Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Точки и прямые конфигурации Рейе образуют таким образом конфигурацию (!2э!6з). Далее, можно подсчитать, что через всякую прямую проходят три плоскости и в каждой плоскости лежат четыре прямые. Они образуют вместе с шестью лежащими в этой плоскости точкамн прямые и точки полного четырсхсторонника. Конфигурация Рейе играет роль в некоторых геометрических соотношениях, например в системе точек подобия четырех шаров, которую мы сейчас и рассмотрим. Подобными точками двух кругов или шаров, как известно, называют те две'точки прямой, соединяющей центры кругов илн шаров, которые делят эти отрезки внешним или внутренним об. разом в отношении, равном отношению радиусов.
Точка, расположенная между центрами шаров, называется внутренней, а точка, лежащая на продолжении линии центров,— внешней точ. кой подобия. Если два круга являются внешними друг к другу, то во внутренней точке подобия пересекаются обе пря- мые, касающиеся кругов с разных сторон, а во внешней точке подобия — обе гм1' прямые, касающиеся кругов с одной и той же стороны (рис, !46). Вращая полу. чившуюся фигуру вокруг линии центров, обнаружим рис. 116. аналогичные свойства касательных и точек подобия для лвух шаров (однако в случае шаров имеется еще бесконечно много общих касательных, которые не проходят через точки полобия). Будем обозначать через (И) внешнюю точку подобия и через (й)' — внутреннюю точку подобия двух кругов или шаров 1, я.
Рассмотрим теперь три круга или шара !, 2„3. Они имеют три внутренние и три внешние, т, е. всего шесть точек подобия, гз). 1Й, )соненгурдцнй' Представим себе, что центры шаров (нлн кругов) расположены не на одной прямой, а в вершинах некоторого треугольника, так )1то никакие две точки подобия не совпадатот и вСЕ ШЕСть точек пбдобня не лежат на одной прямой. По теореме Монжа тогда йрн внешние точки подобия (12), (23) и (31) всегда лежат на Одной прямой (рис. 147); точно так же на одной прямой лежат (Ж ги г Пг) Рис.
147, одна внешняя точка подобия и две внутренние точки подобия, не соответствующие этой внешней, например (12)', (23)' и (31) '), Все точки подобия расположены поэтому на четырех прямых, которые называются осями подобия кругов (нли шаров) 1,2,3. Можно усмотреть справедливость теоремы Монжа нз того, что точки и оси подобия образуют шесть точек и четыре прямых некоторого полного четырехсторонника, диагональный треугольник которого образуется центрами (кругов или шаров) 1, 2, 3.
Введем символическое обозначение для осей подобия: обозначим через (122) ось, проходящую через внешние точки подобия, через (1'23) — ось, на которой расположены точки (23), (12)', (13) ' и т. д. После этих предварительных замечаний перейдем к четырем шарам 1, 2, 3, 4, центры которых не лежат все в одной плоскости, так что никакие три центра не могут лежать также и на одной прямой (рис. 148). Мы утверждаем, что совокупность точек и осей подобия этих шаров образуют точки и прямые некоторой конфигурации Рейе.
Так как из четырех чисел 1, 2, 3, 4 можно образовать шесть различных пар и каждая пара пред. ') Доказательство: пусть гь гь гэ — радиусы шаров (илн окружностей) 1, 2, 3; тогда стороны треугольника, образованного центрами, делятся виеш. г~ гз гэ ними точками подобия в отношезшях — —, — —, — —. Так как произве- гэ ' гв ' г$ ' дение этих отношений равно — 1, то внешние точки подобия по теореме Ме. нелая лежат на одной прямой. Если заменить две внешние точки подобия соответствующими внутренинмн точками подобия, то два отношения изменят знак иа обратный.
При этом произведение снова равно — 1, т. е. мы снова получаем трн точки, лежащие на одной прямой. зж КОНФИГУРАЦИЯ Рнии ставляет одну внешнюю и одну внутреннюю точку подобия, то всего имеется двенадцать точек подобия. Точно так же истинное число осей — шестнадцать. Именно, нз четырех цифр можно об разовать четыре различные тройки н каждая тройка представ. лает четыре различные оси, например (123), (Г23), (12'3) и (123').
Каждая ось инцндентна с тремя точками. Например, ось '(123) инцидентна с точками (12), (23), (13). Точно так же каж. дая точка инцидентна с четырьмя осями, например точки (12) с осями (123), (123'), (124), (124'), или точка (12)' с осями (1'23), (12'3), (1'24), (12'4). Таким образом точки н осн подобия действительно образуют конфигурацию (124 16з). Чтобы убедиться в тождественности этой конфигурации с конфигурацией Рейе, необходимо найти еще двенадцать соответствующих плоскостей. Возьмем сначала четыре плоскости, в каждой из которых лежат по три центра шара; в каждой из этих плоскостей инцидентные с ней точки и оси образуют, так же как в конфигурации Рейе, четырехсторонник.
Чтобы найти теперь еще восемь таких плоскостей, возьмем Ггя Ряс. !48. просто все недостающие плоскости, которые образуются каждымн двумя инцндентнымн с некоторой точкой конфигурации оспин. Эти оси во всяком случае должны принадлежать к различным тройкам чисел, так как две оси одной и той же тройки„ например (123) н (1'23), определяют всегда плоскостьтрех цент.
