Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

тарную теорему, что через три произвольные точки пространства проходит только одна плоскость; действительно, в пространстве имеется аоэ троек точек, в плоскости «оэ троек, так что мы полу. чаем «число» плоскостей оо', разделив первое «число» на второе. Определяя прямую двумя точками, мы находим, что в пространстве имеется ао' прямых, так как в пространстве имеется еоэ пар точек, а на прямой оо». Шары мы можем определить, задавая центр и радиус. Отсюда следует, что в пространстве имеется оо' шаров. Если до.

бавить к этому семейству еще плоскости как предельный случай шаров, то наш подсчет подвердит известный факт, что через четыре точки пространства всегда можно провести либо шар, либо плоскость. Так же как и в случае конических сечений, определение шара не всегда однозначно и в нашем случае будет однозначным тогда и только тогда, когда взятые четыре точки не лежат на одной окружности нлн на одной прямой. Аналогичное явление имеет место всегда. Если определено семейство поверх. ностей с и параметрами нсчерпыва<ошим образом (как, например, на плоскости семейство всех конических сечений опреде. лено исчерпывающим образом в противоположность семейству всех эллипсов), то через и точек пространства всегда проходит адиа,поверхность семейства, Однако эта поверхность не во всех % м, исчислительные методы геометгии 165 случаях определяется однозначно и точками, а только тогда, когда взятые и точек находятся в «общем положении», т.

е. когда между этими точками нет определенных геометрических соотношений, причем вид этих соотношений зависит от заданного семейства поверхностей. Линейчатая поверхность второго порядка определяется тремя прямыми, не лежащими попарно в одной плоскости. В простраи. стве имеется ооз а = оо" троек прямых, но так как иа линейчатой поверхности второго порядка всякая прямая принадлежит к одному семейству с одним параметром, то аоз троек прямых определяют одну и ту же поверхность, и следовательно, всего имеется оо' лннейчатых поверхностей второго порядка.

Точно так же имеется всего соя трехосных эллипсоидов. В самом деле, мы получим все эллипсоиды, причем только по одному разу, если зададим центр (три параметра), длины осей (три параметра), направление большой оси (два параметра) и плоскости, перпендикулярной к этой оси, и проходящее через центр направление меньшей оси (один параметр). Аналитическое рассмотрение показывает, что вообще имеется всего соя поверхностей второго порядка. Для этого семейства имеет место теорема, что через девять произвольных точек пространства всегда проходит одна поверхность. Для того чтобы это определение было однозначным, т. е. чтобы точки имели достаточно обшее расположение для данного семейства, необходимо исключить тот случай, когда точки расположены на определенных пространственных кривых четвертого порядка, которые могут быть построены как пересечение двух поверхностей второго порядка: понятно, что задание произвольного числа точек, ле-, жащих на подобной кривой, не определяет однозначно поверх.

ности второго порядка. Теперь мы покахсем, что на всякой поверхности второго порядка лежит бесконечное множество прямых. Для этой цели нам нужно будет исходить нз определенного факта, который следует непосредственно нз аналитического определения поверхности второго порядка, именно, что прямая, имеющая три обшне точки с подобной поверхностью, всегда целиком лежит на этой поверхности. Но, очевидно, на поверхности второго порядка (и на всякой другой произвольной поверхности) имеется ооа троек точек. Если мы выберем теперь те тройки, которые лежат на одной и той же прямой, то исчислительная геометрия позволяет сделать заключение, что имеется всего оо' таких троек, т.

е. что два параметра отпадают. Отсюда следует, что необходимы два аналитических соотношения, чтобы выразить, что одна из точек лежит на прямой, проходящей через две другие точки. Здесь имеет место общая теорема, что число параметров не' которого семейства может быть уменьшено на и, если ограни 166 ГЛ. П!, КОНФИГУРАЦИИ чйться только теми элементами семейства, которые удовлетворяют и независимым соотношениям; независимыми называются и соотношений тогда, когда их нельзя заменить меньшим, чем и„ числом соотношений. Соответственно этому на каждой поверхности второго порядка действительно должно сушествовать ОО' коллинеарных троек точек. Всякая прямая, содержашая такую тройку точек, по-предыдущему должна целиком лежать на по« верхностн.

Но на прямой имеется ООА таких троек точек. Следо. вательно, коллинеарные тройки точек поверхности второго порядка лежат на Оо'прямых, проходящих на поверхности. На эллипсоиде, эллиптическом параболоиде и двуполостном гипер-. болоиде эти прямые мнимы. В заключение приведем еше несколько замечаний относитель. но поверхностей третьего порядка, так как эти поверхности тесно связаны со свойствами рассматриваемого ниже двойного шести- сторонника Шлефлн.

Аналитически эти поверхности характеризуются тем, что они выражаются в декартовых координатах уравнениями третьей степени. Но общее уравнение третьей степени с тремя переменными содержит двадцать коэффициентов„ которые определяются соответствующей поверхностью с точ. постыл до общего множителя. Отсюда следует„что имеется всего ,ОО1Э поверхностей третьего порядка и что через девятнадцать произвольных точек пространства всегда проходит такая поверхность. При этом следует добавить к числу поверхностей третьего порядка все случаи вырождения поверхностей.

