — это заблуждение. Сначала, в самом деле, средняя кривизна возрастает от нулевого значения ее для минимальной поверхности. Но если продолжать сильно выдувать дальше (отвлекаясь прн этом от возмож' ности, что пузырь лопнет), то мыльный пузырь, как это следует из проведен ного в тексте рассмотрения, принимает приблизительно вид шара, непре.
рывно увелкчкваюшегося; поэтому средняр кривизна, равная обратному знак чению радиуса шара, безгранично уменьшается, стремясь к нулю. В соот' ветствии с этим для достаточно малых значений с средней кривизны н лля определенной граничной кривой существуют по крайней мере две ограничен иые кривой поверхности постоянной средней кривизны с.. Это явление находится в замечательном противоречии со многими другими вариаииоинымн эадачамн, при которых всегда существует только одна единственная экстра. мальная поверхность, ограниченная заданной замкнутой кривой.
Впрочем, если пренебречь знаком средней кривизны, то при помощи той же самой граничной ириной можно получить еще две другие поверхности той же самой постоянной средней кривизны; эти поверхности можно осуществить при по. мощи мыльных пузырей, если выдувать первоначально взятую минимальную поверхность с другой стороны. $32, ОДИННАДЦАТЬ СВОВСТВ ШАРА 229 иое постоянное значение гауссрвой кривизны. На такой поверхностн долМйа быть по крайней мере одна правильная точка, в которой одна нз главных кривизн имеет максимальное значение.
Оказывается, можно аналитически доказать, что на куске поверхности с постоянной положительной кривизной не может быть такой точки. Другими словами, на ограниченном нешароОбразном куске поверхности с постоянной положительной кривизной максимальные значения главных кривизн всегда относятся к точкам границы. Так как поверхность шара не имеет границы, то отсюда следует, что поверхность шара как целое не мбжет быть нзгнбаема н что вообще кроме шаровых поверхностей не существует неограниченных и не имеющих особенностей поверхностей с постоянной положительной гауссовой кривизной. Так как, с другой стороны, очевидно, существуют иэгибаемые куски шаровой поверхности, то возникает вопрос, какую дыру нужно вырезать в поверхности шара, для того чтобы остальная его часть стала изгибаемой. Естественно было бы предположить, что такая дыра должна иметь какую-то минимальную величину, например величину полушария.
Можно, однако, доказать, что имеет место противоположное: поверхность шара становится нзгнбаемой, если вырезать в ней дыру произвольно малой величины: достаточно даже надрезать шар вдоль произвольно малой дуги большего круга. Напротив, если шар продырявить в одной или нескольких изолированных точках, то поверхность останется нензгнбаемой. То Обстоятельство, что поверхность шара становится изгибаемой уже в том случае, если вырезать в цей произвольно малую дыру, можно поставить, в своеобразную связь с поведением мыльных пузырей.
Именно, аналитически легко доказать следую1цее: если исходить из куска поверхности Р с постоянной средней кривизной с и если на всех нормалях к поверхности Р ! нанести отрезки длиной — с в одну определенную сторону, то новая поверхность я, которую образуют концы этих отрезков, не имеет постоянной средней кривизны, но заведомо имеет постоянную гауссову кривизну 4с', Поверхность л называется парал- 1 лельной поверхностью к поверхности Р на расстоянии — с. Если 2 Р представляет кусок шаровой поверхности, то д представляет кусок шаровой поверхности, концентрической с Р; обратно, д только тогда может быть куском шаровой поверхности, когда Р представляет кусок шаровой поверхности.
Именно, можно доказать что нормали к поверхности Р пересекают поверхность я в соответствующих точках также нормально. Сторона поверхности Р, на которую нам приходится наносить отрезки на нормалях, не произвольна; можно легко уточнить наши указания, если гл,ш. днеевзанпнхльихя гвомвтгия представить себе поверхность Р как поверхность мыльного пузыря на замкнутом отверстии трубки; в этом случае необходимо проводить отрезки на нормалях, направленных внутрь заклю. ченного в трубке воздуха.
