Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Однако можно доказать, что кроме треугольника таких конфигураций вообще не существует, Если мы будем в чстырехсторопникс проводить бесчисленные прямые,соединяющие его вершины, и добавлять появляющиеся при этом точки пересечения, то можно даже доказать, что в конце концов в любой окрестности любой точки плоскости будут расположены такие точки пересечения, Получающуюся при этом фигуру на. зывают сетью Мебиуса. Эту сеть можно использовать для опре.
деления проективных координат. Напомним значение четырехсторонника для построения гармонических точек, так как это нам далее пригодится. Четыре точки СРЩ прямой называются гармоническими или, иначе, точка Я называется четвертой гармонической по отношению к точкам СРР, если можно построить такой четырехсторонник, в котором эти точки будут определяться такой же инцидентностью, как и на рис. 104. Основной теоремой проективной геометрии 1Оо 5 КЯ О ПЛОСКИХ КОНФИГУРАЦИЯХ вследствие ее простоты является теорема, что ко всяким трем точкам прямой всегда можно найти одну и только одну четвертую гармоническую. Таким образом, если, как на рис.
!05, точки СРГ будут дополнены двумя различными способами до четырехсторонпнка, то согласно этой теореме ') оба построения должны привести к одной и той же точке Я. Рнс. 1Осх В дальнейшем мы рассмотрим главным образом те конфигурации, в которых нстречается столько же точек, сколько прямых, т. е. такие конфигурации, для которых имеет место равенство р = д. Вследствие соотношения ру = пд в этом случае мы должны иметь также у = и так, что символическое обозначение конфигурации всегда имеет вид (ртрт).
Для такой конфигурации мы введем более краткое обозначение (рт). Далее мы будем всегда требовать (что представляется вполне естественным), чтобы конфигурация была связной и не распадалась на Отдельные фигуры. Случаи у = 1 и у = 2 не имеют большого значения. Для слу. чая у = 1 мы имеем тривиальную конфигурацию, а именно точку и проходящую через нее прямую. В самом деле, если бы в такой конфигурации было несколько точек, то она должна была бы распасться, так как никакая прямая конфигурации не может содержать более одной точки.
Случай у = 2 осуществляется в пло. ских замкнутых многоугольниках; а так как в конфигурации (ре) через всякую точку проходят две прямые и на каждой прямой должны лежать две точки, то легко убедиться, что всякая конфигурация (р,) непременно должна состоять из вершин и сторон р-уголш1нка. Случай у = 3, напротив, приводит ко многим интересным конфигурациям. В этом случае число р точек (и прямых) по ') Это предложение непосредственно следует нз рвссмотрснной в $19 теоремы Деверьев, гл, ни конфигл хции меньшей мере должно равняться 7. В самом деле, через каждую точку конфигурации проходят три прямые и на каждой из них должны лежать еще две другие точки конфигурации.
В дальнейшем мы рассмотрим подробно только случаи 7 ( р ( 1О. 5 16. Конфигурации (7,) и (8,) Чтобы получить конфигурацию (рт), проще всего идти следующим путем: занумеруем р точек числами от 1 до р и точно так же зацумеруем р прямых цифрами от (1) до (р). Затем построим прямоугольную схему из ру точек так, чтобы в каждом столбце находилось друг под другом 7 точек, лежащих на одной прямой; таким образом мы получим р столбцов, соответствующих р прямым. Следовательно, мы полу щм для конфнгуращщ (7з) такую схему: (() (х) (3) (м (5) И (г) Пря занелненин вгай схемы необходимо удовлетворить следующим трем требованиям: во-первых„каждый столбец должен содержать только различные цифры„так как в противном случае иа прямой лежало бы меньше трех точек; во-вторых, два столбца не могут содержать две одинаковые цифры, так как в кротивном случае соответствующие прямые должны были бы совпасть; наконец, в-трезьнк, всякан цифра должна встречаться в схеме всего трн раза, так как через каждую точку должны проходить три прямые.
Эти зри условия во всяком случае необходимы для того, пабы схема была геометрически реализуемой, Однако, зти требования недостаточны, как зто мы увидим на примерах, Для осуществлении схемы необходимы еще геометрические или алгебраические исследования„которые не могут быть так просто сведеньг к арифметике.
Но вообще, если схема пред. ставллет некоторую конфигурацию, то мы можем произвести некоторые изменения в схеме так, что это не повлияет иа конфигурацию, Так, мы можем в каждом столбце изменить вертикальный порядок цифр, можем изменить порядок расположения столбцов, что равносильно простой перенумерации прямых, и, наконец. мы можем также произвольным образом перенумеровать и точки.
Так как все эти изменения не влияют на конфигу- 137 4 )б КонФигУРАЦии (7я) и (3)! 1 4 6 5 7... ° В следующих столбняк цифры 2 и 3 должны встретяг(ъся еше по два раза, причем онн должны стоять в различнътк столбцах; поэтому мы выпишем их в верхнем ряду: 1 ! 1 2 3 3 3 4 6 3 5 7 Для того чтобы заполнить остающиеся свободными восемь мест, нам нужно использовать еще числа 4, 5, 6, 7, так как цифры !, 2 и 3 уже использованы. Цифра 4 должна встретиться еще два раза.
