Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

В самом деле, поверхность будет развертывающейся тогда и только тогда, когда соседние образующие пересекаются. Само собой напрашивающееся обобщение рассуждений, которые для каждой развертывающейся поверхности привели к определению расположенной на Б этой поверхности кривой — ребра возврата, позволяет определить для всякой иной линейчатой поверхности соответствующую кривую — кгорловую» или кстрик. / ционную линию». А именно, выберем из семейства прямых, расположенных на поверхности, две Рис, 2!7.

образующие а и Ь и проведем общий перпендикуляр к ннм (рис. 2!7). Как известно, этот перпендикуляр представляет кратчайшее расстояние между прямыми а и Ь. Пусть основанием этого перпендикуляра на прямой а будет точка А, Если выбирать прямую Ь пучка все ближе к а, то точка А стремится к некоторому предельному положению, которое называется горловой 5 зе.

РАзвеРтыпАюшиеся повеРхности 909 точкой') прямой а. Оно соответствует точке, в которой образующая развертывающейся поверхности пересекается с соседней образующей и с ребром возврата. Горловая линия есть кривая, описываемая горловой точкой, когда прямая а пробегает все образующие поверхности. Было бы ошибочным заключить, что горловая линия ортогональна ко всем образующим. Ведь если а, Ь, с — три соседние образующие (рис. 217), то, вообще говоря, основание общего перпендику.

ляра к Ь и с на прямой Ь отлично от основания общего перпендикуляра к Ь и а. Поэтому линия, соединяющая горловые точки, не имеет непременно направления, совпадающего с направлением общего перпендикуляра, а потому и не должна обяза. тельно ортогонально пересекаться с образующими. Так, например, горловой линией однополостиого гиперболоида вращения служит окружность, которая, очевидно, ни в одной точке не перпендикулярна к образующим гиперболоида, Линейчатые поверхности представляют многообразие прямых с одним параметром, поэтому они имеют аналогию с пространственными кривыми, которые представляют многообразие точек с одним параметром. Так, для линейчатых поверхностей можно ввести понятие, аналогичное понятию кривизны пространственных кривых, а именно так называемое закручивание'), Если мы разделим угол между двумя образующими на их кратчайшее расстояние, то закручиванием называют предел, к которому стремится это отношение при слиянии образующих.

Закручивание характеризует изменение положения касательной плоскости вдоль прямых, образующнх линейчатую поверхность. Очевидно, касательная плоскость при движении точки касания вдоль такой прямой может вращаться только вокруг этой прямой, так как она должна всегда содержать ее. Как можно показать аналитически, положение касательной плоскости в точке Р образующей целиком определяется касательной плоскостью в горловой точке А прямой а, расстоянием РА и закручиванием линейчатой поверхности в а.

Распределение касательных плоскостей можно описать следующим образом: по мере того как точка Р прямой а, начиная от точки А, непрерывно удаляется в бесконечность в одном и том же направлении, угол, образуемый касательной плоскостью в точке Р с касательной плоскостью в точке А, непрерывно растет, стремись к прямому углу. Касательные плоскости, с другой стороны, от точки А ведут себя соответственно и симметрично по отношению к ') Или точкой стрикпии, т. е, точкой сжатия.— Прим. ред. ') В русской литературе чаще употребляется величина, обратная закру.

чиваиию 1взятая с соответствующим знаком), которая называется парамет. ром распределения. — Прша ред, гл, !ч. ЕПФФегенциАльная геометРНЕ горловой точке А. Если две точки Р и Я прямой лежат по обе стороны от точки А на равном расстоянии, то касательная плоскость в точке А делит пополам угол между касательными плоскостями, проведенными в точках Р и Я. Отсюда следует: если две линейчатые поверхности имеют одинаковое закручивание вдоль одной из образующих, то их можно так наложить одна на другую, что обе эти образующие совпадают друг с другом и кроме того поверхности всюду касаются друг друга вдоль этих образующих.

При этом следует только позаботиться о том, чтобы горловые точки и касательные плоскости з них налагались, тогда возможно вращать одну поверхность по отношению к другой иа два прямых угла так, что горловины и касательные плоскости в них остаются совпадающими. Это обстоятельство имеет большое значение для кинематики ($43). Развертывающиеся поверхности можно характеризовать различным способом по их закручиванию. Именно, очевидно, что цилиндры тождественны с теми поверхностями, у которых закручивание равно нулю, ибо соседние образующие образуют друг с другом угол, равный Рес. 2!8. нулю, Напротив, конусы и поверхности образуемые касательными к пространственным кривым, имеют бесконечное закручивание, ибо соседние образующие у этих поверхностей находятся друг от друга иа расстоянии, равном нулю.

