Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Для того чтобы установить фундаментальную область, можно просто исходить от некоторой прямой, не параллельной прямой ЛАь например от перпендикуляра к этому отрезку. Движение а отображает эту прямую на параллельную ей прямую, и очевидно, что полоса, заключенная между этими двумя параллельными прямыми, представляет фундаментальную область') ,(рис. 64). В самом деле, две внутренние точки этой полосы ни Рис. б4. Рис. бб. в коем случае не могут быть эквивалентными.

Так как, с другой стороны, обе граничные прямые этой полосы эквивалентны друг другу, то невозможно добавить к этой полосе какой-нибудь кусок без того, чтобы расширенная таким образом область не содержала пары эквивалентных точек. Однако можно произвольно изменять фундаментальную область другим способом ') При этом следует твердо установить, что, аапример, точки левой граничной прямой включаются в фундаментальную область, а точки правой. наоборот, не включаются; в противном случае либо в фундаментальную область входили бы эквивалентные точки, либо область была бы неполной. Гл. 11.

пеАВилъные точечные системы так, что она не потеряет своих свойств. Для этого следует только воступать так: с одной стороны добавлять к полосе кусок, а с другой стороны вырезать эквивалентный кусок (рис. 65). Подобного рода изменения допускают также фундаментальные области всех рассматриваемых ниже групп и вообще всех групп отображений. Обычно среди всех возможных видов фундаментальной области выбирают простейшую по своей форме. Если подвергнуть всю фундаментальную область переносу а, то мы получим конгруэнтную, граничащую с первой, полосу. Таким образом можно покрыть однократно и непрерывно всю плоскость фундаментальными областями группы.

Подобное же явление имеет место для всех других рассматриваемых ниже групп, и можно вообше доказать, что фундаментальные области произвольных дискретных групп отображений всегда примыкают друг к другу, не перекрывая одна другую и не оставляя щелей. Впрочем, они не должны всегда заполнять всю плоскость, как это мы увидим на одном примере ниже (см, конец $ 36). Группа 1, 1 не приводит ни к какой правильной точечной системе, так как все точки, эквивалентные определенной точке, образуют прямолинейную шкалу, и таким образом первое опре.

деляюшее точечную систему требование остается невыполненным. Тем не менее рассмотрение этих групп имеет значение для изучения точечных систем. Именно, если мы рассмотрим совокупность всех переносов, содержащихся в произвольной, сколь угодно сложной дискретной группе движений, параллельных какому-нибудь одному переносу, содержащемуся в группе, то такая совокупность переносов снова образует группу, так как для нее выполнены оба постулата о группах. Группа, содержашаяся в другой более обшей группе, называется ее подгруппой, Всякая подгруппа дискретной группы также должна быть дискретной.

Отсюда мы можем заключить, что выбранная совокупность переносов представляет группу 1, ! и обладаетуказанной нами структурой, независимо от того, из какой общей группы мы исходили. Подобного рода заключения мы будем часто применять в дальнейшем. 'Рассмотрим теперь случай 1, 2, т. е. группы, содержащие вращения, но не содержащие двух переносов в непараллельных направлениях. Теперь нам нужно будет различать случаи, когда группа содержит какой-нибудь перенос или вовсе не содержит переноса. Мы начнем с простейшего возможного случая,— назовем его !, 2, и,— когда группа не содержит никаких переносов. Мы утверждаем, что в этом случае все повороты должны иметь один и тот же центр. В самом деле, если бы было два поворота а и Ь с двумя различными центрами А и В, то содержашееся в группе движение а-'Ь-'аЬ должно было бы представлять со.

$1!. дискРетные ГРуппы плОских движений , 75 гласно теореме о сложении углов поворотов либо перенос, либо тождественное преобразование. Положим, что точка В' пред. ставляет изображение точки В при повороте а (рис, 66); тогда точка В' была бы отлична от точки В, так как согласно пред положению точка В отлична от точки А, а при повороте остается неподвижной только одна точ- 5 ка — центр поворота. Поэтому, если точка В" у' представляет изображение точки В' при повороте Ь, то и точка В" должна быть отлична от точки В'.

Но легко видеть, что тогда точка В' при движении а-1Ь-1аЬ перешла бы нан раз в точку В". Следовательно, движение а-1Ь-'аЬ было бы не тождественным преобразованием, а ПЕРЕНОСОМ, ЧтО ПрОтИВОрЕЧИт ПрЕдПОЛОжЕНИЮ О Ряс 66 . том, что группа не содержит переносов. Пусть теперь точка А — центр (единственный) поворотов группы, а точка Я вЂ” произвольная другая точка.

