Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Ана- логично определим прямые 4, 3, 2 (наприРис. 179. мер, прямая 4 инцидентна с прямыми 2', 3', 5', 6' и отлична от прямой 1). Таким образом мы получим изображенную на рис. 179 схему инцидентностей. Легко усмотреть, что благодаря нашему выбору прямых 2', 3', 4', 5', 6' никаких других инцидентностей быть не может. Рассмотрим теперь прямые 2, 3, 4, 5. Мы утверждаем, что эти четыре прямые не могут иметь гиперболоидального располо жения. В самом деле, в противном случае каждая прямая, инцидентная с тремя из них, пересекалась бы и с четвертой, а это обстоятельство должно иметь место в нашей схеме только для четырех прямых 2', 3', 4', 5'.

Тогда также и последние четыре прямые имели бы гиперболоидальное расположение, что противоречит нашему по- 1 г з 4 д х строению. Поэтому существует максимум две прямые, инцидентные с прямыми 2, 3, 4, 5. Но прямые 2, 3, 4, 5 по построению всегда инцидентны с прямой 6'. Обозначим вторую прямую, инцидентную с прямыми 2, 3, 4, 5, цифрой Г. Мы утверждаем, что прямая Г не совпадает с прямой 6' и кроме того пересекается с прямой 6.

В силу этого утверждения, которое мы сейчас докажем, наша схема дополняется до схемы, изо- Рис. 180. браженной на рис. 180, которая и представляет двойной шестисторонник. Можно непосредственно усмотреть, что здесь идет речь о правильной конфигурации точек и прямых по схеме (30и,121).

Можно при построении двойного шестисторонника придать ему особенно наглядное н симметрич. за. ивонной шестистояонник шлеФли 189 ное расположение, если провести соответствующим образом на каждой из шести граней куба по одной прямой каждой шестерки. Это расположение непосредственно понятно из рис. 181 (ср. также рнс. 102, с. 101). Теперь нам следует доказать только что приведенное утвер. ждение, что имеется прямая 1', инцидентная с прямыми 2, 3, 4,5 и отличная от примой 6', и что эта прямая' пересекает также Рис. !81. прямую 6.

Сначала примем первую часть утверждения за доказанную. Тогда мы покажем, что прямая Г инцидентна с прямой 6. Для этой цели нанесем на прямой 1 четыре точки и на прямых 2', 3', 4', 5', 6' по трн точки, т. е. всего девятнадцать точек, причем эти точки не должны совпадать с точками пересечения названных прямых. Согласно сказанному в предыдущем параграфе эти девятнадцать точек определяют поверхность третьего порядка Рз. Но эта поверхность гс имеет с прямой 1 четыре общие точки, а потому должна содержать эту прямую целиком. С каждой из прямых 2', 3', 4', 5', 6' поверхность также должна иметь четыре общие точки, именно выбранные три точки и отличную от них точку пересечения с прямой 1.

Таким образом по- гл. нь коифигээхции верхность Рз содержит также прямые 2', 3', 4', 5', 6'. Отсюда далее следует, что эта поверхность содержит и прямые 2, 3, 4, 5, 6, так как каждая нз этих прямых пересекается с четырьмя прямыми, лежащими на поверхности. Наконец, на том же основании поверхность Рз должна содержать и прямую 1'. Допустим теперь, что прямая Г ие иицидентна с прямой 6, и рассмотрим прямую й, которая„так же как прямая Ь', инцидентна с четырьмя прямыми 2, 3, 4, 6. Мы снова, так же как при построении прямой 1', исключаем случай, когда прямая л совпадает с прямой 5'. Прямая д не может совпасть с прямой Г, так как по условию прямая Г не инцидентиа с прямой 6. Прямая л есть одна из прямых, лежащих на поверхности Рь так как эта пря.

мая пересекается с четырьмя прямыми этой поверхности, именно 2, 3, 4, 6. Рассмотрим теперь четверку прямых д, 1', 5', 6'. Все эти прямые по построению пересекаются с тремя прямыми 2, 3, 4. Таким образом эта четверка гиперболоидальна. Мы утверждаем, что соответствующий гиперболоид целиком содержится в поверхности Рз. Это следует просто нз того, что каждая прямая, иицидентная с прямыми л, Г, Ь', 6', целиком лежит на поверхности Рз. Но совокупность таких прямых образует искомый ги.

перболоид. Можно легко доказать алгебраически, что поверхность третьего порядка, содержащая целиком поверхность второго порядка, должна непременно состоять из этой поверхности и плоскости. Пусть 6 = 0 и Н = 0 в уравнения поверхностей третьего и второго порядка соответственно; тогда многочлен третьей степени 6 должен иметь делителем миогочлен второй степени Н, а это воз. можно лишь в том случае, если 6 представляет произведение многочлена Н и некоторого линейного выражения.

