Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Здесь, очевидно, можно различать два существенно различных случая, а именно: точки с выпуклой и точки с седлообразной кри. низкой. Точка с выпуклой кривизной характеризуется тем, что касательная плоскость, касающаяся поверхности в этой точке, не пересекает поверхности в ближайшей окрестности рассматриваемой точки, а лежит целиком по одну сторону поверхности. Иначе говоря, в такой точке поверхность можно положить на плоскость стола. Примеры поверхностей, выпуклых во всех своих точках, представляют шар и эллипсоид. Точки выпуклой кривизны называются также точками эллиптической кривизны. Поведение поверхности в точке седлообразной кривизны можно легче всего уяснить на поверхности, имеющей вид гор. ного перевала (рис. 190).
Касательная плоскость в высшей точке Р перевала расположена горизонтально. Хребет поднимается вправо и влево от точки Р вверх, в то время как спереди и сзади от этой точки склоны хребта идут вниз. Касательная плоскость' 186 ГЛ. ИА ДИФФЕРЕИЦИАЛЬИАЯ ГЕОМЕТРИЯ в точке Р должна, следовательно, пересекать поверхность по кривой, состоящей из двух пересекающихся в точке Р ветвей (иначе говоря, имеются два горизонтальных пути, пересекающихся на перевале). Такое поведение касательной плоскости ха. рактерно для точек седлообразной кривизны, и ясно, что поверхность в точке такого рода нельзя положить на плоскость стола.
Примеры поверхностей, вс1оду искривленных седлообраэно, представляют одиополостный гиперболоид и гиперболический параболонд. Точки с седлообразной кривизной называются также гиперболическими точками. Выпуклый и седлообразный типы отделяются один от другого переходным случаем— точками параболической кривизны.
Зги точки можно получить, Р например, следующим способом: будем исходить из двух кусков поверхностей Р и 6, соприкасающихся в некоторой точке Р, т. е. име1ощих в точке Р общую касательную плоскость, причем по. верхность Р в точке Р имеет эл. Рис. 190. липтическую точку, а поверхность Π— гиперболическую точку. Будем теперь непрерывно деформировать поверхность Р так, чтобы точка Р и соответствующая касательная плоскость оставались неизменными, а поверхность Р в конце концов перешла бы в поверхность б; тогда деформируемая поверхность в процессе деформации примет в некоторый момент такой вид, при котором точка Р будет для нее параболической точкой.
Так, например, если мы на рис. 190 будем склонять хребет по обе стороны перевала так, чтобы гребень хребта всюду все еще касался горизонтальной касательной плоскости, то точка Р будет параболической точкой. В самом деле, если мы наш хребет направо и налево будем склонять еще больше, то прежний перевал превратится в купол, т. е. станет эллиптической точкой поверхно. сти. Однако этот пример не дает всех типов параболических точек, Наоборот, имеется несколько весьма различных типов параболических точек, с которыми мы познакомимся впоследствии (с.
198 — 200, 202 — 204), между прочим, н таких, которые нельзя выразить просто как переходный случай между эллип. тической и гиперболической точками. Чтобы дать также численное выражение кривизне, можне исходить из кривизн нормальных сечений в некоторой точке Р, роверхностн. Центр кривизны такого нормального сечения в точ, $28, КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ 13Т ке Р всегда лежит на нормали к поверхности, проходящей через точку Р, нбо эта нормаль служит нормалью для всех нормаль.
ных сечений, проходящих через точку Р. Мы можем получить все нормальные сечения, если будем вращать плоскость, прохо« дящую через нормаль к поверхности, вокруг этой нормали. При этом вращении центр кривизны будет определенным образом двигаться по нормали и тем самым давать картину свойств кривизны в данной точке поверхности. В случае эллиптической точки Р (рнс. 191) центры кривизны лежат на нормали по одну сторону от точки Р. Вообще прн вращении нормальной плоскости радиус кривизны будет изменять свою величину, и для некоторого определенного нормального сечения з~ он полу,чит наибольшее значение гь а для другого, аи — наименьшее значение гь г, н ги называются главными радиусами кривизны поверхнои Рис, 191.
сти в точке Р; обратные величины й~ — —— 1 и Ц = — называются главными кривизнами, а направления касательных к з~ н зи в точке Р называются направлениями кривизн. Оказывается, что эти направления в правильной точке всегда перпендикулярны друг к другу, и вследствие этого кривизна любого нормального сечения полностью определяется главными кривизнами н углом этого нормального сечения с направлениями кривизны. В случае гиперболической точки Р, (рис. 192) центры кривизны лежат на нормали по обе стороны от точки Р. Именно, когда нормальное сечение на' поверхности, имеющей внд горного пере— вала, проходит по обоим хребтам, центр кривизны лежит выше рассматриваемой точки Р, когда же сечение проходит по обоим склонам, то центр кривизны леи жнт ниже точки Р. Прн этом имеется Рис, 192.
