Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Можно было бы думать, что это свойство определяет шар однозначно. В действительности же имеется много других выпуклых замкнутых и частично совершенно свободных от особенностей поверхностей, обладающих постоянной шириной, которые, следовательно, также можно вращать произвольно между двумя ') См, подстрочиое примечание иа с. 18.
— Прил. ред. % 22. ОЛИННАДЦАТЬ СВОЙСТВ П1ЯРА 21Г параллельными пластинками, причем эти пластинки будут все время касаться поверхностей. Одна из таких поверхностей изо. бражена на рис. 228 в двух различных положениях. Понятие постоянной ширины можно перенести также на кривые, а именно: плоской выпуклой замкнутой кривой приписывают это свойство в том случае, если две параллельные касательные к ней всегда имеют одинаковое расстояние. Окружность Рис.
228. представляет одну' нз кривых подобного рода, но отн1одь не единственную. Из двух дуг кривой, на которые выпуклая замкнутая кривая постоянной ширины разбивается в точках касания двумя параллельными касательными, одну можно задать произвольно. Тогда другая может быть всегда определена однозначно так, чтооы получающаяся замкнутая кривая имела посзоянную ширину. В этом легко уоеднться непосредственно: касательные к заданной дуге определяют однозначно касательные к другой ду1е; следовательно, необходимо к каждой нз заданных касательных на определенном расстояния и с определенной стороны проводить параллели, Тогда вторая дуга получается просто как огнба1о1цая этого семейства прямых. Тела постоянной ширины, очевидно, характеризу1отся тем, что приорто1о15а5И15о11 проектировании все их контуры представляют кривые топ же самой посте иной ширины, Можно показать, что вес кривые од1паковой постоянной ширины имеют также одинаковую длину.
Так как под охватом тела понимают длину какого-нибудь пз ко1ггуров тела при ортогональном проектировании, то пз:1той теоремы следует, что тела постоянной И1ирипы имюот также ПОстОяиньш Охват. Вследствие этого свойства всякую поверхность постоянной ширины можно произвольпь:м образом вращать внутри охватывающего ее бумажного цилиндра, не растягивая н пе разрывая цилиндра. Минковский доказал, 11то п, обратно„все выпуклые поверхности постоянного охвата имеют также постоянную ширину, так Гл.
1ч, диФФепенциАлье!Ая ГеометРия 2!В что оба этих свойства поверхности взаимно обусловливают друг друга '). 4. Шар состоит из одних тол ь ко точек окру г ° лени я. Мы уже упомянули об этом свойстве раньше и одновременно указали на то, что помимо шара этим свойством обладает также плоскость (с. 189). То, что все точки шара суть точки округления, следует, между прочим, и из того, что все плоские сечения шара суть круги.
Если перемещать плоскость, пресекающую шар, параллельно самой себе до тех пор, пока сечение ее с шаром не обратится в некоторую точку Р так, что плоскость станет касательной, то легко убедиться, что индикатриса Дюпена для точки Р есть окружность (с. !94), следова. тельно, точка Р есть точка округления. 5. Шар не имеет фокальных поверхностей, Выше мы видели (с. !87 и сл,), что центры кривизны всех нормальных сечений в какой-нибудь точке поверхности пробегают вообще некоторый отрезок нормали к поверхности в данной точке. Концами этого отрезка служат центры кривизны главных сечений. Обе эти точки называются фокальными точками нормали. Обе фокальные точки совпадают в том и только в том случае, если исходить из точки округления. Одна из точек удаляется в бесконечность тогда и только тогда, когда гауссова кривизна соответствующей точки поверхности равна нулю. Когда нормаль пробегает все точки куска поверхности, то обе фокальные точки вообще описывают две поверхности, которые вместе называются фокальной поверхностью нашего куска поверхности.
В случае шара фокальные поверхности состоят только из одной точки — центра шара, так как все фокальные точки совпадают с центром шара. Шар представляет собой единственную поверхность, для которой часть фокальной поверхности вырождается в точку. Теперь постараемся найти те поверхности, для которых обе части фокальиой поверхности вырождаются в кривые.
Оказывается, что единственными поверхностями такого рода являются так называемые циклнды Дюпена, названные так по имени открывшего их ученого (рис, 229). Эти поверхности можно определить так же, как огибающие всех шаров, касающихся трех определенных шаров, Далее, циклиды суть единственные поверхности, все линии кривизны которых представляют окружности.
На пяти гипсовых моделях, фотографии которых даны на рис. 229, нанесены некоторые линии кри. ') Если мы потребуем, чтобы все контуры тела сокрапяли постоянную площадь вместо постоянного охвата, то мы придем к другому классу по. верхиостей, к так называемым «поверхностям постоянного просветаа, Шар является такой поверхностью, однако щар — отнюдь не едкиствеикая такая поверхеость. а з одинпхдпхть свопсгг, шага визны Впрочем, цпклпды соприкасаютсяскаждгк ~яз огибаемых шаров чо ляпин кривизны и все липни кривизны цпклнд получаются таким способом Примером цпклпды может слуи пть уже известный нам тор. Его фокальпая поверхность состоит пз оси Ркс 229.
