Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Соприкасающаяся плоскость в указанном выше смысле имеет с кривой три совпадающие общие точки. Отсюда следует, что она, вообще говоря. пересекает кривую в точке соприкосновения, между тем как все остальные плоскости, проходящие через касательную, оставляют кривую по одну сторону. Так как соприкасающаяся плоскость содержит касательную, то она перпендикулярна к нормальной плоскости.

Теперь мы рассмотрим еще ту плоскость, проходящую через взятую точку кривой, которая перпендикулярна как к нормальной плоскости, так и к соприкасающейся плоскости. Эта плоскость называется спрямляюи4ей плоскостью. Три названные плоскости можно рассматривать как коорди. натные плоскости пространственной декартовой системы координат, которая особенно удобна для описания поведения кривой ГЛ. Гт'. ДНФФЗРЕИЦИАЛЪНАЯ ГЕОМВТРИЯ в рассматриваемой точке.

Касательная есть одна осъ этой системы; две другие оси, которые лежат в нормальной плоскости, называются главной нормалью и бнпормалъю; главная нормаль лежпт в соприкасающейся плоскости, а бинормаль — в снрямляющей плоскости (рис. 189). Этн трн плоско. сти ввиду нх завнснмостнот точки крнвой называются сопровождакнцпм трехтран инком кривой. Этот трех гранннк соответствует си . стене нз касательной н нор. мали для плоской кривой. КМ г В пространстве каорди- Я ян ватная система определяет в ие четыре, как на плоскости, а восемь областей. Прн по- $ нощи сопровождающего трехгранника можно аналогпчно рассмотрению на с.

!75 различать восемь ви. дов точек кривой. Опять таки только один яз этих случаев правильный, остань нне (если только кривая Р-Р С Р ° 4 сн Л- Ч - дЕйетВИГЕЛЪКО ПРОСтраиеткнсакннаная плоскость; Ж-варна»»в»я плсскссгьк л — сна»ма»вне»в п'нсиесгь; т — кас»- ванная а не лежит В одной непьяна; Ь -главная нерваль: а — аввьаманьт а — круг нняннкнмт т — ралвус нряявкны; кл — ч с' лм-н Р н: ся только в отдельных местах. В случае правильной точки кривая пересекает сопряквсаюшуюся плоскость и нормальную плоскость и остается но одну сторону спрямляющей плоскости. Рассмотрения осталь. ных случаев мы здесь приводить не будем. В случае пространственных кривых простого аналитнчсскано строении, так же кам и в случае плоских кривых, могут иметь место еще три особеня ности, именно; двойные точки, концевые точки и изолированные точки.

Теперь мы обобщим гауссово изображение на случай про страпства. С этой целью построим шар радиуса единица. Для каждой касательной к кривой (па которой определено иаправ. ление движения) проведем параллельно ей направленный радиус шара, Конец радиуса па поверхности шара назовем нзо. брвжеинем соответствующей точки кривой, полученным с ион Мощью касательной, Всей кривой тогда соответствует онредин т тт. цеост анстанннын канные ленная кривая на пооерхиости пира, сферическая инднкатриса касательным Еслк нсходнть не от касателькой, а от главной нормали нли бннормали, то можно получить дне другие кривые иа единичном шаре; эти три есферическне инднкатрисыв находятся в простых соотношениях со своим сопровождающим трехгранником и взятой кривой.

Инднкзтриса касательных и инднкатрисз бннормалей вместе характеризуют, например, упомянутые восемь тинов точек кривой. Именно, сама точка кривой, касательизя и бинормаль либо движутся по ириной в том же направлении дальше, либо меняют нанравлеине. Комбинация различных возможностей дает как раз восемь свучаев. Перенесем теперь покятне кривизны на пространственные кривые. Проведем в двух соседних точках кривой Рр к Рр касательные ~, и Гэ и рассмотрим отношение р р .

Когда точка х ~Фвй) ! ь Р2 стремится к точке Рь то это отношение, как правило, стремится к некоторому пределу, который называется кривизнон кривой н точке Рь Иа плоскости кривизна находятся в определенном соотношении с предельным положением точки пересечения двух нормалей. Аналогичное рассмотренна н пространстве дает не одну точку, а целую прямую. Именно, рассматривают прямую пересечения соседних нормальных плоскостей и называют ее предельное положение осью кривизны кривой. Она находится в нормальной плоскости н, как следует из перехода к пределу, она параллельна бннормали ~ряс.