Но то, что проведенная через девятнадцать точек поверхность Рз должна быть выродившейся, легко приводит к противоречию. Именно, так как среди прямых 2', 3', 4', 5', 6' никакие четыре не расположены гиперболоидально, то максимум три из них могли бы лежать на гиперболоиде, принадлежащем к поверхности Рь и минимум дне из иих должны были бы пркиадлежать другой составной части поверхности Ра — плоскости и, следовательно, должны быть иицидеитными, что противоречит нашему вострое. иию. Ход доказательства остается и существенных чертах иеизмен ным, еслк мы будем рассматривать исключенную выше возмож.

ность, а именно, что прямая 1' (2345) совпадает с прямой Ь' или прямая л 12346) совпадает с прямой 5'. В этом случае также можно сделать заключение, что гиперболоид, определяемый пря. мыми 2, 3, 4; должен лежать иа поверхности Рз. Однако пре.

дельный переход, позволяющий вывести этот случай вз общего, может быть оправдан только алгебраическим путем, з аь двоинои швстистопоиник шлвели 171 При- доказательстве последней ипцидентиости ( 1тб).- двойною шестисторониика мы пользовались фактом, который иитересеи сам по себе, что через эту конфигурацию всегда проходит поверхность третьего порядка Рз. Эту конфигурацию можно легко дополнить несколькими другими прямыми, которые точно также всегда лежат на поверхности Рз.

Рассмотрим, папример, плоскость, определяющую пнцидентиыми прямыми 1, 2', а также плоскость прямых 1' и 2 и обозначим через (12) линию пересе. чения этих плоскостей. Тогда эта прямая инцпдеитпа с четырьмя прямыми 1, 1', 2, 2', которые целиком лежат на воверхности Рз. Поэтому и прямая (12) лежит па поверхиости Р,. Всего имеется пятнадцать прямых, находящихся в таком же отношении к двойному шестистороииику, как прямая (12), которые поэтому все лежат яа поверхности Рз. Именно, из шести цифр можно образовать как раэ пятнадцать различных пар. Таким образом мы нашли всего 2 6+ 15 = 27 прямых, которые все лежат иа поверхности Рз. Между прямыми этой расширенной хопфигурацни имеют ме сто еще и другие пицидентиости.

Именно, можно доказать, что все те и только те прямые, обозначенвые нами двумя цифрами„ инцидентиы друг с другом, у которых обе цифры символа различны. Доказательство можно провести, основываясь на тех жв соображениях, которыми мы пользовались при доказательстве пицпдентиости прямых Г и 6; мы здесь только наметим доказательство. Из соображений симметрии достаточно будет доказать вицидентиость прямых (12) и (34).

Для доказательства рассмотрим три прямые 1, 2, (34). Эта тройка пересекается с прямыми 3' и 4', Если бы (12) пе было инцидептиое с (34), то существо. вала бы прямая а, которая пересекала бы четверку прямых 1, 2, 1', (34), и одна, обязательно отличная от а, прямая Ь, пересекающая прямые 1, 2, 2', (34). Если бы прямые а и Ь совпадали, то эта прямая пересекалась бы с четверкой прямых 1, 2, Г, 2', т. е. была бы тождествеина с прямой (12). И кроме того зта жа самая прямая пересекала бы прямую (34), что мы пе предпола» тали вначале.

Точно так же прямые а и Ь отличим от прямых 3' или 4', так как если бы, например, прямая а совпадала с прямой 3', то прямая 3' была бы иицидеитяа с прямой 1', вопреки нашему построению. Тогда прямые а и Ь точно так же, как прямые 3' и 4', лежали бы на поверхности Р и эти четыре прямые были бы расцоложеиы типерболоидально, так как опп все пицидептиы с тройкой прямых 1„2, (34).

Но мы уже доказали невоз важность того, чтобы поверхность Рз содержала гиперболоидалъпую четверху прямых. Отсюда следует, что прямая [12), действительно инцидентна с прямой (34) и по тем же причинам ив цпдеитиа с прямыми (35)', (36), (45), (56). А так как пря. мая (12) иицидептиа также с прямыми 1, 2, Гл 2', то эта пря.

172 гл пк конФигугхцни мая, а также и всякая другая прямая, обозначаемая двумя цифрами, нашей расширенной конфигурации инцидентны с десятью прямыми конфигурации. То же самое имеет место и для прямых, образующих двойной шестисторонник. Так, например,прямая 1 инцидентна с пятью прямыми 2' — 6' и с пятью прямыми (12), (13), (14), (15), (16). Поэтому схемой конфигурации 27 прямых поверхности Рз будет (135м 27м). Из соотношения 135 2 = 27 1О следует, что конфигурация содержит в точности 135 точек.

Характеристики

Список файлов книги