Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Взаимная заменяемость точек и прямых называется принципом двойственности в просктнвной плоскости. Согласно этому принципу каждому предложению соответствует в силу двойствсн. ности другое п))едложенне и точно так же всякой фигуре в силу двойственности соответствует другая фигура. Прн этом точкам, лежащим на некоторой кривой, соответствует последовательность прямых, которью, вообще говоря, огибают некоторую другую кривую, касаясь сс во всех точках, Более детальное исследование показывает, что семейство прямых, соответствующее а силу двойственности точкам некоторого конического сечения, всегда огибает также некоторое коническое сечение.

Согласно принципу двойственности л!ы можем из теорем Брнаншона вывести ряд других теорем, называемых тсорсмами Паскаля по имени ученого, доказавшего их. Для того чтобы наглядно показать двойственность обеих групп теорем, выпишем их рядом в соответствующей,: уг другу форме. ввсконсчно тдхланныв элементы ' !26 проходят через точки А и В; тогда линии, соединяюи(иепротивоиоложные вершины, пересекаются в одной точке (брииншонова точка шестиугольника). ны поперетленно на прямых а и о.

Тогда точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прятиой (паскалева иря ная шестиугольника). Рас. !зп Паскаля соответствует конфигурация (9,)ь Поэтому мы с самого начала назвалн эту конфигурацию конфигурацией Брнанщона — Паскаля, Таким образом конфигурация (9»)! «двойственно ннварнантиа». Как брнанщопову точку, так и паскалеву прямую мы можем выбрать в конфигурации соверщенно произвольно. Из последней теоремы Паскаля прн помощн бесконечно.

удаленных элементов маятно получить частный случай, который без введения этих понятий не мог бы стоять нн в какой познаваемой связи с первоначальной теоремой. Именно, если мы проведем паскалеву прямую в бесконечности„ то получим следующее прсдложеннс: Если вершиньс шестиугольника лежат попеременно на двух прямых и если, кролю того, две пары противоположных, сторон Фигура, соответствующая последней теореме Паскаля, очевндио, должна быть двойственна конфнгурацнн (9») ь Но и вообще оказыяастся, что фигура, двойственная некоторой конфнгурацщ! (ртдх), представляет также копфнгурацню и прнтом типа (д р ), Конфигурациям спепнального вида, которые мы обозначплп символом (рт), и только этим конфигурациям соотвстстьуют по прпнцнпу двонствснностп конфигурации такого жс типа.

Казалось бы, что конфигурация теоремы Паскаля, т. е, фигура, соответствующая по принципу двойственностн конфигурации (9г) ь должна представлять одну нз двух других конфигурации (9»), Оказывается, однако (рпс. 13!), что и теореме гл. ш, конэигэгхции параллельны, то и третья пара сторон должна быть параллельна '(рис. 132). Этот специальный случай теоремы Паскаля называется теоремой Паппа.

После того как мы убедились, что конфигурация (9,), двойственно инвариантна, легко вывести заключение, что и конфигурации (9з) з и (9з) з должны быть двойственно инвариант ными. В самом деле, в против-. Р1 ИГ5 ном случае оставалась бы оде Ц) /5! рц на возможность, именно, что конфигурация (9ь), прн применении принципа двойственности перейдет в копфигурацшо (9ь)ь Но конфигурация (9з)а правильна, а конфигурация (9ь)з нет. Следовательно, эти две фигуры нс могут соответствовать друг другу по принципу двойственности, Перейдем теперь к конфигурациям (10,), Для того чтобы представить важнейшую из этих конфигураций, конфягурацшо Дезарга, необходимо ввести бесконечно удаленные элементы н принцип двойственности в пространстве.

9 19. Бесконечно удаленные элементы и принцип двойственности в пространстве. Теорема Дезарга и конфигурация Дезарга (10з) Производя яроектпрованис в пространстве, мы познакомились с понятием проективной плоскости. Пространство в целом точно так же преобразуется в образ, во многих отношениях более простой, в «проективное пространство», если добавить бесконечно удаленныс элементы„ однако в этом случае проектирование перестает быть наглядным и обосновывается только абстрактно.

