Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Это предположение оправдывается. В самом деле, параболические точки характеризуются тем, что в этих точках одна из главных кривизн равна нулю, а значит, в этих точках произ. ведение главных кривизн, т.е. гауссова кривизна, обрашается в нуль. Плоскость состоит только из параболических точек. Следовательно, из постоянства гауссовой кривизны прн изгибании вытекает, что невозможно наложить плоский лист бумаги на положительно или отрицательно искривленный кусок поверхности. И действительно, можно непосредственно убедиться, что в пер- 4 зэ.

сФеРическОе изовойм(инин и ГАуссОВА кРиВизнА 199 вом случае на бумаге образуются складки, во втором случае— разрывы. Рассмотрим теперь поверхность, не состоящую целиком из параболических точек, но такую, на которой имеются то гки как положительной, так н отрицательной гауссовой кривизны. Так как гауссова кривизна изменяется па поверхности непрерывно, то па этой поверхности должны быть точки, для которгнх гауссова кривизна обращается в нуль, и такие точки должны Образовать непрерывные кривые, отделягощие области положпгельной гауссовой кривизны от областей отрицательной кривизны. Такие кривые, состоягцпе нз параболических точек, называются параболическими кривыми поверхности '). Конечно, параболические кривые должны существовать лишь в тех случаях, когда гауссова кривизна поверхности имеет как положительное, так и отрицательное значение.

На поверхностях, рассмотренных нами до снх пор, это нн разу не имело места. Поверхности второго порядка либо пмегот всюду положитсльнуго кривизну, как, например, эллипсоид, либо всюду отрицательную кривизну, как одпополостный гиперболоид, или же на ппх ~ауссова кривизна всюду равна нулю, как, например, на цилиндре н па конусе, которые можно получить из плоского листа бумаги.

Наконец, минимальные поверхности не имеют ни в одной точке положнтельноч кривизны. Теперь мы укажем примеры поверхностей, обладающих параболическими кривымн, и рассмотрим их сферическое изображение. Одну нз самых простых поверхностей подобного рода представляет поверхность колокола Эту поверхность можно получить путем М Клейн подверг своеобразному исслсдоваинго параболические кри- Рис. 204. аыс Оп допустил, что художественная красота лина имеет в основе определенные математические соотношения, и в связи с этим нарисовал все параболические кривые па Аполлоне Бельведерском, линни лина которого представляют высшую степень классической красочьг Однако эти кривые, во.первых, не имеют простого вида, а во-вторых, не удалось обнаружить закона, которому они подчиняются (рис.

204). ГЛ. 1Ч. ДИФФЕРВНПИАЛЪНАЯ ГЕОМЕТРИЯ вращения плоской кривой, имеющей точку перегиба, вокруг оси, лежащей в ее плоскости (рис. 205). Будем считать ось вращения вертикальной. Для случая, изображенного на рис. 205, ветвь кривой, расположенная выше точки перегиба, образует часть поверхности с эллиптической кривизной, а нижняя часть кривой образует часть поверх. ности с гиперболической кривизной. Такнмобразом окружность, образуемая точкой перегиба при вращении кривой, есть параболическая кривая колокола. Это можно усмотреть также из поведения касательных плоскостей.

Касательные плоскости в гиперболических точках пересекают колокол по петлеобразной кривой, образующей две ветви, проходящие через точку касания (рис. 206). Если точка касания приближается к параболической крн. вой снизу, то замки)тая часть петли становится все меньше и обе ветви сечения, проходящие через точку касания, образуют в этой точке все более острый угол.

Наконец, когда точка касания ляжет на параболической криРис 206 вой (рис. 207), петля стянется в точку каса- ния, а кривая образует острие в этой точке. Если точка касания движется дальше в сторону эллиптической части поверхности (рис. 208), то кривая пересечения состоит из точки касания как изолированной точки и непрерывной ветви Рис. 206. Рис. 206. Рис, 207. кривой, расположенной целиком в гиперболической части поверхности.

Таким образом попутно мы получили примеры для перечисленных выше (с. 177) случаев особых точек плоских кривых. Рассмотрим'теперь сферическое изображение колокола вблизи параболической окружности (рис. 209). Окружим произвольНую точку параболической кривой достаточно малой замкнутой кривой 1234бб781, внутри которой будет заключен определенный $ ск сФеРическОе изОБРАжение и гиуссОВА кРизизнл 991 кусок поверхности Р.

Пусть точки 1 и 5 будут высшей и низшей точками Р. Пусть наша кривая встречает параболическую ок. ружность в точках 8 и 7. Меридиан, т. е. та кривая, при вращении которой мы получили колокол, в окрестности ее точки перегиба имеет параллельные касательные (с. !76). Очевидно, соответствующие точки колокола имеют параллельные нормали и, следовательно, один и тот же образ на сфере. Следовательно, каждой окружности, расположенной параллельно параболической окружности и несколько выше нее, должна соответствовать вторая окружность, расположенная несколько ниже параболической и имеющая то же самое сферическое изображение. Отсюда мы видим, что сферическое изображение куска поверхности не взаимно однозначно.

Для того чтобы сделать это обстоятельство наглядным, возьмем точки 2, 4, 6, 8 на границе Р так, чтобы точки 2 и 4, а также 6 и 8 имели параллельные нормали. Параболическая окружность делит площадку Р на две области Р1 и Рь внутренность которых состоит целиком из эллиптических и соответственно гиперболических точек поверхности, которые, следовательно, могут быть взаимно однозначно отображены на две области шара.

