Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Поэтому из соображений симметрии достаточно будет рассмотреть только первый шаг. Это отображение е-РА полностью определено только в заданном направлении, но не в направленви, обратном Л -~ е. Среди прямых, проходя!них через точку Л, прямые, параллельные плоскости е, при отображении вани. мают особое положение. Они не соответствуют никаким точкам плоl скости е, в то время как остальные прямые, проходя!цие через точку А, . у' определяют точку плоскости е, именно ту точку, в которой они пересека1от эту плоскость.

Прямые р„, паРис. 129. раллельные плоскости е, проходя. щие через точку А,заполняют некоторую плоскость у„, именно плоскость, проходящую через точ. ку А и параллельную плоскости е (рис. !29). Эта плоскость у, опять-таки занимает особое положение среди всех плоскостей, проходящих через точку А при отображении А — ~е. Именно, в то время как все другие проходящие через точку А плоскости соответствуют определенной прямой и на плоскости е, прямой пере.

ч м перспектива. нескованно нддленные элемннты !2! сечения пх с плоскостью е, плоскость у„не соответствует цив какой прямой, так как она ие пересекает плоскости е. Весьма целесообразно устранить эти исключительные случаи путем введения новых понятий, присоединяя к плоскости в точки уз„в качестве кбесконечно удаленныхв.

Эти точки определи!отса тем, что они должны служить изображениями лучей р„при отображении А-ма. Совокупность их следует рассматривать как изображение плоскости ую Если мы таким образом избавимся от исключительяого положения этой плоскости по сравнени1о с другими плоскостямн, проходящими через точку А, то пам придется считать изображение этой плоскости прямой линией. !!оэтому мы говорим, что бесконечна удаленные точки плоскости е заполняют некоторую прямую дк, иазынаемую бесконечно удаленной прямой плоскости е !). После того как мы гополпили таким Образом плоскость е, очевидно, отображение точек и прямых плоскости е на прямые и плоскости, проходящие через точку А, полностью определено и притом взаимно однозначно.

Целесообразность введения таких определений выясняется при рассмотрении отображения плоскости е посредством цент. ральной перспективы на произвольную другу!о плоскость й Так же как плосквсть Г мы ДОполнилн беск01гечпо удаленными ТО'! ками, так плоскость ! дополним бесконечно удаленными точками, образующими бесконечно удаленнукз прямую этой пло. скости.

По если плоскость ! не параллельна плоскости е, то прп отображении А -ь ! бесконечно удаленной прямой !. плоскости и соответствует не плоскость ую но некоторая иная плоскость Х, проходящая через то !ку А. !!Лоскость !с пересекается с плоскостью е вдоль некоторой прямой й Таким образом, при перспективном отображении е-э-! точкам бесконечно удаленной прямой одной плоскости соответствуют точки Обыкновенной прямой другой плоскости. Только после введения бесконечно удаленных точек центральная перспектива превращается в такое отображение, прп котором точки и прямые однов плоскости изображаются взаимно однозначно точками н прямыми другой плоскости, причем бесконечно удаленные точки становятся равпоправиыми с конечнымн точкамн.

Теперь посмотрим, как следует обобщить понятие инцидентностн между точкой и прямой после добавления бескоиечпоудаленных элементов. Мы будем снова исходить из изображения е-ьА, Конечная точка Р ннцидентна с конечной прямой и ') Название «бесконечно удаленная» объясняется тем, что луч зрення, направленный в некоторую точку плоскостн е, всегда стремится к некоторому лучу р„, если точка плоскости е бесконечно удаляется в определенном на.

правлении. ГЛ. И1. К<1ПФПГУРХЦН11 в плоскости 8 тоГда и тОлькО тоГда, коГда нпнндситны сООтвет ствующая прямая Р и плоскость у. Мы обобщим это на любые точки и прямые в плоскости е. Будем называть бесконечно удаленную точку Р„инцпдентной с некоторой прямой д тогда, когда луч Р. инцидеитеи с плоскостью у. Если плоскости у и у.совпадаютитаким образом прямаядявляется бесконечно удаленной прямой плоскости е,то мы ие получаем ничего нового. Если жег есть конечная прямая, то плоскосы1 у и у, пересекаются по иекото.

рой прямой Р„поэтому всякая конечная прямая имеет одну и только одну бесконечно удаленную точку, а именно, точку пересечения с прямой д„. Если прямая д' параллельна прямой д, то это эквивалентно тому, что плоскость у', соответствующая прямой д', проходит через прямую р„(рис. 129). Таким образом две прямые параллельны тогда и только тогда, когда оии имеют одну и ту жс бесконечно удаленную точку. Таков смысл того оборота речи, которым мы до сих пор пользовались, но который не имеет смысла без разъяснений: параллельные прямые пере. секаются в бесконечности. Здесь мы видим основание упомянутого в начале этого параграфа факта, что две параллельные прямые представляются пересекающимися в точке схода, лежа.