Например, следует рассматривать поверхность второго порядка вместе с неко~ торой плоскостью как поверхность третьего порядка. Прямая вообше имеет трн обшие точки с поверхностью третьего порядка, а прямая, имеющая с такой поверхностью четыре общие точки, должна лежать на этой поверхности целиком. Это можно легко заключить из того, что уравнение поверхности есть уравнение третьей степени. Мы покажем теперь при помощи исчислительных методов, что на поверхности третьего порядка самого обшего вида может лежать лишь конечное число прямых. На всякой поверхности имеется ОО' четверок точек. Для того чтобы такая четверка была коллинеарна, необходимы четыре условия, так как, для того чтобы третья и четвертая точки лежали на прямых, проходящих через первые две точки, необходимо по два условия. Поэтому на поверхности третьего порядка общего вида лежат ооА коллинеарных четверок точек.

Всякая прямая, содержащая четыре точки поверхности, лежит целиком иа поверхности и содержиъ ОО' других четверок. Поэтому, если бы иа поверхности лежало бесконечное множество прямых, то поверхность должна была бы содержать более чем Оч' коллинаариыд четверок точек, 1 м. двопноп шестисторонник шлноли 167 Среди поверхностей третьего порядка также имеется много линейчатых поверхностей, на которых, следовательно, лежат соз или более коллинеарных четверок точек. Отсюда следует, что уравнение линейчатой поверхности третьего порядка должно обладать специальным своиством, а именно, это уравнение вместе с четырьмя условиями коллинеарности четверки точек должно заменяться системой из меньшего числа уравнений.

Можно доказать, что такая редукция возможна лишь в том случае, если между двадцатью коэффициентами уравнения третьей степени имеет место соотношение специального вида. Таким образом на поверхности третьего порядка общего вида действительно может лежать лишь конечное число прямых '1. Аналогично можно подсчитать, что на поверхности порядка выше третьего вообще не лежит ни одной прямой. 5 25.

Двойной шестистороиннк Шлефли Прежде всего приведем несколько простых соображений относительно возможного расположения прямых в пространстве. Три прямые а, Ь, с, не расположенные попарно в одной плоскости, определяют гиперболоид Н. Произвольная четвертая прямая с7 вообще пересекается с гиперболоидом в двух точках. Эта прямая может также касаться гиперболоида или лежать целиком на нем. В общем случае через каждую точку пересечения проходит одна прямая, лежащая на гиперболоиде и не принадлежащая к тому семейству, к которому принадлежат прямые а, Ь, с, следовательно, пересекающая эти прямые. Обратно, всякая прямая, пересекающая прямые а, Ь, с и с1, должна лежать на гиперболоиде и проходить через точку пересечения гиперболоида с прямой д.

Следовательно, вообще говоря, для четырех прямых имеются две и только две прямые, пересекающие эти четыре прямые. Если в нашем примере мы возьмем случай, когда прямая Н является касательной к гиперболоиду, то имеется только одна, считаемая дважды прямая, инцидентная с прямыми а, Ь, с и с1. Если, наоборот, имеется больше, чем две прямые, пересекающие прямые а, Ь, с, с1, то прямая ~7 должна целиком лежать на гиперболоиде. Таким образом в этом случае имеется бесконечное число прямых, пересекающих прямые а, Ь, с, К Тогда говорят, что эти четыре прямые имеют гиперболоидальное расположение. Теперь, для того чтобы построить двойной шестнсторонник Шлефли, будем исходить нз произвольной прямой 1 и проведем через эту прямую три прямые, не лежащие попарно в одной пло- '1 Так, например, ни через одну точку поверхности хрг = 1, лежащую в конечной части пространства, не проходит прямая, лежащая на поверх.

ности, ГЛ. П1. КОНФИГУРАЦИИ скости, и обозначим их по соображениям, которые выяснятся ниже, через 2', 3', 4' (рис. 179). Теперь проведем через прямую! новую прямую 5', которая должна иметь самое общее расположение по отношению к прямым 2', 3', 4'. Тогда прямая 5' не бу-. дет лежать в одной плоскости с прямыми 2', 3', 4' и кроме пря. мой 1 имеется еще только одна другая прямая, пересекающая прямые 2', 3', 4', 5'. Обозначим эту прял,у 4 у л мую числом 6.

Проведем теперь через прямую 1 последнюю прямую 6', не пе ресекающую прямых 6', 2; 3', 4', 5'. Далее выберем прямую 6' так, чтобы четверки прямых 2', 3', 4', 6', 2', 3', 5; 6', 2', 4', 5', 6' и 3', 4', 5', 6' имели наиболее общее расположение. Тогда кроме прямой 1 имеется еще только одна прямая 5, пересекаю1цая прямые 2', 3', 4', 6'.

Характеристики

Список файлов книги