Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

178; один нз кубооктаздров выделен также на рнс. 172), В расРнс. 178. смотренной нами проекции этн пространства снммстрнн, как н всякие пространства, проходяшне через центр проекцвй, должны преобразоваться в плосьостн конфнгурапнн Рене. В самом деле, трн четырехугольника н четыре треугольника соответствуют днаметральяым парам нз 2 + 3 квадратов н 2 + 4 равносторонннх трсугольннков кубооктаэдра.

16! О се. ИСЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИИ Сом всегда равно АСИ т. е. постоянно, Отсюда следует, что главная диагональ разделится иа равные отрезки, Можно доказать, что получится как раз и отрезков и что точка Се для всякого числа Й, лежащего между 1 и п — 1, служит изображением (но) вершин куба, где (".) — известный символ биномиального коэффициента. При этом точка С» служит изображением всех тех и только тех вершин, которые могут быть соединены й и, не менее, чем й, ребрами куба с точкой А.

Можно сосчитать, что таких вершин имеется в точности ("„). В случае квадрата и обычного куба изложенные факты можно легко уяснить. 5 24. Исчислительиые методы геометрии Последняя пространственная конфигурация, которую мы рассмотрим, двойной шестисторонник Шлефли, приводит к интересному геометрическому методу особого рода, который называется исчислительной геометрией. Мы прежде всего изложим этот метод, чтобы потом не прерывать исследования двойного шести- сторонника; кроме того этот метод представляет сам по себе большой интерес.

На плоскости имеется бесконечное множество прямых и бесконечное множество кругов. Для того чтобы охарактеризовать множество всех прямых плоскости, выберем неподвижную систему декартовых координат на плоскости. Тогда, вообще говоря, прямая определяется теми двумя отрезками, которые она отсекает на осях координат. Таким образом мы можемвсегда,— за исключением одного случая, который мы сейчас укажем,— задавать прямую аналитически двумя числами. Прямые, параллельные одной из осей, мы можем также определять этим способом, если один из отрезков, отсекаемых на осях, зададим как отрезок бесконечной длины.

Напротив, все прямые, проходящие через начало координат, не могут быть определены таким способом; все эти прямые дают одни и те же числа, именно: нули для обоих отрезков. Говорят, что прямые, не проходящие через начало, образуют семейство с двумя параметрами, выражая этим то обстоятель. ство, что каждая прнмая семейства определяется двумя числами (параметрами семейства) и что непрерывному изменению параметров соответствует непрерывное изменение прямых. Прямые, проходящие через начало, в соответствии с таким определением образуют семейство с одним параметром, так как их можно определить при помощи углов, которые они образуют с одной из осей. Принимают, что многообразие с двумя параметрами, грубо говоря, не увеличится значительно, если к нему добавить еще семейство с одним параметром, которое в него непрерывно вклю.

й д. Гнньбеос, С. Кон-Фоссен 162 гл. цп кон ьигя хции чено, В этом смысле совокупность всех прямых плоскости точно так же называется семейством с двумя параметрами. Мы вскоре убедимся в целесообразности подобного способа рассмотрения, Мы можем определять прямые на плоскости также н многими другими способами, например при помощи угла, который прямая образует с определенной прямой, и точки, через которую она проходит. Так как для определения точки иа плоскости необходимы две координаты, то если мы таким способом будем определять прямые, нам потребуется всего три параметра. Но мы можем выбирать определяющие точки на заданной прямой, а точки прямой, очевидно, образуют семейство с одним параметром.

Аналогичное явление мы заметим, если будем определять прямую двумя лежащими на ней точками. Тогда нам потребует. ся четыре параметра, семейство же пар точек с двумя парамет рами определяет одну и ту же примую. Чтобы получить истин« ное число параметров, нам нужно таким образом в последнем примере брать два параметра, а в предыдущем примере — один параметр, и таким образом, так же как и при первом способе задания прямой, мы находим, что прямые на плоскости обра. зуют семейство с двумя параметрами. Этот способ, только наме. ченный здесь, можно аналитически уточнить, причем можно доказать, что число параметров некоторого семейства геометрических образов не зависит от того, каким образом мы будем вы.

бирать параметры. Подобные рассуждения коротко записываются при помощи символа ао, В этом смысле говорят, что на плоскости имеется со~ прямых, на примой со' точек и оо' пар точек, Такое вычисление имеет аналогию с делением степеней чисел» мы можем разделить «чнсло» оо« всех пар точек плоскости на «число» оо' пар точек прямой, чтобы получить истинное «числов »»сР всех прямых на плоскости. Мы применим этот способ для того, чтобы определить мно.

