Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Т (рис. 93). Если соединить центр шара с одной из вершин тетраэдра, то прямая эта пройдет также через центр противолежащей грани. Так как эта грань представляет равносторонний треугольник, а с другой стороны, в каждой вершине сходятся три грани, томы получаем четыре трехкратные оси.
Если, далее, соединить шесть середин ребер тстраэдра с центром шара, то мы получим не шесть, а только три прямых, так как середины ребер попарно диаметрально противоположны. Эти осн могут быть только дву кратными, если тетраэдр должен переходить сам в себя. Таким образом класс Т содержит три двукратные оси, которые кроме того попарно перпендикулярны друг другу Для того чтобы получить фунда' ментальную область на шаре, мож. но исходить из сферического треугольника, соответствующего грани тетраэдра.
Однако такой треугольник отнюдь не представляет еще у фундаментальной области, так как при вращении вокруг трехкратной оси переходит сам в себя. Но этот „-ь~„-> треугольник, очевидно, можно построить нз трех фундаментальных областей (рис. 93). Исследование последнего класса~ 11. О (рис. 94) производится аналогично, Шесть вершин октаэдра расположены попарно противоположно друг к другу Рис.
94.' и в каждой вершине сходятся четыре грани. Таким образом мы получаем три четырехнратнече оси. Точно так же восемь граней октаэдра расположены попарно противоположно. Так как они всегда представляют равносто. ронине треугольники, то оии дают четыре трехкратные оси.
Наконец, так как октаэдр имеет двенадцать ребер, причем ребра попарно противоположны, то класс О содержит ыесть двукратных осей, В качестве фундаментальной области мы можем использовать треть сферического треугольника, соответствующего грани октаэдра (рис. 94). Одиннадцать классов, установленных нами, приводят всего к 65 пространственным федоровским группам движений. Таким образом разделение на классы чрезвычайно облегчает обозре. ние такого большого количества групп.
Понятие класса можно гл. и. пгхвильныя точечныа системы ввести точно такам же образом и на плоскости. Тогда мы получим дискретные группы движений окружности, причем это буяя дут; простое тождество и повороты на углы, кратные и, — , — , в Таким образом мы имеем только пять классов, а в каждом з ' классе только одну федоровскую группу движений; поэтому деление на классы плоских федоровских групп движений ие дает никаких преимуществ. Так же как на плоскости, федоровские группы движений и в пространстве приводят к правильным точечным системам, при.
чем они связаны с задачей построения пространства из коигруэнтных конечных частей так, чтобы построение осуществлялось совмещениями, при которых всякая часть переводилась бы в любую другую. Эта задача еще не решена. В интересах химии кристаллов целесообразно наряду с системами точек рассмотреть системы стрелок.
В пространстве, од. нако, нельзя обойтись одной единственной стрелкой, так как здесь возможно и вращение вокруг направления стрелки. Здесь мы получим исчерпывающую ориентировку только в том случае, если припишем каждой точке две стрелки различной длины и направления. Если теперь мы сравним найденные опытным путем структуры кристаллов с геометрически определенным набором всех систем стрелок, то придем к поразительному результату. прн. рода не только использовала весь этот геометрический набор полностью, но кроме того существует еще много структур кристаллов, которые не были охвачены нашим понятием правиль ных точечных систем, хотя и там все элементы равноправны.
Именно, наше третье определяющее свойство правильной точечной системы состояло в том, что все точки должны быть равно. правны, причем равноправность характеризовалась тем, что всякая точка системы должна переводиться во всякую другу|о точку при совмещении. Если в качестве преобразований совмещения системы допустить также зеркальные отражения, то можно прийти к более общему понятшо точечной системы; при этом следует допустить зеркальные отражения плоскости по отношению к лежащей в этой плоскости прямой и зеркальные отражения пространства относительно одной из плоскостей простраи.
ства. Эти более общие преобразования также оставляют неизменными длины и углы. Такие преобразования приводят только к взаимной замене правой и левой сторон, причем зеркальные отражения пространства не могут быть получены из основного расположения путем непрерывного движения. Если под именем преобразований совмещения объединить все преобразования про странства, оставляющие неизменными длины и углы, то дискрет- 4 Га крнстяллогрхФичвские классы 97 иые группы преобразований совмещений образуют совокупность, которая охватывает вге дискретные группы движений, но кроме того содержит и другие многочисленные группы.
