Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. точна А' ' есть одна из точек Аь Аь ..., а точка С как сере. дина отрезка АА' непременно должна быть одной из рнс. 7о. точек А, или В,. Таким образом мы полностью обозрели все группы типа 1, 2, р. На рис. 69 изображены оба класса центров поворотов и соответствующая фундаментальная область. При этом следует обратить внимание, что ни одна из точек А„не может быть эквива. лентна ни одной из точек В„, так как при всяком повороте н всяком переносе, содержащемся в группе, каждая из обеих шкал переходит сама в себя. Кроме того на рис. 69 изображены некоторые из эквивалент. ных друг другу точек, отличные от центров поворотов.
Они расположены зигзагообразно. Так как они умещаются в полосе конечной ширины„то они не выполняют первого требования, которое мы предъявили к точечной системе, ибо число этих точек внутри круга с возрастающим радиусом, очевидно, увеличивается пропорционально только первой степени радиуса.
Точно так же, как в обеих предшествующих группах, и здесь фундаментальная область бесконечна. Системы эквивалентных точек, не являющихся центрами по. воротов, можно представить в виде двух конгруэнтных и параллельно расположенных шкал; подобным же образом прв рассмотрении более сложных групп мы придем к системам конгруэнтных, параллельно расположенных решеток. Очевидно, возможность различных шкал и решеток обусловлена существованием поворотов. В самом деле, в нашем случае одна шкала переходит в другую при всяком повороте, содержащемся в группе, и только шкалы центров поворотов представляют исключение.
Так как точка вследствие всесторонней симметрии непригодна для изображения вращений, то будет нагляднее прибегнуть гл.и. прдвильныз точвчныи системы для изображения совокупности всех эквивалентов не к точ кам, а к другим простым фигурам. Простейшей фигурой, не обладающей всесторонней симметрией, является «стрелка», т. е. точка с выходящим из нее направлением.
На рис. 71, а, б изо- бражены системы эквивалентных игл пгГ стрелок для группы 1,2,6. В зависимости от того, возьмем лн мы за начало стрелки произвольную точку или же центр враще. ния, мы придем к двум различ. ным типам фигур. В первом случае особенно наглядно преиму. Рис. 7!. щество введения стрелки: обе шкалы отличаются друг от друга различным направлением стрелок, в то время как все стрелки одной и той же шкалы направлены одинаково. ф 12.
Крнсталлографические (федоровские) группы движений иа плоскости. Правильные системы точек н стрелок. Построение плоскости из коигруэнтных областей ') Обратимся теперь к случаю П, т. е. к группам, содержащим два переноса в непараллельных направлениях. Оказывается, что все эти группы в противоположность группам типа 1 всегда приводят к точечным системам, а потому мы можем их назвать в соответствии со сказанным на с.
67 федоровскими группами, С этим связано то, что все эти группы имеют конечные фундаментальные области, Прн рассмотрении этих групп прежде всего мы снова наталкиваемся на плоские точечные решетки. Как мы уже упоминали, фигуры, образованные эквивалентнылги точками и стрелками, всегда образуют или плоскую точечную решетку или могут быть представлены как системы нескольких, параллелино расположенных, конгруэнтных решеток. Мы разбили на с. 70 случай 11 на два вида: прежде всего мы рассмотрим более простой вид П, 1, когда группа не содержит поворотов, но содержит два переноса в непараллельных направлениях. В этом случае оказывается, что все точки, эквивалентные некоторой точке, всегда образуют плоскую точечную решетку.
Для доказательства будем исходить от произвольной точки Р, причем будем искать такой перенос 1, содержащийся в группе, В Р!злагаемая здесь теория прииадлежит Е. С, Федорову. См. Ф едор о в Е. С. Симметрия правильиых систем фигур. — Зап. Мииералогического о-ва, 2 сер.„!89!, т. 28. См. также Фе до ро в Е. С. Осиовиые работы по симметрии и структуре кристаллов. — Мл Изд АН СССР, !949. —.
Прша ред. $12. ФедОРСВские ГРуппы ДВижении ИА плоскости ' 79 который переводит точку Р в возможно более близко располо. женную эквивалентную точку Я (рис. ?2). Тогда переносы, на~ правленные параллельно 1, образуют шкалу других эквивалентных точке Р точек на прямой РЯ. Но согласно предположению в группе имеются, кроме того, переносы, не параллельные прямой РЯ; р! среди этих переносов опять будем искать такой перенос г', содержа. й щнйся в нашей группе, который переводит точку Р в возможно более р' й' близко расположенную точку )г.
Тогда во всяком случае имеем Рп «~ «~ РО. Если 5 — точка, в которую переходит точка Я при переносе 1', то точки РО5тг образуют параллелограмм, и очевидно, что порождаемая этим параллелограммом ре- Рис. 72. щетка состоит только из эквивалентных точек. Все эти точки получаются из точки Р, если применить движение 1 (нли 1 †'), а затем Р (или Р-') определенное число раз. Мы утверждаем теперь, что не существует других точек, эквивалентных точке Р, т. е что все переносы,содержащиеся в группе, могут быть составлены из переносов Г и Р.