Тогда все точки, эквивалентные точке Я, лежат на окружности, проведенной че. рез точку Я с центром в А. Вследствие дискретности группы возможно только конечное число точек, эквивалентных точке Я; а так как совокупность таких точек при всяком содержащемся в группе повороте вокруг точки А должна переходить сама в себя, то все эквивалентные точки должны лежать на окружности на равных расстояниях друг от друга (рис. 67).

Пусть точка 91 представляет одну из двух ближайших к точке Я точек, т. е. угол ЯАЯ1 представляет наименьший угол поворота, содержащийся в группе; если и — число точек, эквивалент. ных точке Я (включая и точку Я), то этот л 2я угол должен быть равен —, и все содержа; шиеся в группе движения состоят из пово. ротов вокруг точки А на положительный или отрицательный угол, кратный этому углу, Рас. 67. причем существует только конечное число геометрически различных поворотов.

Таким образом случай 1, 2, и разобран. В качестве фундаментальной области здесь следует взять часть плоскости„ заключенную между двумя сторонами угла, имеющего 2я вершину в точке А и равного — (рис, 68). Таким образом и фундаментальная область опять бесконечна, и группа не приводит нн к какой точечной системе, так как для всякой точки имеется лишь конечное число эквивалентных точек, и потому первое требование, выставленное на с.

64, не выпол. нено, Гл. п„пРАВильные точечные системы Эта группа имеет для остальных дискретных плоских групп движений такое же значение, как и только что рассмотренная группа переносов. Если какая-нибудь нз таких групп содержит поворот вокруг точки А, то совокупность поворотов вокруг точки А, содержащихся в группе, образует дискретнуьо подгруппу и должна представлять группу типа 1, 2, сс. Отсюда следует, что угол каждого из этих поворотов должен представлять кратное Ел угла †. Следовательно, мы можем охарактеризовать точку А ьь целым числом л и назвать эту точку п-кратным центром поворотов. Рис.

68. Рис. 69. Теперь нам остается среди групп типа 1 рассмотреть еще случай 1, 2, (1. В этом случае группа должна содержать поворот ь( и перенос 1, причем все остальные переносы должны быть параллельны переносу й Согласно второй лемме (с. 71) поворот ь( должен иметь угол ьь, причем должны существовать только двукратные центры поворотов. Пусть Аь такой центр (рис. 69).

Совокупность всех переносов группы должна представлять группу типа 1, 1. Рассмотрим прямолинейнуьо шкалу А,А, ... точек, эквивалентных точке Аь соответствующую этой подгруппе. Со. гласно первой лемме (с. 71) все эти точки должны представлять двукратные центры поворотов Мы утверждаем, что, кроме того, все середины Вь, Вь ...

отрезков А„А„+ь представляют двукратные центры поворотов. Действительно, если 1 представляет перенос, который переводит точку А, в точку Аь а ас — поворот на угол я вокруг точки Аь то при помощи движения 1аз пара точек АьАс переводится в АсА,; в самом деле, перенос 1 переводит АьАА в А,Аьь а поворот ас переводит АТАа в АТАь, Так как поворот вокруг точки Вь на угол я точно так же переводит пару точек АьАс в АсАП то движение 1аа должно быть тождественным с этим поворотом, и следовательно, точка В, представляет двукратный центр поворотов, и значит, вся шкала, соответствую- Ф и. дискгятиыи ггхппы плоских движении 77 щая точке Вь т. е.

совокупность всех точек В„, должна состоять нз двукратных центров поворотов. Кроме центров поворотов А„ и В„не существует никаких других. В самом деле, если А есть одна из точек А„, а С вЂ” произвольный, отличный от А центр по. воротов группы (рис. 70), то С во всяком случае должен быть двукратным центром. Пусть с есть соответствующий поворот на угол и; тогда рассмотрим движение ас, где а представляет поворот вокруг точки А на угол л. Если А' есть изображение точки А при повороте с, то точка С есть середина отрезка АА', и движение ас точно так же переводит точку А в точку А'. Но согласно теоре- с С ме о сложении углов поворотов движение ас должно представлять перенос, а потому точка А' есть одна из тех точек, которые получаются из точки А при одном а из переносов, содержащихся в группе, т.

Характеристики

Список файлов книги