Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 32
Текст из файла (страница 32)
пь конеигг хции путем добавления предельных случаев. Прежде всего еле. дует рассматривать в качестве внешней точки подобия кругов и шаров одинакового радиуса бесконечно удаленную точку, ле. жашую на линии центров (рис. 149). Если рассматривать далее шар й и плоскость е (рис. 150), то следует принять в качестве точек подобия этих двух образов конечные точки (йе) и (яе)' диаметра шара, перпендикулярного к плоскости е. Именно, если плоскость пересекает продолжение этого диаметра в точке Р и если плоскость е заменить семейством шаров К радиусы которых все возрастают, и которые ка- У ь э, саются плоскости е в точке Р, то можно . ~еП' убедиться, что точки подобия шаров й и К стремятся к точкам (яе) и (йе)'.
Наконец, для двух плоскостей е и 1, пересекающихся по прямой д (рис. 151), еле Рис. !6!. дует считать точками подобия бесконеч. но удаленные точки, расположенные в направлениях, перпендикулярных к прямой д и делящих попо. лам углы, образованные обеими плоскостями. Зто определение также можно оправдать при помощи предельного перехода, если рассматривать прямую д как круг, получающийся в пересечении двух шаров с непрерывно возрастающими до бесконечности радиусами (однако остаюшихся все время попарно конг. руэнтными), касаюшихся плоскостей е и ) в постоянной точке прямой д.
При помощи этих определений можно представить конфигу~ рацию Рейс в рассмотренном выше виде, так же и как систему точек подобия. Опишем нз центров передней и задней граней куба (рис. 145) шары 3 и 4 с радиусами одинаковой величины„ причем радиусы выберем так, чтобы каждый шар проходил че. рез четыре вершины соответствующей грани. Перпендикулярно к диагоналям этих граней на произвольном расстоянии проведем плоскости 1 и 2. Тогда точки конфигурации окажутся точками подобия плоскостей 1, 2 и шаров 3 и 4 в расположении, аналогичном изображенному на рис. 148.
Напрашивается мысль положить в основу вместо этого вырожденного случая четыре шара одинакового радиуса, центры которых образуют правильный тет» раэдр, Тогда внешние точки подобия должны совпасть с беско. печно удаленными точками шести ребер тетраэдра, и следовательно, бесконечно удаленная плоскость принадлежит этой кон. фигурации и соответствует плоскости е, в нашем обозначении. Внутренними точками подобия служат середины ребер тетра. эдра.
Зти шесть точек образуют вершины правильного октаэдра (рис. !52). Боковые грани его всегда являются плоскостями кон. фигурации; именно, это суть грани тетраэдра 1, П, П1 И и пло~ 147 й м. конфигррдция рвиа скости, обозначенные в нашей схеме буквами еь из, ез, еь Недо. стаюшие еше три плоскости суть три плоскости симметрии октаэдра. Прямыми конфигурации являются четыре бесконечно удаленные прямые граней тетраэдра (внешние оси подобия) и двенадцать ребер октаэдра (внутренние оси подобия), Мы уже указывали в первой главе на родство между кубом ц октаэдром. В соответствии со сказанным в $19 мы можем те.
перь сказать, что куб и октаэдр двойственны друг другу. Далее, мы можем обобщить это и показать, что точки и плоскости рис. 152 двойственно соответствуют плоскостям и точкам рис. 1451 вершины и грани куба соот. ветствуют граням и верши. иам октаэдра, центр куба и шесть иицидентных с ним плоскостей соответству|от бесконечно удаленной плоскости и шести инцидентиым с ней точкам октаэдра, три бесконечно удаленные точки куба соответствуют трем плоскостям симметрии рктаэдра ').
Таким образом доказано, что конфигурация Рейе двойственно инвари. антна. Оказывается, что именно прн двойственном соответствии между кубом и октаэдром плоскости и точ. ки одной конфигурации Рейе отображаются на точки н плоскости другой, совершенно иначе расположенной конфигурации Рейе; однако в смысле проектив, ной геометрии следует рассматривать все конфигурации Рейв как тождествениыез). Теперь мы покажем на конфигурации Рейе еще другое, важное свойство симметрии, с которым мы познакомились при рас.
смотрении плоских конфигураций. Именно, мы докажем, что эта конфигурация правильна. Из сказанного до сих пор отнюдь нельзя еше вывести такого заключения, так как плоскости по отношению к системе точек подобия распадаются на четыре различных класса, а при осуществлении конфигурации посредством ') такое соответствие получается посредством полярного преобразования относительно вписанного в куб шара.
') Проектнвное обобшенне октаздра можно получить, если исходить из какой-нибудь проективной системы координат в пространстве. Единичные точки шести осей координат, так же как и точки пересечения координат единичной плоскостью, всегда являются точкамн конфигурации Рейе, 148 ГЛ. и1. КОНФИГУРЛЦИИ куба и октаэдра как точки, так и плоскости играют разную роль. В следующем параграфе мы приведем такой вывод кои. фнгурацни Рейе, при котором станет очевидным равноправие всех элементов. Для этой цели нам придется ближе ознакомиться с правильными телами трех- и четырехмерного пространства, Подобно тому как можно проектировать тела на плоскость, точно так же образы четырехмерного пространства можно про. ектировать на трехмерное пространство, и при соответствующем способе проектирования один из этих образов дает как проекцию конфигурацию Рейе.
