Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полученный результат можно вывести проще формальным путем, если рассматривать переносы как вращения на угол, равный нулю, с бескрнечно удаленным центром. Такое представление ГЛ, Н. ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ легко наглядно истолковать. Действительно, если рассмат. ривать ряд вращений, при которых угол поворота безгранично убывает, а центр вращения безгранично удаляется в определенном направлении, то легко убедиться, что получающиеся движе. ькя все менее отличаются от некоторого определенного переноса пп крайней мере внутри некоторой конечной области, При таком представлении каждое плоское движение есть по.
Ворот на определенный угол, который следует принять равным нуно. и случае переноса. Следовательно, если мы осу!цествляем два поворота последовательно один за другим, то результат обоих поворотов можно заменить одним единственным поворотом'„которому также должен соответствовать определенный угол, Для углов поворота имеет место следующая простая теорема словесная: Сложение поворота на угол а и поворота на угол р всегда дает в сумме поворот на угол а+ р. Действительно, мы уже упомянули вначале, что угол ново. рета может быть измерен по изменению направления любой прямой. Эта теорема имеет место также и для переноса в нащем иовом определении, так как перенос оставляет все направления неизменными.
Отсюда теорема очевидна. Из нее, между прочим„ следует, что два поворота на равные углы в противоположном направлении и вокруг различных центров всегда приводят к параллельному переносу. В самом деле, угол поворота, получаюк шийся прн сложении обоих движении, равен нулю, а тождественное преобразование получиться не может, так как ни один из центров вращений не остается неподвижным.
После этой предварительной подготовки мы снова обратимся к дискретным группам плоских движений. Теперь мы можем классифицировать их весьма просто, Мы должны только указывать, какие переносы и какие углы поворота и центры вращения имеют место. Оказывается целесообразным в первую очередь рассмотреть переносы. Здесь мы различаем следующие случаи: 1. Все переносы, входяи1ие в группу, имеют параллельные направления. П.
В группе имеются два переноса, направления которых не параллельны. Случай 1 охватывает также и те группы, которые вообще не содержат переносов. Для подразделения обоих случаев теперь привлечем и ново. роты. Будем различать: 1) группы, не содержащие вращений; 2) группы, содержащие вращения. Помимо характеристики группы при посредстве установления входящих в группу вращений и переносов можно определять каждую группу также прн помощи простой геометрической фигуры, а именно прн помощи фундаментальной области. Фунда- $!0, плОские дВижения и их сйоженив ментальной областью группы называется всякая связная область, ие содержащая внутри себя ни одной пары эквивалентных точен, и притом такая область, которая не может быть расширена без того, чтобы это ее свойство не было утрачено, Такие фундамеитальные области играют важную роль не только в группах движевий, ио и во всех дискретных группах отображений.
В общем случае совсем нелегко определить фундаментальную область для заданной группы движений или даже вообще доказать существование фундаментальной области для некоторого семейства групп движений. Однако для дискретных групп плоских движений всегда можно легко построить .фундаментальную область. Оказывается, что в случае 1 всякая фундаментальная область простирается в бесконечяость, в то время как в случае 11 фундаментальные области всегда коиечпы.
Упомянем еще некоторые соотношения, всегда имеющие место между поворотами и переносами группы, которые иам дридется часто применять и которые поэтому мы перечислим как леммы. Лемма 1. Если группа содержит поворот вокруг некоторой точки Р на угол и и если точка Я эквивалентна точке Р, то группа содержит также поворот вокруг точки Я на тот же угол а.