жество всех кругов плоскости. Круг определяется своим центром и радиусом, таким образом для определения круга необходимо задать три числа, и обратно, каждому кругу соответствует одна единственная подобная тройка чисел, Таким образом на плоскости имеется всего ооа кругов. Так как семейство всех прямых имеет только два параметра и так как всякую прямую можно рассматривать как предельный случай окружности, то семей ство всех окружностей и прямых на плоскости точно так же имеет три параметра. Этому соответствует тот факт, что через всякие три точки плоскости всегда можно провести либо окруж.

ность, либо прямую. В самом деле, на плоскости имеется оо« троек точек и множество из соя троек точек определяет одну я ту же кривую. Аналогично можно показать, что в семействе пла« ских кривых с и параметрами всегда имеется кривая, проходя« щая через л совершенно произвольно выбранных точек»«йОЩй. э м.

исчислитвльнын мвтоды геометгии сти, но через и + 1 произвольных точек плоскости вообще не проходит ни одна кривая семейства. Однако эта теорема справедлива только в том случае, если включить в семейство также и все предельные случаи; так, между окружностями и тройками точек на плоскости возможно однозначное соответствие только в том случае, если включить в число окружностей также и прямые как предельный случай окружности. Строгая формулировка всех этих высказываний возможна только при помощи аналитических н алгебраических средств, причем, в частности, должны быть рассмотрены также и мнимые образы. Теперь перейдем к подсчету различных конических сечений.

Эллипс определяется двумя своими фокусами (четырьмя параметрами) и постоянной суммой расстояния от этих точек, т. е. всего пятью параметрами, и всякому эллипсу соответствует только одна единственная система таких пяти данных. Следовательно, на плоскости имеется ооз эллипсов. Точно так же можно доказать, что на плоскости имеется аоэ гипербол. Эллипсы можно определить также двумя осями, центром и направлением большой оси, что опять-таки дает пять параметров и согласуется с общей теорией. Отсюда следует, что семейство всех парабол на плоскости имеет четыре параметра, так как согласно построению, проведенному на стр. 11, параболы получаются как предельный случай эллипса, причем всегда семейство эллипсов с одним параметром определяет одну и ту гке параболу и каждый эллипс входит лишь в конечное число, а именно: в два подобных семейства.

Если задать две оси эллипса равными, то получится окруж. ность. Отсюда напрашивается ложный вывод. В самом деле, если мы установим, что обе оси должны быть одинаковой длины, то остаются еще четыре числа для задания кривой. Таким образом можно было бы думать, что на плоскости имеется оо' окружностей, а не со', как мы только что определили. Противоре,чие разрешается тем, что при одинаковой длине осей становится излишним также н задание направлений осей, так как любую пару перпендикулярных диаметров окружности можно рассмат. ривать как предельный случай осей эллипса.

Из вышеизложенного нельзя заключить, что через пять произвольных точек плоскости всегда можно провести эллипс. Такое заключение было бы как будто правильным, если к эллипсам добавить также параболы и окружности в качестве предельных случаев. Оказывается, однако, что нужно добавить еще и гиперболы. Совокупность всех конических сечений на плоскости, т. е. всех гипербол, парабол, эллипсов, окружностей н пар пря. мых и прямых (сосчитанных дважды), образует в смысле исчис'лительной геометрии одно единственное семейство, Согласно вышесказанному это семейство должно иметь пять параметров, так йь ГЛ.

НЬ КОНФИГУРАЦИИ как каждое из конических сечений принадлежит к определенному семейству с пятью или меньшим числом параметров. Для совокупности всех конических сечений действительно имеет место теорема, что через пять произвольных точек плоскости проходит одно коническое сечение. Более детальное рассмотрение, которое, однако, уже не относится по своей природе к исчислительной геометрии, показывает, что коническое сечение определяется однозначно, если никакие четыре из заданных точек не лежат на одной прямой. Если имеет место этот исключительный случай, то, очевидно, определение будет многозначным; в самом деле, через четыре точки прямой д и какую-нибудь пятую точ.

Ку Р МОЖНО ПрОВЕСтИ оо< Пар ПряМЫХ и, И, т. Е. со< КОНИЧЕСКИХ сечений специального вида, если выбрать в качестве прямой Ь произвольную прямую, проходящую через точку Р. Если точка Р также лежит на прямой и, то имеется даже со» пар прямых, ибо в этом случае прямую Й можно выбрать совершенно произвольно. Применим теперь исчислительные методы к пространствен. ным образам. Определяя плоскость тремя отрезками, отсекаемыми ею на пространственных осях координат, мы убеждаемся, что в пространстве имеется всего оо' плоскостей; ведь плоскости, проходящие через начало координат, которые одни только составляют исключение, образуют семейство с двумя параметрами. Таким образом наше исчисление подтверждает элемен.

Характеристики

Список файлов книги