5 23. Правильные тела н ячейки и их проекции В первой главе мы сопоставляли пять правильных тел трехмерного пространства. Среди этих тел тетраэдр занимает особое место, так как он двойственен самому себе, между тем как остальные четыре тела попарно двойственны друг другу; отктаэдр соответствует кубу, а додекаэдр — икосаэдру.
Быть может„ с этой особенностью тетраэдра связано и другое явление, которое отличает это тело от четырех других. Именно, эти четыре тела можно назвать «цеитрально симметричными», потому что в этих телах вершины попарно между собой, ребра между собой и грани между собой расположены симметрично по отношению к центру; например, если соединить вершину куба с его центром, то прямая, соединяющая их, пересечет куб в другой вершине. Напротив, тетраэдр не является центрально симметричным телом: прямая, соединяющая вершину его с центром, пересекает тетраэдр вторично в середине боковой грани. Рассмотрением, подобным тем, которые мы привели в первой главе, можно доказать, что и в четырехмерном пространстве также возможно лишь конечное число правильных тел, именно шесть1), В образы четырехмерного пространства, естественно, помимо вершин, ребер и граней в качестве ограничивающих элементов входят также'и куски пространства.
Как для трехмерного пространства мы выставляли требование, чтобы поверхности, ограничивающие тело, представляли правильные много. угольники, так мы должны потребовать и для четырехмерного пространства, чтобы области пространства, ограничивающие четырехмерный образ, являлись правильными многогранниками. йхы будем называть подобные образы «ячейками», причем если эти образы ограничены а многогранниками, то а-ячейками. В ии. жеследуюшей таблице мы приводим важнейшие данные о пра.
вильных ячейках четырехмерного пространства. ') См., иаиример, Стрин гх е и В. И. Правильные фигуры в и-мериом пространстве, - УМИ, !944, вма. Х, с. 22-33. - Прим, ред. 4 та. правильные тала и ячейки и нх проекции 149 Четырехмерное пространство Число и вил оргаиичиваюааив иного- граииииов Число вершин двоаственносгь б тетра»дров В кубов 16 тетра»дров 24 октавдра 120 додекаэдров 600 тетра»дров б-ячейка 6» 16» 24» 120» 600» 6 16 6 24 600 120 Двойственна самой себе Двойственны друг другу Двойственна самой себе двойственны друг другу и-мерное пространство В трехмерном пространстве этим трем видам ячеек соответ.
ствуют тетраэдр, куб и октаэдр (п+ 1 = 4, 2п = 6, 2п = 8), в четырехмерном пространстве 5-, 8- и 16-ячейка. Таким образом додекаэдр и нкосаэдр, а также 24-, 120- и 600-ячейка не имеют аналогов в пространствах более высокого числа измерений. Теперь рассмотрим проекции правильных тел на пространство с числом измерений, меньшим на единицу.
Начнем с проекций Соотношения двойственности, указанные в последних строчках, вытекают непосредственно из рассмотрения таблицы, а именно: в четырехмерном пространстве точки двойственны пространствам, тогда как прямые двойственны плоскостям. Из таблицы мы видим, что тетраэдр соответствует 5-ячейке. Далее, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр соответствуют 8-, 16-, 120- н 600-ячейке. 24-ячейка занимает особое место. Именно, она не только двойственна самой себе, но кроме того центрально симметрична, между тем как другая ячейка, двойственная самой себе, 5-нчейка, подобно соответствующему ей правильному тетраэдру трехмерного пространства, не обладает центральной симметрией. Подобные же исследования были проведены и для про странств более высокого числа измерений.
Однако в этих случаях обнаруживается большая простота и закономерность, так как во всех этих пространствах возможны только три правильных тела. Важнейшие данные мы опять сопоставляем в виде таблицы. гл, пь коиеигг дцин правильных многогранников трехмерного пространства на плоа скость. В зависимости от выбора центра проекции и плоскости проекцией, естественно, эти проекции выглядят весьма различно.
На рис. 95 — 99 1с. 99 — 101) мы выбрали параллельную проек. цию, т. е. центр проекции поместили в бесконечности. Такой способ проектирования имеет то преимущество, что параллельные прямые остаются параллельными. Однако он имеет тот недостаток, что проекции граней частично перекрывают друг друга. Этот; недостаток можно устранить, если передвинуть центр проекции очень близко к одной из граней. Ради симметрии расположим его на перпендикуляре, восставленном в середине одной из граней, и эту грань примем за плоскость проекций.
Тогда для пяти правильных тел получатся проекции, изображенные на рис. 153— ,157. Такую же картину мы увидели бы, если бы удалили одну Рис. 163. Тетраэдр. Рис, 164, Куб. Рис. 166. Оитаэдр. Рис. !66. Додеааэдр. Рис. 167. Иассаэдр. из граней многогранника и в образовавшуюся дыру рассматри. вали внутренность многогранника. Если мы расположим центр проекции на самой границе тела, то боковые грани, проходящие через него, будут проектировать. ся в виде прямых, а потому проекция получится очень асиммет» ричной. Если теперь мы перенесем центр проекции внутрь тела, то об.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