щей иа горизонте. В качестве примера того, насколько упрощаются геометрические понятия при введении бесконечно удаленных элементов, мы приведем конические сечения. Так как они представляют собой, как было указано в первой главе, сечения кругового конуса плоскостью, то онн могут быть рассматриваемы как перспективные изображения некоторой окружности. В зависимости от того, бу. дет ли один или два просктирующих луча параллельны плоско.

сти проекций или не будет ни одного параллельного луча, мы получаем параболу, гиперболу или эллипс, В соответствии с этим мы можем сейчас сказать: коническое сечение представляет параболу, гиперболу пли эллипс в зависимости от того, касается ли оно бесконечно удаленной прямой в одной точке, пересекает ли ее в двух точках или вовсе не пересекается с нею. При центральной проекции на другую плоскость мы получаем в этих случаях коническое сечение, которое либо касается горизонта, либо пересекается с ним, либо не пересекается.

Какого рода будет это коническое сечение в зависит от расположения плоскости изображения. Вообще центральная проекция представляет важное вспомогательное средство для того, чтобы из фигур специального вида получать более общие; так, например, фигуру полного четырех- сторонника (с.

104) всегда можно получить из простой фигуры, изображенной на рис. 130. Однако значение бесконечно удаленных элементов состоит прежде всего в том, что они позволяют изменить н существенно 5 18 РегспектпаА. Весконечно удАленные элеь!е!пы Н123 упростить аксиоматпческое обоснование плоской геометрии. 11менпо, если ограничиться коночными тачками плоскости, то и:шпдентпость точек и прямых определяется следующими аксиомамп: 1. Две различные точки всегда определяют однц прямую, иггчпдентнуго с ними.

2. Две рпзлпчнью точки определяют только одну инцидент» пую с нпмп прямцго. 11з второй аксиомы слсдусг: дпе прямые па плоскости имеют либо одну общу!о точку, либо пп одной, так как если бы они писля две или более об!ппх точек, то опп соепалн бы в одну единственную О //~ Ф прямую. Г Случай, когда две прямые па плоскости пе имеют общей точки, определяется и ограничивается евклидовой в '.

аксиомой параллельности: Если на плоскостгг дана пропзпольггач прямая а и произвольная точка А сне прямой а, то в этой плоскости плгеегся одна и только одна прямая о, проходящая через точку А и не перегекщощпя прямой а; прямая 6 назывпется параллельной к прямой а, про- Рпс. !30.

ходящей через точку А. Если теперь мы будем рассматривать пе только конечныв точки, но расширим пашу плоскость до проектпвной плоскости, добавив к пей бесконечно удаленную прямую, то вместо упомгг» путых трех аксиом мы можем положить в основу две следующив аксиомы: 1. Две различные точки оггределяют однц и только одну прямую, 2. Две различные пряхгые определяют одну и только одну точку. К этим двум аксиомам можно свести инцидентность точек и прямых проектинной плоскости. Прп этом отнюдь пе следует отличать бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные прямые от других точек и прямых.

Если мы захотим осуществить проективную плоскость в виде некоторого образа,в котором рав ноправность всех точек и всех прямых станет наглядной, то мы можем обратиться снова к пучку прямых н плоскостей, проходящих через определенную точку, причем мы будем рассматривать прямые как «точки», а плоскостп — как «прямые». На такой мо. дели легче всего усмотреть справедливость обеих приведенных аксиом, Гл. н!, коньигупл!н!и Теоремы Паскаля Теоремы Брнаншона 1,2,3.

Пусть некоторый и!естиугольник образован из !иести прямых, явля!ощихся касательными некоторого конического сечения (шестиугольник, описанный около конического сечения) Тогда прямые, соедннтнощис противополоакнь!е вершинь!, пересека!отея в одной точке, 4. Пусть дано шесть прял!ых, три из которых инцидентны с точкой А, а три другие— с точкой В, Выберем шесть точек пересечения так, что эти точки вместе с соответствующими соединяющими их линиями образуют игестиугольнпк, стороны' которого поперел!енно 1, 2, 3.

Пусть шестиугольник образован п!естью точкали!, распололсенными на некоторол! коническом сечении г!нестиугольншс, в!тсонный в коническое сечение). Тогда три точки пересечения противо!!вложил!х с~арон лелгат на одной прямой. 4. Пусть дано шесть точек, из которь!х три инцидентны с некоторой прял!ой а, а три другие — с прямой Ь. Выберем шесть соединшо!цих их прямых так, что они вместе с соответствующими точками пересечения образуют шестиугольник, веришиы которого расположе- Эти две аксиомы обладают тем формальным свойством, что онн остаются неизменными, если слово «прямая» заменить словом «точка», а слово «точка» заменить словом «прямая».

Более детальное исследование показывает, что и в остальных аксно. мах плоской просктнвной геометрии оба эти слова можно обме. иивать местами без изменения содержания системы аксиом. Но тогда и во нссх следствиях и теоремах, выводимых нз этих ак. сиам, оба эти слова должны быть взаимно заменяемы.

Характеристики

Список файлов книги