Общей границей этих двух областей служит изображение дуги параболической окружности, которая, очевидно, и на шаре представляет дугу окружности, расположенную в горизонтальной плоскости. Но в то время как Р1 и Ри расположены по разные стороны от параболической окружно.

сти, их изображения на шаре оба расположены выше изобра. жения параболической окружности. Отсюда следует, что они перекрываются. Граница площадки Р изображается в виде 5' з' ю' причем точка 2' совпада- / ет с точкой 4', а точка 6' — с точкой 8', и изоэ с бражакпцая кривая пересекает сама себя в этих точках. 3 Таким образом сферическое изображение колокола выворачивается Рис. 209. вдоль изображения параболической кривой. Такое выворачивание имеет место, как правило, для параболических кривых любых поверхностей.

Однако имеется характерное исключение, которе мы поясним на другом примере. ГЛ. Ш, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Проведем через вертикальную ось произвольную плоскость, начертим на ней окружность, не пересекающую ось, и будем затем вращать плоскость вокруг оси. Тогда окружность опишет некоторую поверхность вращения, называемую тором 1рис. 210).

Окружность делится верхней точкой А и нижней точкой В на две полуокружности 1 и П. Часть тора, образуемая полуокружностью 1, очевидно, обладает положительной гауссовой кривизной, а часть образованная полуокружностью !1, — отри. цательной. Обе части тора отделяются одна от другой окружностями, которые описываются точками А и В. Эти окружности — параболические кривые нашей поверхности. Всякая касательная плоскость, и проведенная к тору в какой- нибудь точке одной из этихокРис. 210. ружностей, имеет с тором един.

ственную общую ветвь кривой, проходящую через точку касания, так как, очевидно, такая касательная плоскость соприкасается с тором вдоль целой окружности и не встречает поверхности тора в других точках. Таким образом здесь мы имеем пример параболической точки, в ко. торой касательная плоскость в сечении с поверхностью не образует кривой, обладающей точкой заострения. На рис. 211 изображена кривая, полученная от пересечения с поверхностью тора касательной пло- 1 скосъи в гиперболической точке тора, соседней с параболической кривой, В эллиптических точках тора касательная плоскость имеет с тором только одну общую точку, имен« но точку касания.

Рассмотрим теперь сферическое изображение тора. Вообразим, что в каждойточке поверхности выбрано направление нормали, именново внешнюю сторону от поверхности. Рис. 211. Тогда обе параболические окружности, которые обладают только параллельными нормалями, отобразятся на шар каждая в одну точку, именно в верхнюю и нижнюю точки шара. Эллиптическая часть тора не имеет парал. Э БЭ. СФЕРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ И ГАУССОВА КРИВИЗНА 203 лельных нормалей, Ее сферическое изображение, как легко видеть, покрывает сплошь весь шар, притом однократно, за исключением высшей и низшей точек шара.

Но то же самое имеет место и для гиперболической части. Таким образом шар дважды покрывается сферическим изображением тора за исключе. нием верхней и нижней точек шара,в которых обе части изобра. жения связаны. Чтобы сделать наглядным этот вид связи, поступим так же, какв предыдущем примере. Представим себе, что мы рассматриваем тор и его сферическое изображение сверху под некоторым углом (рис. 212) и окружим параболическую точку тора достаточно малой замкнутой, ие имеющей двойных точек кривой 12341.

Выбор этой точки н вид сферического изображения кривой можно усмотреть непосред- Рас. 2!2. ственно из чертежа. То, что сферическое изображение выглядит наподобие восьмерки, соответствует тому факту, что в эллиптической области направление обхода сохраняется, между тем как в гиперболической области направление обхода изменяется на обратное. Наш пример характерен для того случая, когда поверхность соприкасается с одной и той же плоскостью вдоль некоторой (непременно параболической) дуги кривой.

Наоборот, пример с колоколом иллюстрирует наглядно тот случай, когда касательная плоскость меняется вдоль параболической кривой, В обоих примерах параболическая кривая отделяет на поверх. ности область с положительной гауссовой кривизной от области с отрицательной гауссовой кривизной. В качестве последнего примера рассмотрим поверхность с параболической точкой, расположенной изолированно в некоторой области поверхности, которая в других точках искривлена седлообразно (рис. 2!Э).

Такой пример дает описанное на с. 193 обезьянье седло. Очевидно, что для этой поверхности па« раллельными нормалямн обладают те точки, которые расположены диаметрально противоположно по отношению к параболической точке, Следовательно, замкнутой, не имеющей двойных точек кривой, проведенной вокруг этой точки, соответствует на шаре замкнутая кривая, дважды обходящая сферическое изображение этой точки. Очевидно, можно таким же образом построить изолированные параболические точки с седлообразной окрестностью, для которых сферические изображения кривой, окружающей параболическую изолированную точку, обходят ГЛ Ис ЛИФФЕРЕНШ4АЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 204 соответству|ощую точку на шаре три раза и вообще произволь. ное число раз. Если, наоброт, исходить из изолированной параболической точки, окрестность которой имеет эллиптическую кривизну, то можно показать, что сферическое изображение ведет себя так, как если бы кривизна была всюду эллиптической и никакой параболической точки вовсе не было бы.

В заключение покажем, как ведут себя линии кривизны н асимптотические линии при сферическом изображении. Сферическое изображение дает возможность полностью охарактеризовать направление главных кривизн. Именно, это — единственные направления, параллельные направлениям своих изображений. Рис. 213, Только в случае точек округления этот критерий недействите.

Характеристики

Список файлов книги