1Щ Точка пересечения ее с главной нормалью называется центром кривизны. расстояние г этой точки от соответствующей то~ни кривой называется радиусом кривизны. Так же как н иа плоскости, г равно обратной величине кривизны. Если пронести через три соседние точки кривой окружность и затем сближать эти три точки до совпадения, то в пределе получается круг кривнзни — круг, который лежит н соприкасающейся плоскостк и имеет центром центр кривизны, з радиусом — раднус кривизны.

С гауссовой ннднкатрисой касательных кривизна находится в таком же соотиошеикк, как н в случае плоскости; радиус кривизны есть предельное значение отношения малой дуги кривой к соответствующен дуге нпдикатрнсы касательных. Доказательство можко провести так же, как для плоскости. Вместо угла между двумя касательными можно взять угол между двумя соприкасающимися плоскостями, нли, что то же самое, угол между двумя бннормалями; при этом приходим к новому, очень важному в теории пространственных кривых понятию.

Если разделять этот угол на расстояние между соответствующими точками кривой и заставить сближатьсл этн точки, то предельное значение 1 этого отношения называется кручением нлн второй кривизной кривая во взятой точке, Об-. ГЛ. 1Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ратная величина кручения, очевидно, есть предел отношения длины малой дуги к ее изображению на индикатрисе бинормалей.

Кривизну можно было получить путем предельного перехода, в котором участвуют три соседние точки кривой. Чтобы полу. чить аналогичное толкование для кручения, необходимо исходить от четырех соседних точек. Четырьмя точками вообще оп. ределяется шар. Рассмотрим предельное положение шара, проходящего через четыре соседние, стремящиеся к совпадению точки кривой. Шар, принима1ощий это предельное положение, называется соприкасающимся шаром.

Как видно из предельного перехода, соответствующая касательная касается этого шара, а центр его лежит на оси кривизны (рис. 189). Для расстояния этой точки от центра кривизны вычисление дает значение 1 — — где дг и дз — дифференциалы длины дуги и радиуса 1 Нз' кривизны, Далее из построения можно заключить, что соприкасающийся шар пересекается с соприкасающейся плоскостью как раз по кругу кривизны. Для радиуса соприкасающегося шара получаем отсюда по теореме Пифагора значение Точно так же как на плоскости величины з и г, так и впространстве величины з, Г,1называются естественными параметрами кривой.

Аналогично тому, что было на плоскости, в пространстве справедлива следующая теорема: вид пространственной кривой может быть одним и только одним способом опреде. лен так, что при этом г и 1 будут наперед заданными функ- 1 пнями от з. Если — тождественно обращается в нуль, то мы по- Г лучаем прямую.

Тождественное обращение в нуль 1 характеризует плоские кривые. Если же Г и 1 постоянны и отличны от нуля, то мы получаем винтовые линии. Кривые на шаре характеризуются несколько более сложным условием. Шар, на котором расположены кривые, должен для всех точек кривой быть вместе с тем соприкасающимся шаром. Таким образом вычисленный выше радиус соприкасающегося шара должен быть постоянным: г'+ (д ) ° —,=сопз1. Можно доказать аналитически, что это условие в то же время достаточно.

Другие вопросы, относящиеся к пространственным кривым, мы разберем ниже в теории поверхностей. 5 м. НРиВизнА поВВРхности 188 5 28. Кривизна поверхности. Случаи эллиптический, гиперболический н параболический. Линни кривизны и аснмптотнческие линии; точки округления, минимальные поверхности; «обезьянье седлоа Ограничимся небольшим куском поверхности, таким, кото. рый не пересекает сам себя, и оставим граничные точки куска вне рассмотрения.

Рассмотрим точку Р поверхности и все кривые, расположенные на поверхности и проходящие через точку Р. Замечательно, что все касательные, которые можно провести к этим кривым в точке Р, лежат вообще в одной плоскости, которая вследствие этого называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р, Точки, в которых существуют касательные плоскости, называются правильными, все остальные — особыми точками. Особые точки не могут заполнять всю поверх.

ность; они могут заполнить лишь отдельные группы кривых на пове хности. г) рямая, перпендикулярная к касательной плоскости в правильной точке Р поверхности, называется нормалью к поверхности в точке Р. Кривые, получающиеся при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через нормаль к поверхности, называются нормальными сечениями. Нормальные сечения в правильной точке Р нли правильны в точке Р, или имеют в этой точке точку перегиба. Теперь задача состоит в том, чтобы перенести понятие кривизны на поверхности. В случае кривых кривизна характеризовала отклонение кривой от своей касательной в рассматриваемой точке. Поставим теперь аналогичный вопрос о поведении поверхности по отношению к своей касательной плоскости.

Характеристики

Список файлов книги