Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 24
Текст из файла (страница 24)
107. Эги кривыс ил с?от девять точек исрсп?ба пз которых, одиало, действительными могут быть ис более трех. Г!ри атом можпо ?юказать злгсбраически, что всякая прямап, соедшшюшзя две из томск псреги! а, должна проходить и через третью точку,персы;ба. Напротив, четыре точки перегиба ис могут ле?кать иа одиой прямой, так кзк кривая третьего порядка люжет пересекаться с' прямой нс более чем в трех точках.
Оказывается, что прямые, про- ход?ццис через точки перегиба, образу)от коифигураци?о, причем р = 9, и =-- 3, Далее, у = — 4; в самом деле, если паклю.?ить одиу точку ие!?сгиба, то восемь Осталы!ых дол?киы и ?па(???О лех(зт! иа одной прямой, так что действитслшю через всякую точку проходят четыре прямые. Из наШей формулы д= — мы полулт чаем для д зиа !скис !2. Следовательно, коифигурзция будет типа (94 !2?).
Если мы будем состав.?ять схему подобной конфи- гурации, то полу'шм, ие считая несущественных изменений, только одну возможность. гл. нь конфигкилии НО 9 17. Конфигурации (94) В то время как в случаях р = 7 и р = 8 мы получали только по одной схеме конфигурации, причем осуществление этих схем оказывалось невозможным, в случае р =- 9 мы можем установить трн существенно различные схемы, причем все три можно осуществить с помощью действительных точек и прямых. Во многих отношениях важнейшей из этих конфигураций и вообще важнейшей конфигурацией в геометрии является та, которая называется конфигурацией Брианшона — Паскаля.
Ради краткости мы введем для обозначения этой конфигурации символ (9з) ь а для двух других конфигураций (9,) введем обозна. чение (9з)4 и (9з)з. Схему конфигурации (9,)д можно записать следующим об. разом: (1) (2) (3) (4) (5) (5) (7) (8) (9) 1 1 1 2 2 3 3 4 5 2 4 б 4 7 б 5 б 7 3 5 7 8 9 8 9 9 8 Рис.
108 Для того чтобы начертить такую конфнгураци1о, выберем сначала произвольно точки 8 и 9 (рпс, 108) и проведем произ- вольным образом прямые (4), (4) (6), (9) через точку 8 и пря- (5) 9. Из девяти точек пересече(т) мыс (3), (7), (8) через точку и) 5 ния, получающихся при этом, (3) шесть принадлежат к конфи- Й) гурации; обозначим их соответ- Я ственно схеме цифрами 2, 3, 4, Ю 6, 6, 7. Через эти точки прово. дим недостающие прямые (1), ,7 (7) 3 (2), (3). Сначала проводим прямые (1) через точки 2, 3 и (2) через точки 4, 6. Точку пересечения этих прямых нам следует обозначить цифрой 1.
Недостающая еще прямая (3) определяется точками 6, 7. Нап1а схема требует, чтобы эта прямая проходила через точку 1. Мы, в самом деле, убеждаемся, что эта инцидентность выполняется сама собой, несмотря на вполне произвольный выбор точек 8 и 9 и обоих троек прямых, проходящих через эти точки. Геометрическое основание этого поразительного явления выясняется теоремами Брианшона, к изложению которых мы и переходим, $17, КОНФИГУРАЦИИ (99И Мы будем исходить из однополастного гиперболоида, Как мы уже видели в первой главе, на этом гиперболоиде лежат два семейства прямых н притом так, что всякая прямая одного семейства пересекает всякую прямуио другого, между тем как две прямые одного и того же семейства никогда ие пересекаются.
Возьмем теперь трии прямые одного и того же семейства (р~ис. 109) (они начерчены двойными линиями) и трп прямые другого семейства (они на- Г черчены жирными линиями) и построим на пих пространственный шестиугольпнк АВСВЕГА. Чтобы получить эту ийнгуру, мы сначала будем двигаться по прямой первого семейства из точ. ьп А в точку В. Через точку В праха. Е дит определенная прямая второго семейства, по которой мы будем дви.
гаться до некоторой точки С. В этой точке С мы перейдем па проходящую Я через нее прямую первого семейства, двигаясь по которой придем в точкуй; из этой точки мы опять будем дви- Рис. 109. гаться на прямой второго семейства до точки Е и, наконец, двигаясь по прямой первого семейства, при. дом к точке Е этой прямой, в которой она пересекается с прямой второго семейства, проходящей через точку А, Таким образом с~арапы шестиугольника принадлежат попеременно, то одному, то другому семейству прямых.
Докажем теперь, что диагонали АВ, ВЕ и СЕ этого шести. угольника пересекаются в одной точке. рассмотрим прежде всего диагонали АВ и ВЕ. Так как стороны шестиугольника АВ и ВЕ принадлежат к различным семействам прямых поверхно. сти, то онн пересекаются друг с другом. Поэтому четыре точки А, В, В, Е лежат в одной плоскости, а отсюда следует, что и диагонали АР и ВЕ пересекаются друг с другом. Точно так жа можно доказать, что и две другие пары диагоналей пересекаются. На если три прямые попарно пересекаются друг с другом, та они либо лежат в одной плоскости, либо же, если они не лежат в одной плоскости, проходят через одну н ту же точку.