Прежде всего предположим, что в соответствии с прежним принципом на всех плоскостях обыкновенного пространства введены бесконечно удаленные элементы. Тогда напрашивается мысль назвать бесконечно удаленной плоскостью пространства совокупность бесконсчно удаленных зэчек и прямых. Эта совокупность имеет то общее свойство с обычными плоскостями пространства,чтоона пересекается со всякой плоскостыопопрямой, а именно, по бесконечно удаленной прямой этой плоскости. Со всякой обыкновенной прямой бссконечно удаленная плоскость, так же как н всякая другая плоскость, не содержашая этой прямой, имеет только одну обшую точку, именно бсскоиечпо удаленную точку прямой.

й ю. всеконечно уддлвнныв элвмвнты в ппострднстве ' . гйу Далее, две плоскости могут быть параллельны тогда и только тогда, когда оии содержат одну и ту же бесконечно удаленную прямую '). Многие свойства геометрии пространства упрощаются прн таком представлении. Так, можно рассматривать параллельную проекцию как частный случай центральной проекции, при котором центром проекции служит бесконечно удаленная точка. Далее, можно, например, определить разницу между однополостным гиперболоидом и гиперболическим параболоидом тем, что гиперболоид пересекает бесконечно удаленную плоскость по собственному (ггевыродившемуся) коническому сечению, между тем как параболоид пересекает бесконечно удаленную плоскость вдоль пары образующих прямых. Такое различие равно.

зпачно объяснению, данному иа с. 23, что три не лежащие в одной плоскости прямые лежат на параболоиде, а не на гипербо.лоиде, тогда и только тогда, когда оии параллельны некоторой плоскости; в самом деле, это значит, что эти три прямые пересекают одну бесконечно удаленную прямую, которая должна лежать иа этой жс поверхности, так как она имеет с ней три общие точки. В проективном пространстве, очевидно, следует рассматри. вать нес плоскости как просктивные плоскости, и следовательно, здесь имеет место принцип двойственности на плоскости. В пространстве в целом имеет место, однако, еще один, отличный от этого, принцип двойственности.

Чтобы получить его, приведем, так же как и в случае плоскости, группу аксиом, которые определяют в просктивном пространстве инцидеитиость точек, прямых и плоскостей, причем мы не будем дслать различия мсжду конечными и бесконечно удаленными образами. Зти аксиомы можно сформулировать следующим образом; 1, Дее плоскости определяют одну и только одну пряму>о; три плоскости, не проходящие через одну прямую, определяют одну и только одну точку. 2. Дее пересекающиеся прямьге определяют одну и только одну точку и одну и только одну плоскость. 3.

Дое точки определяют одну и только одну прямую. Три точки, не леясаи)ие на одной прямой, определяют одну и только одну плоскость. Эта система аксиом остается неизменной, если обменять местами слова «точка» и «плоскость» (при этом первая аксиома ') Так как, с одной стороны, нараллельностгь а с другой стороны, обшность бесконечно удаленных првмых равнозначны тому свойству, что для каждой првмой одной плоскостн можно провести параллельную ей пркмую в другой плоскости.

Гл нь копФигутлггни 13В поменяется местами с третьей, а вторая остается неизменной), Точно так же и совокупность всех остальных аксиом проектив. ной геометрии пространства остается при такой замене неизменной, так что в пространстве плоскость и точка двойственно соответствуют друг другу, между тем как прямая соответствует сама себе. Совокупности точек поверхности двойственно соответствует система касательных плоскостей к другой поверхности, причем подобно коническим сечениям иа плоскости и в пространстве поверхности второго порядка двойственно соответствуют сами себе. Простейшая и в то же время важнейшая теорема проектив.

пой геометрии пространства называется теоремой Дезарга. Теорема Дезарга гласит: Пусто даны в пространстве два треугольника АВС и А'В'С'. Пусть эти треугольники расположены так, что прямые, соедпннюи1ие соответствуюи1ие веригины, пересекаются в одной точке О (рнс. 133), Тогда, во-первых, три пары соответствуюи)их Рнс. 133, сторон треугольников пересекаются в трех гочках Я, 5, Т и, вовторых, эти три точки лежат на одной прямой, Первая часть теоремы доказывается весьма просто.

Характеристики

Список файлов книги