Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

бражения на плоскости можно вывссти последние теоремы Паскаля и Брианшона (не используя при этом вспомогательных пространственных построений). Теорема Дезарга может быть доказана в пространстветолько при посредстве аксиом связи; если же мы хотим доказать эту теорему на плоскости, не выходя в пространство, то нельзя обойтись без аксиом конгруэнтности, если даже принять архимедову аксиому и аксиомы расположения. Но зато для доказательства здесь достаточно будет принять аксиомы связи и расположения на плоскости и аксиомы конгруэнтности.

Архимедова же аксиома не нужна. Если исключить пространственные аксиомы связи, то в отношении последней теоремы Паскаля можно сказать то же, что в отношении дезарговой теоремы. Для ее доказательства достаточны тогда плоские аксиомы связи, аксиомы расположения и коигруэнтности. Тем не менее даже и без пространственных вспомогательных построений можно установить сушественную разницу между обеими теоремами также и на плоскости. Именно, если принять на плоскости аксиомы связи и считать справедливой дезаргову теорему, то теорему Паскаля доказать нельзя. Напротив, теорему Дезарга можно доказать, если принять плоские аксиомы связи и теорему Паскаля.

й4ы проведем доказательства для частного случая,.когда дезаргова прямая есть бес. Гл, 1и. КоиеигуРАции 138 с л с г в 21. Предварительные замечания о пространственных конфигурациях Понятие конфигурации можно обобщить на пространство. Система точек и плоскостей называется пространственной конфигурацией, если каждая точка инцидентна с одним и тем же чис.

лом плоскостей н каждая плоскость — с одним и тем же числом конечно удаленная прямая плоскости. Такое предположение служит, так же как при установлении архимедовой аксиомы, только для того, чтобы провести доказательство короче и нагляднее. Таким образом мы заранее принимаем следующее (рис. ! 44): д' ==,,~ Три прямые АА', ВВ', СС' проходят ( все через одну н ту же точку О. Кроме Ав д ' 4' того, АВйА'В', АС!!А'С'. Теперь с по. мощью последней теоремы Паскаля следует доказать, что будет иметь место также ВС~!В'С'. Для доказательства проведем через точку А прямую, параллельную ОВ; Ряс. 144. пусть эта прямая пересекается с прямой А'С' в точке Е„а с прямой ОС вЂ” в точке М. Далее пусть прямая ЬВ' пересекает прямую АВ в точке Ф.

Теперь трижды применим к этой фигуретеорему Паскаля н притом в той частной ее форме, которая была приведена на с. 125 и названа теоремой Паппа. Прежде всего шестиугольник ОФАЬА'В' есть шестиугольник Паскаля, так как каждые три его вершины, взятые через одну, лежат па одной и той же пря мой. Но мы имеем по предположению ЖАзА'В', кроме тою, по построеняюАЦ!В'О. По теореме Паина н третья пара противоположныхсторон этого шестиугольника параллельна, т. е.

ОЖ!!А'Ц1АС. Теперь рассмотрим шестиугольник Паскаля 01тМАСВ. В этом шестиугольнике ОФКА С, как уже доказано, н МА!(ВО по предположению. Поэтому по теореме Паппа ФМ1~СВ. В заключение рассмотрим шестиугольник Паскаля ОММЬС'В'. В этом шестиугольнике ОМ!!ЬС' и М1.1В'О. Отсюда следует, как и выше, что ФМзС'В'. Но так как уже было доказано, что ММ!!СВ, то отсюда и следует наше утверждение: ВСз В'С'. Все теоремы относительно точек пересечения на плоскости можно вывести из теорем Дезарга и Паскаля. Так как теперь мы получили теорему Дсзарга в качестве следствия яз теоремы Паскаля, то мы можем сказать, что теорема Паскаля является единственной существенной теоремой о точках пересечения иа плоскости н что, следовательно, конфигурация (9з~1 является важнейшей фигурой в плоской геометрии, 5 зк о пгостРАнстввнных конФигуРАциях 1зв точек.

Простой пример подобной конфигурации представляет пространственная теорема Дезарга. В качестве точек конфигурации мы можем взять прн этом те же десять точек, какие мы брали для соответствующей плоской фигуры. В качестве плоско. стей конфигурации мы возьмем две плоскости обоих треуголь ников и три плоскости, проходящие через стороны треугольнн. ков и дезаргову точку. Тогда через каждую точку проходят трн плоскости и в каждой плоскости'лежат шесть точек.

