Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ривать одну из точек 8 или 9 как точку Брнаншона; нам достаточно будет показать это на точке 8 (рис. 113), так как мы уже Рис. 114. Рис. 1!3. убедились на рис. 112, что точки 8 и 9 равноправны. Точно так же мы можем принять за точку Брианшона каждую из точек 2, 4, 6, 3, 5, 7; вследствие равноправности всех этих точек достаточно будет показать это на одной только точке 2 (рис.
114). Вследствие такой внутренней симметрии конфигурация (9з)', называется правильной конфигурацией. К понятию правильности конфигурации мы приходим, так же как и в случае точечных систем н многогранников, при изучении определенных отобра. жений конфигурации на самое себя, которые называются авто. морфизмами и играют такую же роль, как совмещения для точечных систем и многогранников. Лвтоморфизм конфигурации получается в том случае, если можно так обменивать местами все точки конфигурации между собой и все ее прямые между собой, что при этом ни одна инцндеитиость не пропадает и не по.
является ни одной новой инцидентности. Легко убедиться, что автоморфнзмы образуют группу. Правильной называется такая конфигурация, для которой эта группа транзитива, т. е. содержит столька отображений, что любая точка конфигурации может быть переведена посредством автоморфизма в любую дру* гую точку этой конфигурации, !!6 $17 конеигувлцни (9З! Для изучения автоморфизмов достаточно обратиться к аб. страктной схеме конфигурации. Можно показать, что схемы кон. фигураций (7с) и (8з) правильны в этом смысле, точно так же, как схема конфигурации (94 12з) (с. 109). Обратимся теперь к двум другим конфигурациям (9з)'. Они изображены на рнс. 115 и 115.
Чтобы уяснить, чем отличаются Рас. ! !6. Рас. !16. вти три конфигурации, мы можем поступить следующим обра- зом: так как во всякой конфигурации (рз) каждая точка соеди- нена прямыми с шестью другимн точками конфигурации, то в случае р = 9 для каждой точки конфигурацпи должны оста- ваться две точки, не соединенные с этой точкой. Так, в конфи- гурации (9,) ~ точки 8 и 9 нс связаны с точкой 1.
А так как точки 8 и 9 также нс связаны и друг с другом, то точки 1, 8 и 9 образуют треугольник несвязанных точек. Такие же треуголь- ники образуют точки 2, 5, 5 н 3, 4, 7 (рис. 1!7). Если мы теперь применим такой же способ к конфигурациям (9з)с и (9з)з и добавим к многоугольникам а отрезки между оставшимися несвязанными точками, то мы 1 получим для конфигурации д (9,)з девятиугольник (рис.!18) У и для (9з)з один шестиугольник и один треугольник (рис, 119). Отсюда прежде всего следует, что три чертежа (рпс. 108, 115 н 115) действительно изображают различные конфигурации, которые отличаются одна от другой не только одним расположением точек. Далее, можно отсюда вывести, что кон- фигурация (9,), заведомо неправильна. В самом деле, при по. средстве автоморфизма мы можем перевести, очевидно, точку гл и! коиоиггрйции шестиугольника только в точку шестиугольника исе, ио никак ие в точку треугольиц.
Напротив, правильное расположение несвязанных точек в конфигурации (9з)з заставляет думать, что эта конфигурация правильна; более детальное исследование схемы подтверждает это. 1'пс, 1!9. Ряс. 118. Если мы попытаемся построить шаг эа шагом подобно конфигурации (9з)! и обе другие конфигурации, то обиаружится, что в этих случаях последняя пяцидсптпость пе выполняется сама собой, ио выполняется только в том случае, если уже в пре.
дыдущих шагах чы встречаем расположения специального вида. В этом лежит причина того, по ко! фигурации (9з)з и (9з)з ие име1от такого 'принципиального зиачецпя, как конфигурация (9з)1. Эти конфигурации не выражают иикакоп общей проективио-геометрической теоремы. Рис. 120 дает пример такого случая, когда последняя прямая конфигурации 7 (9з)з ис может быть начерчена, Однако вспомогательные опе» рации, необходимые при построегиш конфигурации (9з)з, отли- 8 чаются одпой особенностью. а Именно, оип могут быть выполиены при помощп одной только линейки, так что конфигурации Рис. !20.
(9з) ! и (9з) з могут быть построены при помощи одной линейки '). Аналитически это следует иэ того, что все элементы коифигурации могут быть определены путем последовательного решения линейных уравнений, коэффициенты которых представляют рациональные выражеиия от вычисленных ранее определяющих величии. Правда, уравнения '] Чтобы построить (вз)З, нужно определить точки пересечения прямой с ириной второго порядка, Это 'построение нельзя выполнить с' помощью одной линейки. % >7 КО~>ФИ! УРАЦИИ П~> 117 прямых ливий всегда липсйпы. 1-1о для того чтобы получить си степу уравнений коьфигурацип, необходимо вычислить некоторые коэффициситы путем искл>очеппя их из других уравнений, так как некоторые прямые конфигурации вполне определяются прямыми, построеппымя раньше.