Сферическое изображение развертывающихся поверхностей мы уже определили. Для линейчатых поверхностей с конечным закручиванием сферическое изображение оказывается весьма простым, Нормали во всех точках прямой, расположенной на линейчатой поверхности, параллельны определенной плоскости, именно нормальной плоскости этой прямой. Поэтому сферическое изображение этой прямой во всяком случае представляет дугу большого круга. Нормаль непрерывно вращается на прямой угол каждый раз, когда основание ее, начиная от горловины, удаляется в обе стороны по прямой в бесконечность.

Таким образом сферическое изображение прямой есть полуокружность. Обеим концевым точкам полуокружности соответствуют бесконечно удаленные точки прямой, а сферическое изображение горловой точки делит пополам полуокружность. В заключение построим одну, особенно простую линейчатую поверхность постоянного закручивания (рнс. 218).

Естественно % и Рх1иГгтьпыющи ся поигехности опять выбрать за орловую лнпшо прямую, пе)шндпн1ля)н1ую ко всем образуюшим поверхности. т!усть г) есть посте':ниос за кручиваппе нашей поверхности, а н Ь-- -,."с образующие, рас. положенные под углом сс друг к друзу и нем кающие .орло.

вую прямую в точках А и В. Тогда имеет место соотношение а=АВ. г' Отсюда следует, что поверхность переходит сама в себя, если завинчивать ее вокруг горловой прямой, как вокруг осн, на один винтовой ход, равный и'. Вследствие такого свойства эту поверхность называют винтовой поверхностью. Винтовую по. верхиость наиболее общего вида мо:ьно получить, если завинчивать произвольную пространственную кривую равномерно вокруг оси, заставляя ее принимать всевозмо нные положения.

Таким образом наша специальная лияеичатая винтовая поверх. ность получается в том случае, если выорать в качестве обра. зуюшей кривой прямую, пересекаюшуо ось под прямым углом. Эта поверхность называется винтовой поверхностью в узком смысле слова, Аналитическое рассмотрение показывает, гто винтовая поверхность представляет минимальну.о поверхность (рис. 219). Былие мы уже приводили Рис. 220. Рис. 2нь )с. 192) пример минимальной поверхности, именно катеноид (рис, 220).

Обе зтн поверхности тесно связаны одна с другой, Винтовую поверхность можно ну~ем изгибания превратить в катепоид. При этом пеобходпмо винтовую поверхность налагать па поверхность вращения бесконечное число раз, подобно тому как мы получаем круговой цилиндр из плоскости. Прн этом винтовая ось должна наложиться на самую малую параллель поверх- гл. ис диван аицилльиля гномнтгия ности, а прямые лииейчатой поверхности переходят в меридианы ').

Ниже мы рассмотрим винтовые поверхиости с более общей точки зрения и установим их связь с поверхностями вращеиия. 5 31. Кручение пространственных кривых Теория развертывающихся поверхностей дала нам способ так изменять пространственные кривые, чтобы длина и кривизиа дуги сохранялись неизменными, а изменялось бы лишь кручение. В частности, путем закручивания можно всякую простраиствеииую кривую 1 превратить в плоскую кривую з, причем вид кривой з целиком определяется кривой 1; в самом деле, иа кривой з кривизна определяется как фуикция длины дуги, и отсюда в соответствии со сказанным в $26 вид кривой я определяется однозначно.

Оказывается, что между кривыми з и 1 существует замечательная связь. Теория геодезической кривизны — воиятие, с которым мы ближе ознакомимся позже,— дает простое неравенство, которое Ряс, 221 мы используем в дальнейшем (рис. 221,а, б). Пусть кривая 1 лежит иа развертывающейся поверхности, и мы переводим эту кривую в плоскую кривую 1' таким образом, что развертываем нашу поверхность иа плоскость; тогда кривизна А' кривой никогда не превышает, а вообще меньше, чем кривизна й в соответствующих точках кривой й Пусть а есть угол, образуемый соприкасающейся плоскостью кривой ) с соответствующей касательиой плоскостью развертывающейся поверхности; тогда имеет место соотношение Й'=/гсоза.

Характеристики

Список файлов книги