Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

') Следует обратить внннаяне на то, чтобы прн нзгнбаннн вантовая ось не нереходнла в ось вращения, а яереходнла бы в некоторую окружность, перпендяхулярную к ней. В соответствяя с зтны на рнс. 2рй н 220 ось гели. нондавзята вертнхальной, а ось катенояда — горизонтальной, 5 3!. кРучение пРОЕТРАнственных кРиВых 2!3 Эта вспомогательная теорема позволяет вывести замечатель- ную теорему: при всяком закручивании плоской выпуклой дуги кривой все корды возрастают. Для доказательства рассмотрим плоскую выпуклую дугу кривой з с концевыми точками А, В (рис. 222а). Пусть прн за- кручивании кривой з получается дуга пространственной кри- вой ( с концами С, с).

Требуется доказать, что прямолинейный отрезок СО длиннее, чем отрезок АВ. Проведем через дугу т конус с вершиной в точке С (рнс. 222б), Я Развернем этот конус на плоскость кривой з. Тогда кривая г' нревратнтся в плоскую кривую Е с концами Е, Р (рис. 222в). Отрезки ЕР и С0 равны, так как Сй представляет образующую нашего конуса и поэтому при развертывании остается прямолинейной и отображается с сохранением длины на прямую ЕР.

Теперь нам остается еше показать, что ЕР длиннее, чем АВ. Но дуги з и имеют равную длину, и согласно нашей вспомогательной теореме кри- Г визна Е всюду меньше кривизны ! в соответствующих точках и, следовательно, меньше кривизны з. Значит, мы можем перевести дугу з в дугу г', если мы, оставляя точку А Рис. 222. неподвижной, при неизменной длине дуги будем всюду уменьшать кривизну з.

Из выпуклости з на- глядно видно, что при нашей деформации точка В будет все больше удаляться от точки А. Это легко проверить аналити- чески. Таким образом неравенство ЕР) АВ, а следовательно, и наше утверждение доказаны. Ради простоты мы применим следствие из этого предложения к таким кривым, которые получаются путем закручивания из дуги окружности, т. е. к пространственным кривым постоянной кривизны. Тогда путем подобного увеличения или уменьшения фигуры мы всегда можем достигнуть того, чтобы эта кривизна была равна единице. Поэтому мы ограничимся последним слу- чаем.

Рассмотрим все пространственные кривые с кривизной, равной единице, соединяющие две точки А и В. Для того чтобы среди этих кривых мы имели и дуга окружностей, допустим, что АВ меньше двух, Тогда действительно между точками можно провести окружность радиуса единицы. Обе точки разбивают Ю с) гл. в дифееиинцнхльнхя гвомвттня окружность на две дуги: более короткую дугу — 1 и более длин. иую — П (рис. 223). Оказывается, что имеет место следующий факт, с первого взгляда кажущийся парадоксальным: более короткая дуга 1 длшшее всех дуг соседних кривых нашего семей ства, а более длинная дуга П, наоборот, короче всех соседних.

Прн этом следует только исключить нз рассмотрения те дуги, которые получаются из / дуг 1 и П путем вращения вокруг АВ, так Е как эти дуги, конечно, имеют такую же л 1 длину, как дуга 1 и соответственно П. Та- 1 кнм образом речь идет о тех дугах, кото. л ,/ рые получаются из дуг 1 и П путем закру.

чивания. Докажем теперь общее положение: если Рис. 223. дуга пространственной кривой 1 постоян. ной кривизны, равной единице, соединяющая точки А и В, не длиннее дуги П, то она короче дуги 1. Переведем при помощи закручивания дугу 1 в плоскую дугу окружности з, которую мы наложим на окружность, проведенную через АВ таким образом, что один конец дуги з совпадет с точкой А (рис. 224). Тогда другой конец дуги и совпадет с некото. рой точкой В' окружности. Согласно доказанной выше теореме хорда АВ' короче хорды АВ.

Длина дуги 1 должна быть равна одной из тех дуг, на которые разбивает окружность хорда АВ'. Из этих двух дуг одна длиннее, чем дуга П, и следовательно, исключается из рассмотрения; значит, длина дуги 1 равна другой дуге окружности, т. е, короче дуги!. Таким образом мы доказали, что не суще- 4 ствует дуги с кривизной, равной единице, соединяющей точки А н В„промежуточной по длине между дугами 1 и П. Посмотрим теперь, не существует ли других ограничений для длины такой дуги.

