Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, равносторонние треугольники могут служить граннмп трех различных многогранников. Таким образом мы приходим всего к пяти возможностям для правильных многогранников'). Все эти пять возможностеи действительно Рнс. 95. Рис. 96. осугцествляются. Еще Платон знал все пять правильных многогранников и придавал им большое значение. Поэтому они называются также платоновыми телами. В приводимой ниже таблице сопоставлены важнейшие данные для всех пяти правильных многограннвков, а на рис. 95 — 99 даны изображения этих многогранников в ортогональной проекции.
с!ново Вна много- уговьной грани граней, сао. ЛяШнкся в нажатой вершние Нааавнне многогрвннана ребер граней вершин Треуголь- ник Квадрат Питиуго- льник Тетраздр (рис. 95) Октаэдр (рис. 96) Икосаэдр (рис. 97) Куб (гексаэдр) (рис. 98) Додеказдр (рве. 99) 12 30 12 30 8 20 6 12 6 12 8 20 Все правильные многогранники находятся в таком же отношении к шару, какое мы указали в предыдущем параграфе для ') В этом рассуисдснни ие все договорено (сделать это предоставлено нитателю).
Другое доказательство см. 6 44. — Прим. реда Гл. 1!. ПРАвильные тОчечные системы тетраэдра н октаэдра. Все опи могут быть вгисаны в шар и каждый нз этих многогранников приводит к дискретной группе движений шара, так что вершины многогранника образуют систему эквивалентных точек. Если провести через все вершины многогранника касательные к шару плоскости, то эти плоскости должны образовать новый многогранник, который должси переходить в само~о себя при движениях, содержащихся в группе. Казалось бы, что н новый миого1рап- /l пик также представляет правильный мполл ~ ' "л ""' »л' л пять мно1ограпинков должны попариосо- | «4 .
у~ ° - ° л» лллл. л л," л,лл1 л. ~«« ° * * л; л л 7,' '1', правильный многогранник, именно куб. , л У;г -.3 1-!а рис. 100 изображено взаимное расф положение обоих этих многогранников. Таким образом мы могли быопределпть группу О шара при помопш куба так жс, Рис, 97. как мы определили эту группу при по- мощи октаэдра. Взаимную связь обоих тгл можно усмотреть в таблице; число вершин одного тела равно числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребе-; в вершине одного тела сходится столько граней, сколько вершин имсстся у грани другого тела. Поэтому мржпо также описать октаэдр вокруг куба (рпс.
10!). Как показывает паша таблица, аналопшные соотношения имеют место между додекаэдрол1 и икосаэдром. Поэтому оба тела приводят к одной и той жс группе 1пара, которую обычно называют группой икосаэдра. !!сходя из кристаллографических соображений, мы не могли бы прийти к этой группе, так как в исй играет роль число 5, между тем как в кристаллографических классах иш пяп1кратиых осей. Для тетраэдра при таком по- СТРОЕНИИ МЫ ПОЛУл1аЕМ СНОВа тетРаЭДР. В следующей главе мы познакомимся с принципом двоиственностп в пространстве, которьш даст нам более общий метод приведения в соответствие точек, прямых н плоскостей одной фигуры с плоскостями, прямыми и точкалги другой фигуры. По этому принципу двойствешюсти куб соответствует октаэдру, икосаэдр — додекаэдру, а тетраэдр — самому себе.
Более детальное рассмотрение показывает, что группа тетраэдра представляет подгруппу группы октаэдра. Подобно этому мы уже виделн, что 'среди дискретных групп движения плоскости одни группы представля1от подгруппы других. Связь между группами Т и О имеет то яаглядное следствие, что в куб можно вписать правильный тетраэдр так, что вершины тетраэдра будут являться вершинами 101 % 14 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГГЛН1И!КН куба, а рсбра тстраэдра будут служить диагоналями граней куба. Таким образом могкно вписать в куб два тетриэдра (рис. 102).
Рис. 98. 1'ис. 99. Рис. 100. Рис. !01. Рис. 103. Рис. 102. Совершенно таким же образом, как тетраэдр в куб, можно вложить куб в додеказдр (рис. 103). Детальное исследование показывает, что можно вложить в каждый додеказдр пять ку. боа; при этом на каждой грани додекаэдра лежит по одному, ребру каждого куба и в каждой вершине скодятся по два куба.
Глаеа !И ' КОНФИГУРАЦИИ В этой главе мы познакомимся с таками геометрическими фактамп, для формулировки и доказательства которых нам пе придется ни измерять, нн сравнивать никаких отрезков плп у|- лов. Казалось бы, чзо без измерения длнп и углов нельзя определить вообще никаких сущсствениых свойств какой-нибудь фигуры, а можно только высказывать исто шые положения. И, в са. мом деле, в течение долгого времени в геометрии занимались только исследованием метрических соотношений. Только научное обоснование перспективы в игивописи привело к вопросам такого рода, которымп мы будем заниматься ниже.
Именно, если проектировать глоску1о фигуру из некоторой точки па какую-нибудь другую плоскость, то длины и углы будут изменяться; прн этом параллельные прямые могут даже превратиться в непараллельные, А между тем некоторые сушественпые свойства фигур долгкны сохраниться, иначе мы не воспринимали бы проекцию как правильное изображение.
