Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Это условие также и достаточно. Из теоремы Дюпена следует, что линиями кривизны на эллипсоиде являются кривые пересечения его с софокусными однополостными и двуполостными гиперболоидами (рис. 194). Определенная таким образом сеть кривых (рис. 195) имеет особенности в точках пересечения эллипсоида с фокальной гиперболой. В самом' деле, эти четыре точки пересечения являются точками округления эллипсоида. Линии кривизны на эллипсоиде располагаются вокруг точек округления, подобно тому каи на плоскости располагается си 199 гл. пл диееенвнциальнхя гвоматгия тема софокусных эллипсов и гипербол вокруг общих фокусов ,' рис. 7, с. 14).

Это видимое сходство не случайно; оно выраМсает внутреннее родство обоих семейств кривых. Именно, мы Можем построить линии кривизны на эллипсоиде прн помощи Мити, используя две точки округления, подобно тому как мы Пользовались фокусами и получали эллипсы на плоскости прн помоши нитяной конструкции, Четыре точки округления эллипсоида попарно днаметраль. но противоположны друг другу.

Поэтому можно двумя различными способами (рнс. 196) выбрать две точки округления так, что они не будут противоположны. В этих двух точках Р1 н Рс закрепим концы нити достаточной длины, а затем будем натягивать нить в точке Р, но так, чтобы эта точка лежала на эллнпсоиде. Тогда нить должна расположиться по всей своей длине на эллипсои. де. Различные положения, которые при этом может принять точка Р на эллипсоиде, распоРис. !94. лагаются на одной линии кривизны. В зависимости от выбора двух точек округления, изменяя длину нити, мы получаем одно из двух семейств линий кривизны. Таким образом, в то время как в софокусной системе конических сечений од но семейство кривых состоит из эллипсов, а другое из гн.

пербол, на эллипсоиде оба се мейства можно рассматривать как обобщенные эллипсы. Рис. 195. Кривые на эллипсонде, вдоль которых располагается цкть, соответствуют радиусам-векторам эллипса, т. е. прямым линиям, н так же, как прямые на плоскости, характеризуются тем свойством, что они дают кратчайшее расстояние иа поверхности между любыми двумя ее точками. Такие кривые называются геодезическими линиями поверхности, Ниже (с, 221 — 225) мы займемся теорией этих кривых, в вв. кеивизнл повегхностн Для 1'иперболических точек наряду с главными напрввлв пнями кривизны мы имеем еше два особых направлвпия, а' именно — асимптотические направления. Аналогнчно лиииям кривизны можно определить сеть таких кривых, которые и кикдой точке имеют асимптотическое направление, Такие кпмвыв называются асимптотическими линиями поверхности. В случае гиперболических б точек также может случиться, что обе главные кривизны равны.

Такие точки имеют извест. ное сходство с точкамн округления. Поверхности, состоящие $в только нз таких точек, называются минимальнымн поверх- Рис. 196. ностями. Они характеризуются еще и тем, что их асимптотические линии образуют ортогопвлк ную сеть. В то время как совокупность поверхностей, обладающих только точками округления, состоит лишь из шаров, класа минимальных поверхностей значительно шире. Так, минимальную поверхность можно получить, если взять любой формы замкнутую проволочную фигуру и опустить ее в мыльный раствор. Мыльная пленка, которая натягивается между проволокой, всегда имеет вид минимальной поверхности (рис. 219 †2, с. 221). Закон поверхностного натяжения, которому подчиняется мыльная пленка, состоит в том, что пленка стремится припять форму поверхности наименьшей площади.

В соответствии е Этим можно чисто математически охарактеризовать минимальиыв по. верхности как такие, которые имеют наименьшую площадь из всех поверхностей, ограниченных некоторой заданной замкнутой пространственной кривой, При этом замечательно, что этв ха« рактеристика, исходящая из общей протяженности некоторого куска поверхности, приводит к тем же поверхностям, кад и вышеуказанное свойство, которое касалось лишь ближайщей окрестности любой точки поверхности. Эту связь можно следующим образом сделать более наглядной.

Возьмем на некоторой заданной минимальной поверхности, ограниченной некоторой замкнутой кривой 5, произвольную, очень малую замкнутую кривую з. Рассмотрим теперь кусок минимальной поверхности, расположенный внутри з. Мы утверждаем, что этот кусок имеет меньшую площадь„чем все другие куски поверхностей, которые могут быть заключены внутри з. В противном случае мы могли бы изменить кусок поверхности„находящийся внутри г, так, чтобы при этом площадь этого куска уменьшилась. Но тогда и об. 1цвп площадь поверхпости, заключенной внутри 8, должна была 192 ГЛ. Ис ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ бы уменьшиться, что противоречит определению минимальной поверхности.