Прежде всего легко видеть, что длина дуги может быть сколь угодно велика. В самом деле, между кривыми постоянной кривизны содержатся, между прочим, и винтовые линии (с, )84). Ход винта таких винтовых линий мы можем считать сколь угодио малым. Таким образом мы можем произвольно увеличить число витков такой винтовой линии между двумя точками, находящимися на расстоянии АВ, Но при достаточно малом ходе каждый завиток имеет длину, приблизительно равную длине окружности радиуса единица.

Таким образом длина дуги между точками А и В может быть в самом деле сколь угодно большой (рис. 225). Рис. 224 $ м. кнученнв пностнлнстввииых книвых 21б Наоборот, такая дуга не может иметь бесконечно малой длины, а именно длина ее во всяком случае должна превосходить расстояние между точками А и В по прямой. К этой нижней границе, однако, можно подойти сколь угодно близко. Именно, если взять на винтовой линии с кривизной, равной единице, ход винта очень большим, то касательная к винтовой линии будет почти па- й раллельной оси и расстояние винтовой линии от оси станет сколь угодно малым.

Дуга такой винтовой линии сколь угодно мало отличается от ее хорды (рис. 226), и это доказывает наше утверждение. Таким образом мы нашли, что задача соединения двух точек наикратчайшей кривой с кривизной, равной Я единице, не имеет решения. Выше мы характеризовали минимальные по- Рнс. 22б. Рнс. 226 верхности минимальным условием, похожим иа это, и Риман сформулировал важные теоремы теории функций в виде определенных минимальных условий. Отсюда мы видим, что, казалось бы, само собой разумеющееся допущение, что всякая минимальная задача имеет решение, требует в каждом отдельном случае доказательства, и вовсе не всегда оно оправдывается.

Такие доказательства существования являются до настоящего времени наиболее утомительными задачамианализа ($38, 39). Вот совсем простой пример минимальной задачи, не имею. щей решения. Пусть требуется соединить две точки А и В наикратчайшей дугой кривой так, чтобы эта дуга была перпендикулярна в точке А к прямой АВ. В этом примере можно точно так же сколь угодно близко подойти к расстоянию по прямой между А и В, но никогда нельзя достигнуть его, так как прямолинейный от- 4 резок АВ не удовлетворяет нашему ус. ловию (рис. 227).

Рнс. 227. Наконец, упомянем об одной минимальной задаче, существование решения которой уже давно подвергалось сомнению. Пусть требуется двигать в плоскости стержень АВ таким образом, чтобы он в конечном счете повернулся на два прямых угла и цри этом движении образовал поверхность наименьшей плошади. Оказалось, что эта задача не имеет решения, Зигзагообразным движением можно площадь этой поверхности сделать сколь угодно малой. гл, нс диооьоенциальная гвомитиня 5 32. Одиннадцать свойств шара') Мы ознакомились с поверхностями гауссовой кривизны, рав. ной нулю. Теперь рассмотрим поверхности с постоянной поло.

жительной или отрицательной кривизной. Простейшей и во мно. гих отношениях важнейшей поверхностью такого рода является шар. Основательное исследование шара дает материал, доста. . точный для целой книги. Здесь мы приведем только одиннадцать особенно наглядных свойств шара. При этом мы познакомпмся с несколькими новыми понятиями, имеющими значение не только для геометрии шара, но и для общей теории поверх.

ностей. Относительно каждого из свойств мы поставим вопрос, определяет ли это свойство шар однозначно илн существуют и другие поверхности, обладающие таким же свойством. 1. Точки шара расположены на постоянном расстоянии от одной определенной точки и имеют постоянное отношение расстояний от двух неподвижных точек. Первое из этих свойств есть элементарное определение шара и потому определяет его одно. значно. То, что шар обладает вторым свойством, можно непосредственно доказать аналитически. Однако следует заметить„ что это второе свойство определяет кроме шара также и пло.

скость, а именно — плоскость получается тогда и только тогда, когда это отношение равно единице, В этом случае получается плоскость симметрии обеих точек. 2. Очертания и плоские сечения шара суть' окружности. Прн рассмотрении поверхностей второго порядка мы ознакомились с теоремой, что все плоские сечения и очертания этих поверхностей суть конические сечения. Для шара все эти конические сечения превращаются в круги. Этим шар определяется однозначно.

Поэтому мы имеем право сделать вы. вод о шарообразности Земли нз того факта, что при лунных зат. мениях тень Земли всегда имеет вид круга. 3. Шар имеет постоянную ширину и постоянн ы й о х в а т. Под постоянной шириной понимают то свойство шара, что две параллельные касательныеплоскости шара всегда имеют одинаковое расстояние. Таким образом шар можно про. извольным образом вращать между двумя такими плоскостями.

Характеристики

Список файлов книги