Таким образом метод проекций привел к новой теории, которая вследсзвие такого происхождения была названа проектпв~ой геометрией. Начиная с Х!Х в., проектпвпая геометрия занимает центральное место в геометрическом исследовании Благодаря введению однородных координат удалось свестн теоремы проектпвной геометрии к алгебраическим уравнениям, точно так же как декартовы координаты позволнлн свести к уравнениям метрические теоремы. Однако аналитическая просктнвная геометрия отличается от метрической гораздо большей симметрией и общностью; поэтому, если хотят, наоборот, истолковать геометрически более тонкие алгебраические соотношения, то обычно их преобразуют в однородную форму, выражая переменные через однородные координаты, так как метрическое выра.
жение этих соотношений в декартовой системе координат было бы не наглядным. Более того, можно и метрику рассматривать как специальную часть проективной геометрии. Элементарными образами проективной геометрии являются точки, прямые и плоскости. Элементарные высказывания проективной геометрии относятся к простейшим возможным соотноше. пням между этими тремя образамн, а именно, к их взаимному расположению или инцпденгносгп, Под ннцидентностью пони- 4 )5.
О ПЛОСКИХ КОНФИГУРАЦИЯХ мают следующие соотношения: точка лежит на прямой, точка лежит па плоскости, прямая лелсит на плоскости.,Очевидно, могут быть три высказывания, равносильные этим, а именно: прямая проходит через точку, плоскость проходит через точку и плоскость проходит через прямую.
И вот, для того чтобы придать симметрический вид этим трем парам высказываний, и было введено понятие инцндентности: прямая инцидентна с точкой, плоскость иицидентна с точкой, плоскость инцидептяа с прямой. Высказывания Относительно пнцидентности являются во многих отношениях важнейшими в проективпой геометрии. Тем не менее в нроективной геометрии прпмсн>потея сще два других основных понятия, которые не могут быль выведены пз понятия ннцидептности. Так, следует различать два различных расположения четырех точек на одной и той же прямой; кроме того, необходимо ввести понятие непрерывности так, чтобы совокупность всех точек прямой была связана с совокупностью всех чисел.
Этот перечень исчерпывает основные поня>э>я проективной геометрии. Мы рассмотрим особенно поучительную область проектпвной геометрии — конфигурации. Это откроет пам перспективы и в отношении других геометрических вопросов. Здесь можно е>це упомянуть, что долгое время конфигурации рассматривалиськак важнейшая область всей геометрии >). й 15. Предварительные замечания о плоских конфигурациях Плоская конфигурация представляет собой систему из р точек и сг прямых, расположенных на плоскости таким образом, что всякая точка системы инцидентна с одним и тем же числом т> прямых этой системы и, точно так >ке, всякая прямая системы инцндентиа с одним и тем же числом п точек системы.
Подобная конфигурация обозначается символом (р йД. Четыре числа р, ьо, и, у ие вполне произвольны. В самом деле, мы требуем, чтобы через все р точек проходило всего ур прямых системы. При этом каждая прямня считается и раз, так как оиа проходит через и точек. Таким образом число и прямых системы равно ур>гп. Мы видим, следовательно, что для всякой конфигурации должво иметь место соотношение: р1> = ггтс. В Подробвое изложение этого предмета можно найти в кнл 1ев1 Р. Сзеогпе1г1зсйе Копйяигапопеп. — Ве!рг18, 1929, Теория конфигураций получила дальнейшее алгебраическое развитие. Ли.
тература об этом приведена в статье: А р г у н он Б. И. Конфигурационные постулаты в проективных плоскостях н и» алгебраические эквиваленты,— мести. ИГУ, 1948, Аз 1, — Прим, лед, 1О4 Гл п3 конФнгугхпии Точка и проходящая через иее прямая образуют простейшую конфигурацию, символ которой (1~ 1,). Следующей простой конфигурацией является треугольник (Зэ Зэ). Проведем теперь на плоскости чстыре прямыс так, чтобы среди них нс было параллельных прямых и чтобы ннкакнс три прямые не проходили через одну точку; мы полу ~им шссть точек пересечения АВС1)ВР (рис. 104). Г)звестная фигура полного чстырехсторонника, получающаяся таким образом, есть кошригурацпя (6э 4з), Равенство 6 2 = 4 3 подтверждает нашу общую формулу.
В этой конфигурации в противоположность первым двум тривиальным случаям не все прямые, соединяю. ьцие точки конфигурации, являются в то же время прямыми копфнгурашш; тоша так же, вообще говоря, пе все то~ни пересечения прямых конфигурации не- ),ГА временно должны быть, точкамн конфигурации. Для того чтобы получить все прямые, соединяюгцие точки конфигурации (рес. 104), иам необходимо еще провести три диагонали АВ, ВВ, СР, Г1рп этом мы получаем в качестве новых точек пересечения трп вершины РЯБ диагонального треугольника, Можно было бы думать, что путем проведения дальнейших соединяющих прямых и получения дальпейпшх точек пересечения мы придем к некоторой конфигурации, у которой, так же как н у трсугольпнка, все прямые, соединяющие две точки конфигурации, всегда являются прямыми конфигураций и все точки йерссечецня двух прямых конфигурации всегда являются точками конфигурации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
