Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Можно доказать, что всякое произвольное движение пространства может быть составлено из определенного поворота н з и. кгистхллоггхейческик клхссы 9! определенного переноса в направлении поворотной оси; можно также рассматривать самый поворот и перенос как составленные таким же образом движения, если принять, что прн этом одна составляющая часть движения сводится к тождественному пре. образованию. Если в самом общем случае принять, что поворот и перенос происходят одновременно и с постоянной скоростью, то мы получим винтовое движение пространства. Наиболее общее движение пространства характеризуется поэтому как винтовое движение, причем перенос н поворот можно представлять себе как предельные случаи винтового движения.

Кроме того во многих случаях целесообразно рассматривать переносы, так же как и на плоскости, как повороты на исчезающе малый угол вокруг бесконечно удаленной оси. При сложении двух винтовых движений в пространстве не существует такого простого общего закона, какой в случае плоскости представляет теорема о сложении углов при сложении поворотов. Однако имеются две специальные теоремы, вполне достаточные для целей пространственной кристаллографии. Первая теорема состоит в том, что сложение двух переносов всегда дает опять перенос, а нторая — в том, что винтовые движения вокруг параллельных осей и с равными углами поворота отли.

чаются друг от друга только на перенос. Согласно первому закону переносы, содержащиеся в группе пространственных движений, всегда образуют подгруппу. Также как и на плоскости, структура этой подгруппы является крите. рием того, будет ли дискретная группа пространственных движений федоровской, т. е. приводит ли она к некоторой простран.

ственной точечной системе или нет. Именно, если все переносы группы параллельны некоторой неподвижной плоскости, то груп. па всегда имеет бесконечную фундаментальную область и не может приводить ни к какой точечной системе. Если же, напротив, группа содержит три переноса, направления которых не параллельны одной и той же плоскости, то эта группа является федоровской группой. В этом случае точки, эквивалентные некоторой точке Р относительно подгруппы переносов„ всегда образуют пространственную точечную решетку. Если кроме того группа содержит еще и винтовое движение, переводящее точку Р в не. которую точку © не принадлежащую решетке, то подгруппа переносов определяет также и для точки Я решетку, состоящую только из точек, эквивалентных точкам Я и Р. Вследствие диск. ретности группы возможно только конечное число таких реше.

ток. Это ограничение позволяет, так же как и на плоскости, обо. зреть все возможные случаи. Вместе с тем оказывается, что правильные точечные системы в пространстве могут быть составлены из конечного числа конгруэнтных, параллельно вдвинутых одна в другую, пространственных точечных решеток. Пример ГЛ, Н; ПРАВИЛЬНЪ|Е ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ этого мы уже имели в системе, состоящей из центров шаров при тетраэдральном расположении. Вторая из упомянутых теорем — относительно винтовых дви. жений с параллельными осями — приводит к очень важному геометрическому методу, позволяющему охватить различные движе.

ния группы, отличные от переносов. Для этой цели возьмем произвольную точку пространства М. Для всякого винтового движения, содержащегося в группе, мы будем проводить через точку М линию ам параллельную оси поворота а, и таким образом всякому винтовому движению з вокруг оси а, содержащемуся в группе, мы поставим в соответствие поворот зе вокруг оси ае с тем же углом поворота. Тогда з и зэ могут отличаться друг от друга только на перенос. При таком способе всякому отличному от переноса движению группы 6 соответствует другое движение, при котором точка М остается неподвижной. Для того чтобы соответствие было полным, поставим далее в соответствие всем переносам группы 6 тождественное преобразование. Таким образом группе 6 соответствует система движений 6м, оставляющих точку М неподвижной.

Мы утверждаем, что 6м представляет группу, В самом деле, если повороты зз и б! системы бм соответствуют винтовым движениям з и ! группы 6, то можно заключить из закона о винтовых движениях вокруг параллельных осей, что зе!е представляет как раз тот поворот из системы 6м, который должен соответствовать винтовому движению з!. Таким образом система бм действительно удовлетворяет обоим постулатам группы, а именно, если вращения зе и |е принадлежат этой системе, то тогда и вращение зойь так же как и вращение зо-', принадлежит к этой же системе.