Но если бы три диагонали нашего шестиугольника АВСВЕЕ лежали н одной плоскости, то н сам шестиугольник должен был бы лежать в этой плоскости и тогда его стороны должны были бы попарно пересекаться. Но это невозможно, так как, например, прямыеАВ и Со принадлежат к одному и тому же семейству, а потому не могут пересекаться. Таким образом н в самом деле эти трп диагонали должны )ироходпть дерез одииу н т)и же точку, гл пс конФигугхции 112 Эта теорема пространственной геометрии приводит к теоремам Врианшона плоской геометрии.
Рассмотрим однополостный гиперболоид из некоторой точки Р, относитслыю которой предполагаем, что оиа не лежит на этой поверхности. Тогда контур гиперболоида имеет вид конического сечения, и это коническое сечение может быть гиперболой (рис. 110) или эллипсом нкс, 1!О. '1рпс, 111). При этом получается, что область с анной стороны контура оказывается непокрытой изображением, между тем как другая сторона окажется покрытой дважпы. Оба листка изображения соелиня1отся вдоль конического сечения, представлаощего контур фигуры, Г!рямые, лежащие на поверхности, при таком изображении кажутся частично закрытыми, части шо незакрытыми, и таким образом опи переходят с одного листка на другой, а потому должны пересекать контур. С другой стороны, опн не могут пересекать этой кривой, так как одна сторона ее остается непокрытой.
Поэтому прямые на нашем изображении должны казаться касательными к контуру. Таким образом пространственный шестиугольник превращается в плоский шестиугольник, стороны которого касаются конического сечения; это позволяет нам вывести следующую теорему плоской геометрии: Диагонали шестиугольника, описанного вокруг конического сечения, пересеки~отса в одной точке, Однако мы показали нашу теорему только для таких кони' ческих сечений, которые могут слуигить контурами некоторого однополостного гиперболоида, т. е.
прежде всего для определен. ных пшербол и эллипсов, Но коническое сечение, представляющее контур, может быть также и параболой. В самом деле, проектнрующие лучи, дающие контур, образуют конус, касающийся поверхности, с вершиной в точке Р, т. е. конус второго порядка 1с. 20); поэтому, если мы расположим плоскость проекции так, что оиа будет параллельна образующей этого конуса, то проекция поверхности на эту плоскость будет иметь контуром пара- % 17. КОНФНГУРАШ!и 1991 11З балу, ибо ведь контур представляет собой кривую пересечения плоскости проекций с конусом.
71 в этом случае кривая будет на. реболой (с. 16; 20). Теперь поместим центр проекции Р на самой поверхности. Тогда обе прямые поверхности, проходящие через точку Р, представляются как две точки; все остальные прямые поверхности останутся црямымн. Так как всякая прямая одного семейства пересекает нрямусо другого семейства, проходящую через цен:р проекции, то все это семейство прямых представится нам в виде сходящегося пучка лучей, вершиной которого будет служить проекция нрямой а другого пучка, проходящей через точку Р. .Таким же образом нам представится и другое семейство в виде сходящегося пучка лучей.
Вершина нторого пучка будет отлична от вершины первого, так как этой вершиной будет служить изображение нрямой, «роходясцсй через тосску Р, отан>ной Отсюда мы можем вывести, пользуясь теоремой о пространстьсн. ном шестиугольнике, такое следствие: Даагакаяи ПЛОСКОгО иСЕЕтайгОЛ>с>таКа, ЕтОРОНЫ КОГОРОгО Сшпересиенно проходят через две сьчргделенные >оскп, пересекаю>ел в одной точке. Эти тсорелсь> относительно шестиугольников, касаюнщхся одного нз трех типов конических сечений или относительно конического сечения, вырождающегося в пару точек, называются теоремам~ Брцаншона, цо имени открывшего нх'ученого. Точка, н которой пересекаются этн три диагонали, называется точкой Брнашнонз.
Все же нри помощи наших пространственных построений мы еще не полностью доказали тсорсмы Брнаншоиа. Можно было . бы предполагать, что не нсякнй шестиугольник Брианшона мог 9 жег быть получен путем нроек- ~с771 цни одного из рассмотренных ними поостранственных шести- -Ф.,' -1>1с угольников, Однако мои1но доказать, что действительно всякий с сс> с плоский шестиугольник, удовлет- с воряющий условиям одной из теорем Брнаншона, может быть до- д полнея до пространственной фи- Рис.
112. .гуры, которую мы рассмотрели, Последняя теорема Брианшона тесно связана с конфигурацией (99)1 и объясняет, почему нри построении этой конфигурации последняя цццндентность всегда сама собой выполняется, Именно, на рис. 108 и 112 точки 2, 4, 6, 3, 5, 7 образуют шестиугольник, стороны которого попеременно проходят через точки8 гл. !и.
конФыгугхции 114 и 9, а прямые (1), (2), (3) представляют диагонали 23, 45, 67 этого шестиугольника. Поэтому прямая (3) должна проходить через точку пересечения 1 прямых (1) и (2) и точка 1 есть точка Брианшоиа этого шестиугольника. При нашем построении точки конфигурации (9з)! имеют различное значение. точки 2, 4, 6, 3, 5, 7 образуют шестиугольник, точки 8 и 9 являются двумя точками, через которые проходят стороны шестиугольника, а точка ! есть точка Бриаишона. Однако такая асимметрия зависит ие от существа самой конфигу рации, а от нашего выбора. Именно, мы можем также рассмат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