Доказательство. По предположению группа содержит движение Ь, переводящее точку Р в точку 9, и поворот д вокруг точки Р иа угол а. Применяя обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим теперь движение Ь вЂ” 'НЬ, которое согласно обоим постулатам о группах также содержится в группе. Это движение должяо представлять поворот на угол оп в самом деле, если б есть угол поворота в движении Ь, то угол поворота движения Ь-'НЬ по теореме о сложении углов поворота равен — В+а+ + 'и = а. Но центром поворота должна служить точка О, так как Я при движении Ь-' переходит в Р, Р при движении Н остается неподвижной и переходит снова в е при движении Ь. о Л е м м а 2. Если группа содержит поворот яа угол а и перенос й то оиа содержит также перенос 1', образующий угол и с движением 1 и совпадающий по величине с перекосом й л Х Доказательство. Пусть д — содержащийся в группе поворот иа угол и с центром в точке А.
Пусть при движении 1 точка А переходит в точку В, а при движении Н точка В переходит в точку С (рис. 61). Тогда имеем просто 1'= о' — 'Ы. В самом деле, определенное таким образом движение принадлежит к группе и согласно теореме о сложении углов поворота представляет гл. и, пгзвильныв точвчныа системы 72 перенос.
Остается только доказать, что при этом точка А переходит в точку С. В самом деле, при движении д-' точка А остается неподвижной, затем при движении 1 она переходит в точку В и, наконец, при движении й она переходит из В в С. Согласно этой лемме, например, группы семейства 1 не могут содержать других углов поворота кроме и, если группа вообще содержит поворот. В самом деле, в противном случае наряду с одним направлением переноса существовало бы другое, ему не параллельное. 5 11. Дискретные группы плоских движений с бесконечной фундаментальной областью Сначала мы рассмотрим случай 1, дающий простейшие группы, и прежде всего случай 1, 1; в этом случае мы будем иметь дело с группами, не содержащими поворотов.
Будем исходить из произвольной точки А (рис. 62). Так как на конечном расстоянии от А имеется только код печное число точек, эквивалентд л л я л л ' ных А, то среди них должна быть точка Аь находящаяся на нана меньшем расстоянии от А; конечРис, 62. но, таких точек наименьшегорасстояния от А может быть несколько; выберем из них одну, Движение а, входящее в группу, переводящее точку А в точку А„должно быть переносом, ибо по предположению в группу не входят повороты. Если теперь мы продолжим отрезок АА~ на равное ему расстояние за точку А, до точки Аь то точка Аа должна быть эквивалентна точке А. В самом деле, точка Аз получается из точки А при помощи переноса аа. Точно так же на прямой АА~ лежат и другие точки Ам А„..., также эквивалентные точке А и расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. Эти точки получаются из точки А, если повторять перенос а произвольное число раз.
Точно так же и по другую сторону от точки А на прямой АА, расположено бесконечно много точек А ь А „..., находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга и эквивалентных точке А, которые получаются из точки А, если применить движение а-' один или много раз. Мы утверждаем, что эта шкала на прямой АА, полностью исчерпывает все точки, эквивалентные точке А. В самом деле, все переносы, входящие в группу, по предположению должны быть направлены параллельно отрезку ААь следовательно, всякая точ» ка, эквивалентная точке А, должна лежать на прямой ААь Если бы мы обнаружили такую точку А', не совпадающую ни с каким делением нашей шкалы, то эта точка должна была бы лежать $ ш диСКРЕТНЫР гРУППы плОсКИх дВЙЖЕНии уз внутри некоторого интервала А,Алы (рис.
63), тогда отрезок АнА' был бы короче, чем ААР Но при помощи переноса, содержащегося в группе, мы можем перевести точку А„в точку Л; при этом точка А' перейдет в некоторую точку А", находящуюся на более близком расстоянии от точки А, чем Аь Но это противоречит тому, что с самого начала точка А~ была выбрана как точка, эквивалентная точке А и нахо- д х' я, и ап дяшаяся от нее на кратчайшем расстоянии. Это рассмотрение целиком исчерпывает случай 1, 1; в самом деле, мы нашли все точки, эквивалентные произвольной точке, и вместе с тем все движения, которые вообще содержатся в группе,— ими оказались переносы а и а-', примененные один илн много раз, Таким образом все группы вида 1, 1 по существу тождественны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