Вслн теперь мы будем стягивать малую кривую з к какой-нибудь точке минимальной поверхности, то можно ожидать, что путем предельного перехода мы придем к таким свойствам минимальной поверхности, которыми она обладает лишь в окрестности своих точек. Всякая задача определения кривых или поверхностей при посредстве какого-нибудь минимального свойства называется вариационной задачей.

Рассмотрение, аналогичное тому, которое мы провели для минимальных поверхностей, показывает также и для всякой другой вариационной задачи, что минимальное свойство может быть заменено некоторым свойством ближайшей окрестности точки. Выполнение такого рода предельных переходов составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом вариационное исчисление и дифференциальная геометрия идут противоположными путямн.

В то время как дифференциальная геометрия кладет в основу свойства окрестностей и, исходя из них, делает определенные утверждения относительно общего поведения какого-нибудь геометрическогообраза, в вариационном исчислении получают свойства ближайшей окрестности из свойств, которыми обладает данный образ в целом. Вариационное исчисление имеет основное значение для теоретической физики. Все встречающиеся в природе состояния равновесия и движения характеризуются минимальными свойствами. При помощи мыльной пленки можно получать также и такие минимальные поверхности, которые ограничены более чем одной кривой. Так, например, мож- но исходить из двух кольцеобразных замкнутых проволок, которые кладутся в мыльный раствор и затем, после извлечения из раствора, оттягиваются одна от другой так, что при этом оба кольца сохраняют одну и ту же общую ось.

Тогда между обоими кольцами натягивается поверхность, имеющая вид, сходный спй дом гиперболоида (рис. 197 и 220, с. 221), причем из соображений симметрии можно ожидать, что эта поверхность есть по- Рис. 197. верхность вращения. Вычисление под- тверждает это и показывает, что меридианами этой минимальной поверхности вращения служат ценные линии, т. е. линии, имеющие форму, которую принимает под влиянием силы тяжести цепь, подвешенная в двух своих тонках; по этой причине поверхность эта называется катеноидом„ 5 28. КРИВИЗНЛ ПОВЕРХНОСТИ 193 Свойства точек округления и точек минимальных поверхностей соединяют в себе те параболические точки, в которых одновременно обращаются в нуль обе главные кривизны.

В такой точке обращаются в нуль кривизны всех нормальных сечений. Очевидно, все точки плоскости суть точки такого рода, и вместе с тем плоскости представляют собой единственные поверхности, стоящие только из параболических точек округления. Пример Ю такой изолированной параболической точки округления можно еГ легко построить по аналогии с обыкновенным перевалом (рис. 190, с. 186), если от перевала отходят не два, а три хребта и три склона, так что поверхность при повороте на угол 2п/3 совпадает сама с собой (рис. 198). Очевидно, что в этом случае против каждого хребта расположен склон, Поэтому всякое нормальное сечение имеет здесь точку перегиба и, следовательно, нулевую кривизну.

Поверхность по- Рис. 198. добного рода называется «обезьяньим седлом». Это название вызвано тем, что человек дли верховой езды нуждается только в двух склонах седла, в то время как обезьяне нужен еще третий склон для хвоста. Различный вид поверхностей в эллиптических и гиперболических точках может быть охарактеризован еще другим способом, который оправдывает названия «эллиптический» и «гиперболический», Проведем на небольшом расстоянии от касательной плоскости параллельную ей плоскость и рассмотрим пересечение этой плоскости с поверхностью.

В эллиптической точке поверхности сечение будет получаться лишь в том случае, когда эта параллельная плоскость расположена по определенную сторону от касательной плоскости. Сечение будет стягиваться к точке касания, когда расстояние между плоскостями будет стремиться к нулю. Если мы заставим стремиться к нулю это расстояние„ но одновременно соответствующим образом будем увеличивать сечение во все большем масштабе, то увидим, что увеличенная кривая пересечения неограниченно приближается к некоторому эллипсу, расположенному в касательной плоскости, имеющему центр в точке касания, осями которого служат направления кривизн. При этом длины осей относятся, как корень квадратный из отношения главных радиусов кривизны, 7 Д. Гнньберт, С.

Кнн-фосеен ГЛ. 1Ч. ДИФФЕРЕНПИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 194 Если мы рассмотрим теперь плоскости, параллельные касательной плоскости в гиперболической точке, расположенные с одной определенной стороны ее, то получим при аналогичном предельном переходе гиперболу, у которой длины осей и их направления находятся в определенной связи с линиями кривизны и главными кривизнами, так же как и в случае эллиптической точки 1рис. 199). Если мы сделаем то же самое с параллельными плоскостями, расположенными с другой стороны касательной плоскости, то получим вторую гиперболу, имеющую те же Рис.

Характеристики

Список файлов книги