На том же основании, как в случае плоской конфигурации, четыре характе. ристнческих для данной конфигурации числа удовлетворяют определенному уравнению, Именно; 5 6 = 10 3. Но в пространстве можно рассматривать наряду с конфигурациями, состоящими из точек и плоскостей, также и конфигу рации, состоящие, как и на плоскости, из точек и прямых, при~ чем каждая точка инцидентна с одним и тем же числом прямых и каждая прямая с одним и тем же числом точек.

Эти два различных представления часто можно применять к одной и той же фигуре. Так, только что рассмотренная пространственная дезаргова фигура представляет пространственную конфигурацию из точек и прямых, по существу тождественную с плоской дезарго.

вой конфигурацией, Точно так же и во многих других, более общих случаях определенные прямые пересечения плоскостей, встречающиеся в конфигурации из точек и плоскостей, образуют вместе с точками конфигурации конфигурацию, состоящую из точек и прямых; обратно, часто можно превратить конфигура. цню из точек и прямых в конфигурацию нз точек и плоскостей, если добавить определенные плоскости, в которых лежат пря. мые конфигурации.

Мы ограничимся сначала, так же как и для плоскости, тем случаем, когда число точек и плоскостей одинаково, т. е, когда мы имеем конфигурацию точек и плоскостей, состоящую нз р точек и р плоскостей. Если при этом всякая точка инцидентна с а плоскостями, то по тем же основаниям, как и на плоскости, всякая плоскость конфигурации ннцидентна с и точками; такие конфигурации мы будем обозначать через (р„).

Для того чтобы исключить тривиальные случаи, примем, что и не меньше 4. Для р ( 7 конфигурация (р,) невозможна. Но если р = 8, то мы сразу же получаем возможность установить пять различных схем, причем все они могут быть осуществлены геометрически. Одна из этих конфигураций (8,), так называемая конфигурация Мебиуса, имеет важное геометрическое значение„ так как последняя инцндентность здесь выполняется сама собой, н потому эта конфигурация выражает определенную геометря» ческую теорему. Эта конфигурации состоит нз двух тетраэд~ ров, одновременно вписанных и описанных около друц друга.

Гл. !и. конеигугации При переходе к конфигурациям более высокого порядка мы будем получать все большее число возможностей, так что очень быстро обозрение их делается невозможным. Так, например, имеются уже 26 геометрически осуществимых конфигураций (94). Поэтому мы рассмотрим подробнее только две особенно важные прострайственные конфигурации, которые играют известную роль в математических проблемах другого рода.

Это— конфигурация Рейе и двойной шестисторонннк Шлефли, 5 22. Конфигурация Рейе Конфигурация Рейе состоит из двенадцати точек и двенадцати плоскостей. Она выражает проективно-геометрическую теорему, так что последняя ннцидентность выполняется здесь сама собой, как бы ни выбрали расположение точек и плоскостей.

Но для того чтобы получить наглядное представление о конфигурации Рейе, мы сначала выберем специальное симметрическое расположение отдельных точек конфигурации. В качестве точек конфигурации выберем восемь вершин куба, затем центр куба и, наконец, три бесконечно удаленные точки, в которых пересекаются по четыре параллельных ребра куба (рис.

145). В качестве пло. скостей конфигурации выберем шесть граней куба н шесть диагональных плоскостей, проходящих через кажРис. 145. дые два противоположных ребра. В каждой плоскости получившейся таким образом фигуры расположено шесть точек, а именно: четыре вершины и две бесконечно удаленные точки на каждой грани куба и четыре вершины, один центр куба и одна бесконечно удаленная точка на каждой диагональной плоскости. С другой стороны, в каждой точке пересекаются шесть плоскостей, а именно; в центре куба шесть диагональных плоскостей, в каждой вершине куба трн диагональные плоскости и три грани куба и в бесконечно удаленных точках четыре грани куба и две диагональные плоскости. Таким образом мы действительно по- э ех конеигилция гиии 141 ,гн, лучили при нашем построении конфигурацию из точек и плоско. стей, символом которой являются (!2э). Мы можем, однако, рассматривать нашу фигуру как конфигурацию точек и прямых, если в качестве прямых выбрать неко-, торые прямые пересечения заданных выше плоскостей, именно двеналцать ребер и четыре главные диагонали куба.

Каждая из этих прямых содержит трн точки конфигурации, а именно, каждое ребро — две вершины и одну бесконечно улалснную точку и кажлая лиагональ — лве вершины и центр. Далее, через каж. лую точку прохолят четыре прямых, именно: через вершины три ребра и окна главная диагональ, через центр — четыре главные диагонали и через каждую бесконечно улаленную точку четыре ребра.

Характеристики

Список файлов книги