Этн более обще>о вида группы также были определены полностью. Обозрение этих групп облегчается тем, что движения, содержащиеся в каждой из них, образуют подгруппу, т. е. группу, тнп которой может быль определен, исходя из наших прежних рассмотрений. Деление па клг<сы и группы как па плоскости, так и в пространстве можно перенести на совмещения, содержащие зеркальные отражения. Подобно винтовым двпжеьпим вокруг параллельных осей па одинаковые углы, зеркальные отражения в параллельных плоскостях или прямых отличаются друг от дру~а лишь на переносы. Приводимая таблица позволяет обозреть совокупность классов и групп, получаемых таким образом. Прнстранстн Плоскость Фтл р нск тртнн н !(рн аалл.
клас ы !тристан классы а р>н ам 12 <аз 165 ГГнатжения 11реоарааования, попу на~оп!неся путем жр кальиого отражения 11 21 10 230 17 Всего 4 Д. Гильбсрт, С. Кон-Фосссн Только добавление зсркальных отражений действительно дает все многообразие встречающихся в природе структур кристаллов. Если теперь перейтп к системе стрелок, то на плоскости и в пространстве необходимо добавить еще одну стрелку; в самом деле, стрелка на плоскости оставляет еще возможность зеркального отражения прямой, содер>кащей стрелку, и точно так же пространственная фигура из двух стрелок различной длины оставляет еще возможность зеркального отражения в плоскости 'стрелок.
Поэтому в пространстве следует положить в основу три стрелки разлн шой длины, выходящие из одной точки и не лежащие в одной и той же плоскости. Дискретные группы преобразований совме>цепий можно'определить не только геометрически, но также и арифметически-алгебраическим путем. В случае плоскости мы придем тогда к замечательным соотношениям между комплексными числами; в пространстве придется положить в основу, гиперкомплексные числовые системы. Было бы очень интересно распространить эти рассуждения :на многомерные пространства. Для дискретных групп.совмеще- 98 гл.
и. пглвильные точечные системы ний многомерных шаров получены определенные результаты, так как для правильных многогранников известны аналоги в про. странствах произвольного числа измерений. Этими многомернымп образами мы еще займемся в следующей главе. Далее, Бибербах доказал, что для всякого п существует только конечное число дискретных кристаллографическнх и-мерных групп и что всякая такая группа содержит и-линейно независимых переносов '), 9 14.
Правильные многогранники Определение крнсталлографнческнх классов привело иас к правильным тетраэдру и октаэдру. Теперь мы дадим общее определение правильных многогранников и выясним, какие возмоисны правильные многогранники, кроме тетраэдра и октаэдра, Мы предъявляем следующие требования к правильному многограннику: все его вершины, все его ребра и все его грани должны быть равноправны. Кроме того мы требуем, чтобы все грани представляли правильные многоугольники, Правильный многогранник прежде всего не должен иметь входящих углов и ребер. В самом деле, так как все углы и все ребра не могут быть входяптими, то су1цествоваиие входящих углов или ребер приводило бы к неравноправности вершин и ребер.
Отсюда следует, что сумма углов многоугольников, сходя« шихся в вершине многогранника, должна быть меньше 2п, так как в противном случае все многоугольники расположились бы в одной плоскости или должны были бы образовать входящие ребра, исходящие нз такой вершины. Далее, так как в каждой вершине должны сходиться по меньшей мере три многоугольника и так как из правильности многоугольников следует равенство всех их углов, то все эти углы должны быть меньше, чем 2л —, Но в правильном шестиугольнике каждый угол равен как 3 2п раз — и с возрастанием и угол правильного л-угольника возрас.
3 тает. Таким образом в качестве граней правильных многогранников нам следует рассматривать только треугольники, четырех. угольники и пятиугольники. Так как правильный четырехуголь. ник, т. е, квадрат, содержит только прямые углы, то в вершине правильного многогранника могут сходиться только три квадрата, в противном случае сумма углов достигла бы 2п; точно так же в вершине правильного многогранника ие могут сходиться более чем три пятиуголышка. В соответствии с этим можно заключить, что возможен только один многогранник, ограиик ') В настоящее время найпены все феаоравскпе группы четырехмерпогч пространства (Пассенхаус н пр., 1978).
— Прим. ред, 5 1Е ПРЛВИЛЫ!ЫЕ МНОГОГРЛНННКН 99 ченный квадратами, и один, ограниченный правильными пяти. угольниками. Однако в вершине правильного многогранника могут сходиться три, четыре илн пять равносторонних треугольников, так как лишь шесть треугольников дают сумму углов, равную 2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