ров шаров (в нашем примереплоскость (123)), и,следовательно, не дают ничего нового. Возьмем сначала две оси, содержащие 144 гл. ць конвигугхцйи только внешние точки подобия, например (123) и (124)'. Они оп« ределяют плоскость, проходящую через точку (12). В этой плоскости лежат еще четыре другие точки этих осей (!3), (23), (!4), (24). Но точки (23) и (24) лежат, кроме того, на другой оси (234), которая содержит также еще одну недостающую внешнюю точку подобия (34).
Таким образом шесть внешних точек подобия лежат всегда в одной и той же плоскости, которую мы рассмотрели. Эта плоскость содержит кроме осей (123) и (124) две другие «внешние» оси (134) и (234); таким образом она действительно инцидентна с шестью точками н четырьмя прямыми. Возьмем теперь случай одной внешней и одной внутренней осей, принадлежащих к различным тройкам чисел и инцидентных; так как онн могут пересекаться только во внешней точке подобия и так как все цифры равноправны, то мы можем выбрать оси (123) и (!24'). На этих осях кроме точки пересечения (12) лежат еще точки (13), (23), (!4)' и (24)'.
Так же как прежде, мы можем заключить, что в этой плоскости лежат еще оси (134') и (234') и точка (34)'. Таким об. разом мы находим, что три внутренние точки подобия, которые определяются шаром 4 и остальными шарами, вместе с тремя впешнимн точками подобия тройки 1, 2, 3 лежат в одной плоскости. Плоскостей такого рода должно быть четыре.
Мы еще не рассмотрели случая, который получается, если исходить из двух Внутренних инцидентных осей; оказывается, что на только что рассмотренной плоскости лежат трн попарно ннцидентные внутренние оси, но они всегда имеют одну общую внутреннюю точку подобия. Поэтому мы будем исходить яз двух осей, например (123') и (124'), которые пересекаются во внешней точке подобия — в нашем случае в точке (!2). В плоскости, определяемой нми; кроме точки пересечения (12) лежат еще точки (13)', (23)', (!4)', (24)', Следовательно, в этой плоскости лежат также оси (Г34) и (2'34) н точка (34). Поэтому эта плоскость содержит четыре внутренние оси; она пересекается с ребрами 1,2 и 3,4 тетраэдра 1, 2, 3, 4 во внешних точках подобия; с остальными четырьмя ребрами — во внутренних точках подобия.
Такого рода плоскостей должно быть три, так как каждый тетраэдр содержит три пары противоположных ребер, Таким образом мы получнлн по нашему способу всего ! + 4+ 3 = 3 плоскостей. Для более легкого обозрения мы приведем еще две схемы, устанавливающие инцидентность между точками и плоскостями н между осами и плоскостями. Грани тетраэдра обозначены через 1, П, 111, И, причем грань 1 противоположна точке 1. Плоскость внешних точек подобия обозначим через е„а четыре плоскости, содержащие по трн внешние и три внутренние точки подобия, обозначим через е~ — еь Наконец три остальные,плоскости соответственно парам ребер тетраэдра обозначим через 146 4 М, КОНОИГУУДЦИЯ ивин '(12, 34), ()3, 24), (!4, 23).
При обозначении точек и прямых в нашей таблице для сокращения опущены скобки. Плоскости !м,зч! и чдз! пз,з4! гг! е е, Точки Прямые На рис. 148 (с. 143) изображена эта конфигурация '). В том, что эта конфигурация тождественна с конфигурацией, изображенной иа рнс. 145, легко убедиться, если вообразить, что точки (12), (12)' и (34) удалены в бесконечность в направлениях, попарно перпендикулярных друг к другу. Тогда эти точки превратятся в три бесконечно удаленные точки конфигурации, изобра- Рис. 149.
Рис. 130. женной на рис. 145. Восемь точек (13), (14), (23), (24), (13)', (14)', (23)', (24)' превратятся в вершины куба, а (34)' — в центр куба. В этом случае, однако, и точки 1 и 2 удалятся в бесконечность. Чтобы определить также и четыре шара, соответствующих рис. 145, нам придется обобщить определение точек подобия '! Если представить себе рис. !48 квк плоскую фигуру, то ок изобразит плоскую конфнгурипню (12,, 16,), состоящую из точек подобия и осей четырех окружностей, лежащих в одной плоскости, При этом пентрвми снова служат точки 1, 2, 3, 4, в радиусы можно взять такими же, квк в пространственном случае. 23 24 34 23' 24' 34' 234 2'34 23'4 234' 13 14 34 13' 14' 34' 134 !'34 !3'4 134' 12 14 24 12' 14' 24' 124 1'24 12'4 124' !2 13 23 12' 13' 23' 123 Г23 12'3 123' 12 13 14 23 24 34 123 !24 134 234 23 24 34 12' 13.' 14' 234 Г23 1'24 1'344 13 14 34 12' 23' 24' !34 12'3 12'4 2'34 12 14 24 13' 23' 34' 124 123' 13'4 23'4 12 !3 23 14' 24' 34' 1 23 !24' 134' 234' 12 34 13' !4' 23' 24' 1Ю' 124' 1'34 2'34 13 24 12' 14,' 23' 34' 12'3 1'24 134' 23'4 !4 23 12' 13' , 24' 34' 1'23 12'4 13'4 234' 146 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
