Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 38
Текст из файла (страница 38)
са с окружностью. Прн таком отображении точки окружности образуют «индикатрису касательных» к кривой. Так как радиус окружности всегда перпендикулярен к касательной в соответствующей точке окружности, то насательная к кривой всегда параллельна соответствующей нормали к индикатрисе, и ') Это утверждение не имеет места только дли примой; точно так же дла примой непригоден данный здесь способ. С более глубокой точки зрении случай й также может приобрести особенный характер. именно, если круг кривизны вмрождается в прямуиз нлн в точку, см, с. 180, з аь плоские кянвые обратно, касательная к инднкатрнсе параллельна соответствующей нормали к кривой.
Гауссово изображение приводит в соответствие каждой точке кривой единственную точку окружности, но, обратно, одной точке окружности обычно соответствует не одна, а несколько точек кривой, а именно все те точки, которые имеют параллельные н, в соответствии с принятым направлением движения по кривой, направленные в одну сторону касательные (Р, н Рз на рис. 184), Пусть теперь некоторая подвижная точка пробегает кривые, изображенные на рис. 183; в рассматриваемом месте в случаях П1 и 1У эта точка изменяет направление своего движения, а в случаях 1 и П сохраняет его.
Теперь рассмотрим поведение соответствующей точки на инднкатрнсе. Эта точка движется по окружности в одном направлении в случаях 1 и 1П и изменяет йаправленне движения в случаях П и !У. В самом деле, в случаях П и 1Ч в окрестности рассматриваемой точки кривой имеются параллельные н одинаково направленные касательные; в двух других случаях этого нет. Так как направление, в котором движется точка на иидикатрисе, указывает на изменение направления касательной к кривой, то мы можем следующим образом охарактеризовать четыре рода точек кривой.
1. Правильная точка: точка кривой и ее образ на инднкатрисе продолжают движение в прежнем направлении. П. Точка перегиба: точка кривой движется дальше в прежнем направлении, в то время как ее образ на янднкатрисе ме. няет направление движения. П1. Острие: точка кривой поворачивает обратно, а ее образ на нндикатрисе движется дальше в прежнем направлении. 1Ч. Клюв: точка кривой н ее образ на индикатрисе изменяют направление движения. Это деление не исчерпывает всех возможных случаев. Если даже ограничиться только такими дугами кривых, которые допускают простое аналитическое представление, то и здесь имеются еще следующие три возможности: двойные точки, в которых кривая пересекает сама себя, точки, в которых кривая внезапно обрывается, и, наконец, кривая может иметь изолированные точки, т.
е. такие точки, которые полностью отделены от всех остальных точек кривой (с. 200). Замечательно, что имеются и другие очень простые и наглядные случаи, например точки излома с углом, отличным от нуля, которые требуют до. вольно сложного аналитического исследования. Теперь мы переходим к введению понятия кривизны, чрезвычайно важного для всей теории кривых и поверхностей. Как мы увидим, это понятие тесно связано с гауссовым изображением с помощью касательных. Проведем в двух соседних Гл.
1ч. диФФеренциАльнАя Геометрия 178 -точках Р, и Р2 кривой касательные!1 и !2н нормали п1н аа„пусти М будет точкой пересечения обеих нормалей (рис. 18б). Очевидно, угол между обеими касательными равен углу между нор. малями: ~ (1112) = ~ (л!л2). Пусть теперь точка Р, кривой все ближе подходит к точке Р,; рассмотрим отношение этого угла к расстоянию между двумя взятыми точками кривой, р Это отношение, вообще говоря, стремится к некоторому пределу! р р +2 Р1Р2 Это предельное значение й называется кривизной кривой в точт 1! ке Рь й равно обратной величине отрезка г, в который переходят в пределе обе сливающиеся нор.
мали МР, и МР2. Это вытекает нз следующего преобразования, аналитический вывод которого мы опускаем: й= 1нп — = 1нп— (ща2) 5!П 112~122) р,р -рч Р1Р2 р р -рч Р~Р2 = Ит Р~Р2 . ! ! = Вш — =— р,р- о М) 'Р Р2 р,р,.+о М'1 Мы можем н другим путем прийти к величине г. Проведем окружность через точку Р, и две соседние точки на кривой. Если теперь мы заставим обе соседние точки стремиться к точ' ке Р, по кривой, то наша окружность будет стремиться к неко~ торому предельному положению. Как можно было ожидать из построения и как это подтверждает аналитическое исследова.
нне, предельное положение окружности, проведенной указанным образом через точку Р„есть та окружность, которая имеет цент. ром предельное положение точки М пересечения нормалей н, следовательно, имеет радиус г. Этот круг называется кругом кривизны кривой в точке Рь его центр — центром кривизны, а его радиус г — радиусом кривизны. Вследствие указанного по. строения обычно говорят, что круг кривизны имеет три сливаю~ щиеся общие точки с кривой.
Подобным же образом говорят, что касательная имеет с кривой две сливающиеся общие точки, Круг кривизны можно определить также и другим способом, Рассмотрим все окружности, проходящие через точку Р кривой ем. плоские кгивыа 179 "(рис. !86), касающиеся кривой в этой точке, с центрами, лежащими на соответствующей нормали кривой. Кривая разбивает плоскость в окрестности точки Р на две части, которые мы назовем сторонами дуги кривой.