! Теперь вообразим, что на шаре радиуса-,, т. е. со средней кривизной с, начерчена малая замкнутая кривая Я и что эта кривая непрерывно деформируется так, что деформированные кривые уже не лежат на шаре. Легко понять, что при не очень сильной деформации можно на все этн кривые натягивать мыльную пленку с постоянной средней кривизной с. Именно, если мы натянем на первоначальную кривую мыльную пленку, то, если выдуть эту пленку достаточных размеров, заведомо можно превратить ее в поверхность со средней кривизной с. В самом деле, шар, на котором расположена кривая Я, представляет собой подобную поверхность, и если мы будем выдувать с соответствующей стороны, то на определенной стадии мы получим больший кусок шаровой поверхности, ограниченной кривой В Из соображений непрерывности следует, что при соответствующем вдувании воздуха при деформации кривой Я можно достичь того, что мыльная пленка, имевшая первоначально форму шаровой поверхности, при деформации кривой к непрерывно изменяется и при этом сохраняет значение средней кривизны; напротив, деформируемые мыльные пленки не могут сохранять форму шара, так как деформированные граничные кривые согласно нашему построению не лежат на шаре.
Теперь будем строить ко всем этим мыльным пленкам внутренние параллельные поверхности иа расстоянии й.с. Прн этом мы будем пробегать непрерывное 1 семейство поверхностей, которые согласно приведенной теореме будут все время иметь постоянную гауссову кривизну 4сэ.
Пер. 1 вая из этих поверхностей есть шар радиуса — с, в котором вы- 2 резана маленькая дыра, ограниченная кривой, подобной и по. добно расположенной с кривой Я. Все остальные поверхности могут быть непрерывно нзгибаемы на первую; однако онн не могут иметь форму шара, так как, как уже было упомянуто; в противном, случае и мыльные пленки должны были бы иметь форму шара. Таким образом шар, имеющий произвольно малую дыру, в самом деле нагибаем. Изгибаемость ограниченных и неограниченных поверхностей была предметом исследования и в случае поверхностей значительно более общего вида. Неизгибаемы все выпуклые замкну. тые поверхности, например эллипсоиды. Точно так же иеизги.
баемы все выпуклые поверхности с границами, если поверхность имеет одну н ту же касательную плоскость вдоль каждой гра- 3 еь одиннадцать свойств ШАРА пичной кривой. Примером подобной поверхности 1с двумя границами) является выпуклая часть поверхности тора (рис. 210, -с. 202). Если вырезать на замкнутой выпуклой поверхности произвольно малую дыру, то поверхность становится изгибаемой.
Остается невыясненным, достаточно ли только надрезать поверхность. 1!. Шар переводится в са мого себя семейством движений с тремя параметрами. Совокупность всех движений, приводящих шар к совпадению с самим собой, очевидно, представляют вращения вокруг центра шара. Эта совокупность действительно зависит от трех параметров. В самом деле, два параметра необходимы для определения положения оси вращения (проходящей через центр, в остальном же произвольной), а третий параметр необходим для опрЪделения угла поворота. Подсчет параметров можно провести также и с другой точки зрения. Очевидно, любая точка шара может быть переведена в любую другую точку шара при помощи одного из движений семейства и кроме того определенное направление, проходящее через взятую точку на шаре, может быть переведено в произвольное направление, проходящее через вторую точку, Этим однозначно определяется одно отображение из нашего семейства.
Но это определение требует как раз трех параметров, так как произвольно выбранный образ точки завн. сит от двух параметров.' а проходящие через него на шаре направления образуют еще одно семейство с одним параметром. Последний подсчет может быть проведен не только для шара, но и для плоскости; таким образом плоскость также обладает семейством движений с тремя параметрами. Других поверхностей такого рода не существует, так что это свойство определяет шары и плоскости. Теперь будем искать все другие поверхности, которые вообще обладают семейством движений; это семейство необходимо должно быть семейством с одним или двумя параметрами. Единственными поверхностями, обладающими семейством движений с двумя параметрами, являются круговые цилиндры. Произвольное вращение вокруг оси и произвольное переносное движение вдоль оси переводят круговой цилиндр в самого себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