Вообгце говоря, такое ис>слючсппе приводит к уравнениям более высокой степеии. Это дол>хно иметь мссто, например, для конфигурации (8>), так как в противном случае мы бы не встретились здесь с комплсксиымн элементами, Напротив, в конфигурациях (9>) все вспомогательиые уравпеияя линейны, а отсюда следует, что все эти три коифигурацпп всегда могут быть осу- 4 ществлепы в дейсгвительиости при помощи одной линейки.
с Мы можем мыслить элементы конфигурации (9>) расположеииы- ' /~~".' 7,. ми различным ооразом. Так, мо>кио представить их но ьссх трех случаях в виде трех треугольников, из потерь>х перщсй пгп ап во второ>Ь второй — в третий и тре>кй — в первый. Такую систему треугольников Рис. 121. представляют, например, треугольникики 1 5 7, 2 3 9 и 4 6 8 па рис. 121; 2 5 8, 3 6 9 и 1 4 7 иа рис. 122 и 14 7, 2 58 и 3 69 иа рис, !23. Подобным >ке образом мы представляли конфигурацию (8>) как систему двух взаимно описаи. иых четырехугольников (рис.
107, с, !09), 7 /~ 7 7 э / Рис, 123. Рис. 122, Далее, все конфигурации (9,) можно представить в виде де. вятиугольииков, вписанных и описанных вокруг самих себя. Такими 9угольникамп являются 2 3 6 1 5 9 4 8 7 2 иа рис. !24, 1627384 951 иа рис.
125 и 147369528 1 иа рис. 126. При помощи соответствующих автоморфизмов можно найти в конфигурации (9>) > еше несколько других девятиугольциков, обладающих таким жс свойством. ГЛ. 1П. КОНФИГУРАЦИИ 118 Построение р-угольников, одновременно вписанных и описанных вокруг самих себя, всегда должно приводить к конфигурациям (р,). В самом деле, на каждой стороне многоугольника помимо двух вершин, которые она соединяет, лежит еще одна вершина многоугольника, н точно так же каждая вершина должна лежать иа трех сторонах многоугольника.
При этом мы предполагаем только, что все стороны и вершины многоугольника равноправны. В противном случае на одной стороне многоугольника могли бы лежать две иля более других вершин„ а с другой стороны были бы другие стороны многоугольника, на которых не лежала бы ни одна дополнительная вершина. Конфигурации (7и) н (8с) также могут быть представлены как р-угольинки подобного рода. В обозначениях наших схем будут одновременно описанными и вписанными в самих себя семиугольник 12457 361 н восъмиуголъиик 126534871. Рис. 124. Рис. 126. Рис.
128. Для того чтобы ознакомиться с другим важным свойством конфигурации, нам нужно будет заняться принципом двойственности. Этот принцип придает проективной геометрии особую наглядность и симметрию. Его можно вывести наглядно из метода проектирования, который мы уже применяли для вывода теорем Брианщона. ч и пегспективл, БескОнечнО удаленные элементы '' 1!9 5 18. Перспектива, бесконечно удаленные алементы и принцип двойственности на плоскости Когда мы рисуем иа вертикальной доске изображение какого-нибудь плоского ландшафта, то изображение плоскости получается в таком виде: изображение ограничено прямой 6, горизонтом, н две параллельные прямые этой плоскости, которые не параллельны сторонам доски, изображаются в виде двух прямых, пересекающихся на линии горизонта (рнс.
127). Точка пересечения этих прямых называется в теории перспективы тон кой схода. Рвс. 127. Таким образом при изображении прн помощи центральной перспективы параллельные линии обычно изображаются негараллельиыми, Далее можно убедиться, что такое нзображеиие не взаимно однозначно. Точки горизонта на изображении пе представляют никаких точек изображаемой плоскости, и наоборот„на этой плоскости имеются такие точки, которые не получаются на изображении. Это — точки прямой ~, параллельной доске и проходящей в изображаемой плоскости через основание перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из точки наблюдения.
Такое явление может быть описано проще, если перейти от точек к проектирующим их лучам. Каждой точке Р плоскости е (рнс. 128) соответствует-прямая АР = р, соединяющая эту точку с точкой наблюдения А. Изображение точки Р на какой-либо доске 1 есть точка Р'„в которой прямая р пересекается с доской„таким образом ноложенне прямой р определяет изображение. Если точка Р Описывает в плоскости е кривую, то прямая р описывает конус с вершиной в точке А. Изображение кривой на плоскости 1 представляет сечение конуса этойплпскостью. В частности, если точка Р описывает в плоскости а прямую и, то конус превращается в плоскость у, проходящую через точку А и прямую д.
Таким образом, в то время как точкам плоскости Н Гл и!. конФигуРАпии Р29 соответствуют прямые, проходящие через точку А, прямые плоскости е приводят к плоскостям, проходящим через точку А. Изображение прямой д на плоскости 1 представляет пересечение плоскостей 1 и у, т, е. опять-таки некоторую прямую д'. В этом состоит важнейшее свойство центральной перспективы, именно то, что прямые всегда изображаются в виде прямых. Рис. 128, Мы разбили перспективное отображение на два отображения, из которых второе можно рассматривать как обращение первого. Сначала точки (Р) и прямые (д) некоторой плоскости заменялнсь прямыми (р) и плоскостями (у), проходящими через точку А, а затем прямые и плоскости, проходящие через точку Л, снова заменялись точками (Р') и прямыми (д') другой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