одно нормальное сечение, центр кривизи иы которого лежит над точкой Р и кри-. визна которого больше, чем кривизна всех других нормальных сечений этого рода. Если мы станем поворачивать нормальную плоскость' из этого положения, то кривизна будет непрерывно уменьшаться, а радиус кривизны увеличиваться. Когда, наконец, Нормальная плоскость совпадает с направлением одного из иа.
188 ГЛ. Ш. ДИФФЕРЕНПИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ черченных на рис. !90 горизонтальных путей, проходящих через точку Р, то кривизна станет равной нулю, а центр кривизны удалится вверх в бесконечность. Если продолжать поворачивать дальше нормальную плоскость, то центр кривизны скачком переходит на нижнюю полупрямуюнормалиидалее из бесконечностиснизу начнет двигаться вверх, т. е.
радиус кривизны будет убывать, а кривизна возрастать. Наконец, кривизна получит некоторое значение йз большее, чем кривизна всех остальных нормальных сечений, центр кривизны которых лежит ниже точки Р. Так же как в случае эллиптической точки, й, и й, называются главными кривизнами, а направление соответствующих нормальных сечений — направлениями кривизны. В случае гиперболической точки направления кривизны также перпендикулярны друг к другу. Кроме того они делят пополам углы между обеими ветвями кривой, по которым касательная плоскость пересекает поверхность. Направления обеих этих ветвей кривой называются асимптотнческими направлениями в точке Р.
В параболических точках вообще также существуют два перпендикулярных друг к другу направления кривизны, в которых кривизна й~ и ез соответствующих нормальных сечений больше и меньше кривизны всех остальных нормальных сечений. Параболические точки характеризуются тем, что одна из двух ~пав. ных кривизн равна нулю. Вообще вторая главная кривизна отлична от нуля.
При этом центр кривизны движется из положения, в котором он соответствует главной кривизне, отличной от нуля, вдоль по нормали в бесконечность (рис. !93). Таким обра- зом в параболической точке, вообще гово! ря, имеется ровно одно нормальное сечение с кривизной, равной нул1о.
Направление его есть одно из направлений кривизны; но его ! можно рассматривать также и как асимп. 3 готическое направление. На каждом куске поверхности можно аналитически определить все кривые, на. правление которых в каждой точке совпа. дает с направлением одной из двух главных кривизн. Таким образом можно получить сеть кривых на поверхности, т. е. си- Рис. 193.
стему из двух семейств кривых, каждое из которых покрывает сплошь весь кусок по. верхности. Эти кривые называются линиями кривизны поверх. ности. Согласно вышесказанному линии кривизны в каждой точке поверхности перпендикулярны друг к другу; значит, они образуют ортогональную систему на поверхности. Имеются, однако, точки, для которых вышеприведенныерассуждения теряют силу, Именно, мы исходили из предпосылки, 5Ж НРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ 189 что кривизна нормального сечения изменяется при вращении нормальной плоскости. Может, однако, случиться, что все нормальные сечения в какой-нибудь точке имеют одинаковую кривизну.
Тогда направления главных кривизн становятся неопре. деленными; такие точки называются точками округления. Пример поверхности, состоящей только из одних точек округления, Очевидно, представляет шар. Впрочем, шары и плоскости — един. ственные поверхности, состоящие только иэ точек округления. Вообще же точки округления встречаются в виде изолированных точек. Сеть линий кривизны в этих точках и только в них может иметь особенности. Для линий кривизны имеет место интересная теорема Дюпена.
Мы уже (с. 13 — 14) ознакомились с понятием ортогональ« ных семейств кривых на плоскости. Пространственную аналогию таких семейств представляют семейства поверхностей, у которых касательные плоскости в каждой точке взаимно перпендикулярны.
Так как на плоскости через всякую точку можно провести лишь две взаимно перпен. дикулярные кривые, а в пространстве можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, то естественно рассматривать такие ортогональные семейства поверхностей, которые в каждой точке пространства имеют по три взаимно перпендикулярных поверхности.
Пример подобной ортогональной системы представляют уже ранее упомянутые софокусные поверхности второго порядка. На плоскости (а также и на всякой кривой поверхности) для каждого заданного семейства кривых можно найти ортогональные семейства кривых. В соответствии с этим можно было бы ожидать, что в пространстве для двух ортогональных семейств поверхностей всегда можно найти третье ортогональное семейство. Однако согласно теореме Дюпена такое предположение несправедливо. Именно, эта теорема утверждает, что поверхности тройной ортогональной системы всегда пересекаются по линиям кривизны. Поэтому, если двойная ортогональная система поверхностей может быть расширена до тройной ортогональной системы, то заданные поверхности должны пересекаться по линиям кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