В самом деле, в противном случае группа содержала бы некоторый перенос и, переводящий точку Р в точку (7, не принадлежащую к нашей решетке. Тогда мы могли бы построить определенный параллелограмм решетки Р'Я'5'Д', конгруэнтный параллелограмму РЯ5Р, (рис. 72) и содержащий (7. Из двух конгруэнтных треугольников Р'Я'К' и 5'Я'Я' один, например первый, должен был бы содержать (7. Но группа должна была бы в этом случае содержать перенос Р' — э (7, который, очевидно, может быть составлен из содержащегося в группе переноса Р'- Р и пере. носа и.
Но это приводит к противоречию, так как согласно вы. шеприведенному рассужденшо мы должны иметь: РГГ ~~ РЯ, и потому в треугольнике Р'Я'К' точка )г' должна быть наиболее удалена от точки Р'. Поэтому перенос Р'-~ 1l был бы короче, чем перенос Р, переводящий точку Р в точку )г и, следовательно, точку Р' в точку )с'. Вследствие этого перенос Р'-~(7 должен был бы быть переносом, параллельным переносу г', и точка У должна была бы лежать на отрезке Р'Я'. Но тогда и перенос Р'-+.0 был бы короче, чем г; между тем перенос г был выбран как кратчайший из переносов, содержащихся в группе.
Подоб. ным же образом можно провести доказательство, предполагая, что точка (7 расположена в треугольнике 5'Я'Я'. Тогда следовало бы рассмотреть вместо переноса Р'-~-(7 перенос 5'- (/, что подобным же образом привело бы к противоречию, 80 гл. и. ПРАвильные точечные системы Таким образом эквивалентные друг другу точки групп Вида П, 1 всегда образуют точечную решетку, и если использовать для изображения группы вместо точек стрелки, то мы получим решетку, составленную из параллельно расположенных стрелок (рис. 73). Если теперь мы обратимся к последнему остающемуся виду П,2, т.е.
к случаю, когда в группе содержатся также н повороты, то нам следует принять во внимание только что выведенное следствие. Группы вида П, 2, как н в предыдущем случае, содержатдва переноса, не параллельных друг другу. Поэтому совокупность содержащихся в группе вида П,2 переносов долхсна непременно представРис. 73. лять подгруппу вида П,1. Следовательно, если среди всех точек груп. пы Н,2, эквивалентных произвольной точке Р, мы станем рассматрнватьтолькосовокупностьтакнх точек, которые получаются из точки Р с помощью переносов,то получим точечную решетку.
Содержащиеся в группе повороты должны либо переводить эту решетку в самое себя, либо преобразовывать некоторую точку решетки в точку ф не содержащуюся в решетке. Но переносы, содержащиеся в группе, опять- таки образуют из точки Я решетку, конгруэнтную решетке, образованной из точки Р, и ориентированную параллельно последней, причем точки этой решетки всегда эквивалентны точкам Я н Р. Но таким способом, который, очевидно, может быть продол>кен до тех пор, пока еще остаются неиспользованные точки, эквивалентные точке Р, мы можем получить только конечное число различных решеток, ибо в противном случае группа не была бы дискретной.
Это рассуждение показывает, что может быть лишь сравнительно немного групп П,2 и что соответствующие правильные точечные системы всегда состоят из параллельно расположенных конгруэнтных решеток. Итан, разобьем группы П,2 по углам поворотов, содержа. 2л щихся в них. Все эти углы поворотов должны иметь вид — „, где и — целое число, ибо повороты вокруг некоторой точки, со. держащиеся в группе, образуют дискретную подгруппу типа 1,2, сс. Теперь мы утверждаем, что число л не может принимать никаких других, отличных от 1 значений, кроме 2,3,4,6.
Для доказательства рассмотрим л-кратный центр А поворотов группы (рнс. 74) и выберем в группе кратчайший перенос 1; пусть он 2и переводит точку А в точку В. Прн повороте на угол †„ вокруг, 4 и. фвдоровскив гргппы движвнин нх плоскости 81 точки А точка В перейдет в точку В', Согласно лемме 2 (с. 71) группа содержит также перенос 1', переводящий А в В'.
Рассмотрим теперь движение р Ч', которое, очевидно, переведет точку В в точку В'. Согласно теореме о сложении углов поворотов 1-'В представляет перенос, а так как 1был выбран как кратчайший перенос группы, то отсюда следует ВВ') АВ, поэтому 2п л имеем ~ ВАВ = — „'= — и, значит, и ( 6. Теперь нам остается только исключить случай л = 5. Для этой цели нам придется идти косвенным путем и выбрать точку А в качестве пятикратного центра поворотов (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