Структура группы 6м отнюдь не однозначно определяет группу 6; именно, из структуры группы 6м ничего нельзя заключить относительно переносов, содержащихся в группе 6; так, например, всем группам 6, состоящим только из переносов, со. ответствует одна и та же группа 6м, состоящая только из одного тождественного преобразования, Группа 6м, таким образом, со* ответствует всем группам, отличающимся друг от друга только содержащимися в них переносами. Совокупность всех пространственных групп движений, приводящих к одной и той же группе 6м, называется классом пространственных групп двизкепий. Если к такому классу принадлежит федоровская группа, то этот класс называется кристаллографическим классом.

Это понятие имеет большое значение не только для практической кристаллографии, но также и для геометрического определения пространственных групп, Именно, гораздо легче сначала установить все возможные кристаллографические классы и только потом иссле. $ !3. кРистлллоГРАФйческин клАссы довать для каждого класса„какие группы могут принадлежать к нему. Так как все движения группы 6м оставляют точку М неподвижной, то опи переводят также поверхность шара с центром в точке М в самое себя, и поэтому можно рассматривать группы 6и как группы движений поверхности шара. Мы приходим к большому упрощению благодаря тому, что в тех случаях, когда группа 6 дискретна, группа 6м должна быть также дискретной. Так как дискретность группы 6 означает нечто совсем другое, чем дискретность группы 6и, то эта теорема отнюдь не является сама собой очевидной.

Однако ее можно легко доказать для федоровских групп, есди рассмотреть соответствующие решетки переносов. Мы не будем приводить здесь этого доказательства. Теперь„для того чтобы найти все кристаллографические классы пространственных групп движений, нам нужно только исследовать дискретные группы движений поверхности шара, Но тут мы приходим еще ко второму упрощению. Точно так же, как и на плоскости, можно и для пространства прийти к заключению, что в федоровской группе движений не могут существовать 2 1 ! иные углы поворота, кроме углов, кратных я, — я, — я, —, и. Таким образом, подобно тому как на плоскости группы содержат только двух-, трех-, четырех- и шестикратные центры поворотов, и пространственные федоровские группы движений (при анало. гичном словоупотреблении) могут содержать только двух-, трех-, четырех- и шестикратные оси. Но то же самое должно иметь место и для групп 6н кристаллографических классов.

После Рис. 91. этого ограничения остаются только одиннадцать классов кристаллов; мы их сейчас перечислим. Прежде всего возьмем случаи, когда существует только одна единственная и-кратная ось в группе 6н. Такие классы обозначаются в кристаллографии через С„. Мы имеем здесь пять классов (рис. 91): гл. и. пгхвильные точечные системы 1, С, (тождество, класс групп переносов) 2. С, 3 Сз 4, Сз 5.

Сз Теперь допустим, что существует несколько осей, среди которых не более одной кратности выше 2. Эта последняя, исключительная, и-кратная ось называется главной осью, а двукратные оси — побочными осями. В этом случае из постулатов о группе можно легко заключить, что должно быть в точности и побочных осей и что все они должны быть расположены перпендикулярно к главной оси и образовывать друг с другом одинаковые углы. Относящиеся сюда группы и классы обозначаются символом Р„(диэдр).

Таких классов имеется четыре (рис. 92): 6. Р, (три равнозначные оси) 7 Рз 8. Рз Рз Можно легко убедиться, что для и = 3 побочные оси все эквивалентны, в то время как во всех остальных случаях эти оси разбиваются на два класса так, что попеременно принадлежат к разным классам. Рис. 93. Рис. 92. Остается еще возможность существования нескольких осей 'более высокой кратности, чем двухкратные. Более подробное рассмотрение таких случаев показывает, что эквивалентные точки на шаре должны располагаться либо в вершинах правильного тетраэдра (Т), либо правильного октаэдра (0).

Свойства симметрии этих многогранников позволяют непосредственно вывести распределение осей; все оси получаются, если соединить с центром шара все вершины, все центры граней и все середины $ !3, кгистАллОГРАФнчаскна клАссы ребер многогранников. Таккм образом тетраэдр образует класс: 10.

Характеристики

Список файлов книги