Одни из рассматриваемых окружностей будут расположены в окрестности точки Р целиком по однусторону дуги кривой,другие— целиком по другую сторону. Круг кривизны, радиус которого обозначим через г, обладает вообще тем свойством, что он разделяет оба вида окружностей и именно так, что все окружности, радиусы которых больше г, расположены по одну сторону, а все окружности,радиусы которых меньше «,расположены по другую сторону кривой. Сам круг кривизны, как правило, по разные стороны от нормали расположен по разные стороны от кривой, т. е. он пересекает кривую в точке касания. Точки, в которых круг кривизны не пересекает кривой, точно так же как и особые точки, могут встречаться лишь в отдельных, исключительных местах кривой. Примеры таких точек дают четыре вершины эллипса (рис.
187). Из соображений симметрии ясно, что в этих точках не может быть пересечения. То же самое должно быть вообще во всех тех точках кривой, в которых кривая пересекается осью симметрии. То, что круг кривизны обычно пересекает кривуто, можно вывестн из первого способаполучения круга кривизны. Кривая„вообще говоря, пересекается с окружностью, которая проходит через какую-нибудь нз ее точек в этой точке. Следовательно, окружность, проходящая через три соседние точки кривой, переходит в первой точке со стороны А на сторону В, во второй точке — со стороны В на сторону А, в третьей точке — со стороны А на сторону В; когда трн точки сливаются, поведение окружности обычно не меняется, так что круг кривизны в точке соприкосновения в самом деле должен переходить с одной стороны кривой » ар~ т 'ь' ~) На том же самом оснований кривая ооычкч ке вересекаетск сЧ своей Касательной, Гй.
1у. днФФеРенцнАльнАя геометРня Как уже было упомянуто, кривизна находится в связи с нн» дикатрнсой касательных. Пусть точкам Р1 и Рз кривой соответ. ствуют точки Я1 и Яз на индикатрисе (рис. 188), Тогда имеем1 ~ (11(з) = ~ ФОЯА <Ым т. е. радиус кривизны есть предел отношения длины малой дуги кривой к ее изображению на индикатрнсе. Радиус кривизны для отдельных точек кривой может стать' бесконечным; тогда круг кривизны вырождается в пряму1о и, следовательно, совпадает с касательной.
Обычно в такой точке касательная пересекает кривую, и следовательно, мы имеем дело с точкой перегиба; однако бывают и исключительные случаи, когда кривизна обра« шается в нуль, но тем не менее кривая не пересекается 4 своей касательной; эти слу- чаи аналогичны поведению г круга кривизны в вершинах эллипса (см. примечание на с. 17б). Из отношения кривизны к нндикатрнсе касательных следует далее, что в случае Ряс. 188.
острия кривизна, как пра. вило,становится бесконечно большой, т. е. что в этих точках круг кривизны стягивается в точки соприкосновения. Для клюва нельзя высказать никаких общих утверждений. В связи с установленными нами понятиями возникает целый ряд важных вопросов. Так, например, напрашивается попытка определить кривую таким образом, чтобы кривизна являлась заданной функцией длины дуги кривой. Можно доказать аналитически, что внд кривой таким путем однозначно определяется, а с другой стороны, что л1обой произвольно заданной таким способом функции (с известными предположениями относнтель« но непрерывности) действительно соответствует некоторая кривая. Такой способ определения имеет то преимущество, что он не связан со специальной координатной системой.
Поэтому длину дуги и кривизну называют естественными параметрами кри« вой. Простейший случай — это тот, когда кривизна й всюду по« 1 стоянна, Это имеет место для круга радиуса — и, как следует из вышесказанного, только для него. В случае й = 0 мы получаем прямую; прямые и окружности суть таким образом единственные плоские кривые постоянной кривизны. 1В1 з ап пгостекнственные кштаые Далее, можно многими способами получить нз одной кривой другую. Так, например, совокупность центров кривизны даетновую кривую, которая называется эволютой первоначальной кривой.
Если, наоборот, исходить от этой новой кривой, то первоначальная кривая называется эвольвентой новой. Эвольвенты любой кривой можно всегда получить при помощи нитяной конструкции, если туго намотать кусок нити на кривую, закрепив один конец; тогда при разматывании другой конец нити опнсы. вает дугу эвольвенты, если при разматывании нить остается натянутой. Эвольвенты круга мы уже получали таким способом иа с. 14. Почему между эвольвентой и эволютой всегда существует такое своеобразное соотношение, мы увидим в $ 41.
5 27. Пространственные кривые Большинство рассмотрений, проведенных в предыдущем параграфе, можно перенести и на случай пространства. Касательная опять получается как предельное положение секущей при слиянии двух точек пересечения. Однако в противоположность тому, что имели для плоских кривых, в пространстве имеется бесчисленное множество перпендикуляров к касательной в точке касания. Эти перпендикуляры заполняют целую плоскость, именно нормальную плоскость к кривой в этой точке.
Теперь будем искать плоскость, которая наиболее близко подходит к кривой в рассматриваемой точке. С этой целью проведем плоскость через касательную в рассматриваемой точке и через соседнюю точку кривой и будем следить за изменением положения этой плоскости, если соседняя точка кривой будет приближаться к точке касания нашей касательной.. Предельное положение, к которому стремится при этом плоскость, и опреде. лнт искомую плоскость, называемую соприкасаюи1ейся плоскостью кривой в рассматриваемой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