Так как она не должна стоять оба раза под одной и той же цифрой, то мы ьюжем выписать ее в таких местах: 2 2 3 3 4 . 4 ложен ра'5д таять 3 3 4 Б Всякое другое возможное распо ие несущественно отличается от этого. Точно так же циф олжиа встретиться еще два раза и ие должна больше с под четверкой. Таким образом мы можем написать: 2 2 4 5 На первых двух из остающихся четырех свободных мест должны стоять цифры 6 и 7„так как все другие цифры уже использованы, и под одной и той же цифрой 2 ие могутлва раза стоять одинаковые цифры, Так как перемена местами цифр 6 и 7 не внесла бы существенных изменений, то мы можем написать; 4 5 4 5 6 7 рацию, то мы будем рассматривать все схемы, отличающиеся только подобными изменениями., как тождественные. С этой точки зрения, однако, можно устамовить только одну схему для конфигурации (7,).
Тачки, лежащие на первой прямой, мы обозна~)иы номерами 1, 2, 3. Через точку 1 проходят еще две другие прямые, которые ие должны содержать точек 2 и 3, Обозначим точки, лежащие на второй прямой, цифрами 4 и 5, а точки, лежащие на третьей прямой,— цифрами 6 и 7. Таким образом мы перенумеровали все точки, и схема получается такая: 1 !ОВ гл. н!. конФ!>ГуРАцин 5) х !5 (5) (б) (7) (8) 2 3 3 4 7 4 5 5 8 7 В б (2) (3) 1 ! 4 6 В Тейерь остави;неся два места могут быть заполнены только цифрами 7 н 6, так что мы для конфигурации (7>) дейстин>сльно получаем единственную возможную схему: (!) (2) (3) (4) (5) (б) (7) 1 1 1 2 2 3 3 2 4 6 4 5 4 5 3 5 7 6 7 7 б ййы уже упоминали, что из существования подобной схсхил е>це не следует, что на самом деле существует конфигурация (7„).
Как раз в пашем случае можно доказать невозможность ~:.онфнгурации, Именно, если мы захотим написать уравнения нряь!ыс нашей схемы по способу аналитической геометрии, то мы прн. дом к системе уравнений, содср>кащей виутрсинсе противоречие, Невозможность этой коийн>гурании можно обиаругкнть и наглядно. Начсрти>л прежде все>о (рнс, 106) прямые (1) н (2) >ш- шсй схсмь!, занумерусм точку нх 7 пересечения цифрой 1, как это«~ требует наша схема, и возьмем 74! Ка ирямон '(1) точни 2 и 3, а нз / прямой (2) — точки 4 и 5 произ- 17! вольно. Затем проведем прямые о! (4) н (7), которые онределяютгя нарами точек 24 н 35; обозначим 3 ° !очку их псресечс!шя цифрой 6, Точно так же пары точек 25 н 3 1 определяют прямые (5) и (6) и точку нх пересечения 7.
Таким образом мы определили всс точки конфигурации. Однак> обнаруживается, 'по три тички — -1, 6, 7,— которые должны лежать на недостающей еще прямой (3), не лежат на одной прямой, так что мы получаем в пересечении прямых (!7) и (7) еще одну лишнюю точку 6'. йго>кно было бы думать, что это зависит от неудачного выбора точек 2, 3, 4, 5. Однако мы в пашей фигуре узнаем гармоническое построение (рнс. 104), Таких! образом точка 6' есть четвертая гармоническая к трем точкам 3, 5, 6, а потому согласно элементарной теореме проск.
тивной геометрии она не может совпасть ни с одной из этих точек. Перейдем теперь к конфигурации (6>). Таким >ке путем, как и вьппе, можно показать, что и здесь по существу имеется только одна схема: (!) (4) ! 2 2 3 5 б !09 4 И КО~Н ИГГОЛЦИИ !?,1 И Пл? (1) (2?) (4) (5) (6) (7) (3) 1 1 2 2 3 3 4 2 4 3 7 4 5 5 5 8 6 8 7 8 6 (3) 1 6 7 (9) (10) (11) (12) 1 2 5 6 3 4 7 8 9 9 9 9 Если исключить из втой конфигурации. точку 9 и проходящие через нее прямые (9), (!О), (!1), (!2), то останется как рзз наша схема (Ял).
Точно так же мы придем к конфигурации (8л), сели исключим любую другую из девяти точек и четыре проходящие через иее прямые, ибо все точки конфигурации (9412л)) равноправны. Эту конфигурацию можно выразить в виде двух четырех- угольников ! 234 и 5678, которые одновременно и вписаны и описаны друг около друга (рис. !07). Имепио, иа прямой (1 2) леж?п точка 5, иа прямой (23) — точка 6, па прямои (34)— то !ка 7 и па прямой (4 1) — то ка 8; точно так жс стороиь! (56), (67), (78), (85) ишцшентиы с точками 4, 1, 2, 3.
Здесь тзк?ке можно убедиться, что такую 2 коифигурашио нельзя начертить. Лпалити ?е- ское исследова!?ие схемы и!?ивг?диз к системе ) ?звисиий, кото!шч, п)?авда, не содсожит иро- т'?ворсчи?1, как урависипя конфигурации (7л), ио рпиеиие которой всегда возможно только в к<?л?изскспо!! !, орме. ?<? к, ° ! l. 1 Тс?! пе маисе эта коплригурация прсдстав- ли т геометрический иизерес, тзк как оиа иг- 1?ает гз?Киую роль В теории плг?ских к!?Пвых 7 третьего порядка, ис имеющих двойшях точек. Рас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