вращения н окру>киости, описываемой центром образующего круга при вращении. Далее, конус вращения п пплппдр вращения суть циклкды; одной частью фокальпой поверхности является ось вращения, другая часть лежит в бесконечности. У других циклид фокальная поверхность состоит из двух конических сечений, в общем случае из эллипса н гиперболы, рас- гл щ лиоверннцилльнля гномнтрия 22О положенных по отношению друг к другу так, как расположены фокальные кривые поверхности второго порядка '). Если мы теперь потребуем, чтобы только одна полость фокальной поверхности вырождалась в кривую, то соответствую. щий класс поверхностей будет гораздо шире.
Все поверхности вращения обладают этим свойством; одна часть их фокальной поверхности всегда представляет ось вращения. Наиболее общие поверхности этого рода суть поверхности каналов. Это — огибающие поверхности семейства шаров переменного радиуса, центры которых лежат на некоторой кривой. Кривая эта всегда является одной частью фокальной поверхности.
Если вместоэтой кривой взять прямую, то получим поверхности вращения, кото. рые, следовательно, представляют частный случай поверхностей каналов. Точно так же как в случае поверхностей вращения, и у других поверхностей каналов одно семейство линий кривизны состоит из окружностей; именно это суть предельные положения кругов, получающихся при пересечении соседних шаров.
У всех других кривых поверхностей фокальная поверхность состоит из двух полостей. Можно показать, что всякая нормаль в своих фокальных точках не пересекает этих полостей поверхности, а касается их. Таким образом, если известны обе полости фокальной поверхности для некоторой поверхности, то нормали можно определить как общие касательные этих двух частей. Возникает вопрос, как далеко можно пойти в смысле обращения этих отношений, Мы будем исходить нз любых двух кусков поверхностей и рассмотрим семейство 5 всех прямых, касаюшихся обоих кусков поверхности. Спрашивается, существует ли поверхность, нормали которой состоят нз семейства 8, или, иначе говоря, не служат ли данные два куска поверхности фокальной поверхности для какой-нибудь поверхности.
Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно одно едииствен. ное условие: в обеих точках, в которых всякая прямая семей. ства 5 касается обеих поверхностей, касательные плоскости к обеим поверхностям должны быть перпендикулярны друг к другу. Пример пар поверхностей подобного рода представляет система софокусных поверхностей второго порядка, Именно, В Изображенные на рис. 229,а, б поверхности получаются из тора прн помощи инверсии в пространстве. При этом центр инверсии лежит в случае поверхности 229, б на торе, а в случае поверхности 229, а — не на торе.
По. верхностн рис. 229, г, г получаются при помощи пространственной инверсии нз конуса вращения, рис. 229,г соответствует случаю, хстда центр инверсии лежит на поверхности. Рис. 229, д представляет поверхность, получающуюся при помощи инверсии нз хрутового цилиндра; центр инверсии не лежит на цоверхностн цилиндра. Ф м. ОдиннАдцАть сВОйстВ ШАРА 221 можно показать, что любые две неодноименные софокусные поверхности второго порядка всегда удовлетворяют нашему условию. 6. Все геодезические линии поверхности ш ар а суть замкнутые кривые. Геодезические линии поверхности представляют обобщение прямых линий на плоскости.
Так же как прямые, они обладают несколькими важными свойствами, которые выделяют их нз всех других кривых на поверхности; поэтому их можно определить различными способами. Здесь мы приведем три определения: как кратчайших линий, как фронтальных линий н как прямейших линий. Первое свойство указывает, что всякая достаточно малая дуга геодезической линии представляет кратчайшую линию на поверхности среди всех линий, соединяющих концы этой дуги и могущих быть проведенными на поверхности. Отсюда следует, что при изгибании поверхности геодезические линии все время остаются геодезическими, Поэтому геодезические линии являются основными линиями для определения внутренних свойств поверхности (с. 196), н при помощи вычерчивания геодезических линий и измерения нх длины можно определить все внутренние свойства воверхностн (например, гауссову кривизну); это соответствует тому факту, что геометрию на плоскости можно целиком определить при помощи вычерчивания прямых и измерения отрезков, Точно так же как на плоскости через две точки проходит одна и только одна прямая, через две не слишком удаленные точки поверхности можно всегда провести одну и только одну дугу геодезической линии.
Очевидно, эту дугу можно получить, если между обеимн точками на поверхности натянуть нить '). Второе свойство геодезических линий, состоящее в том, что они являются «фронтальными», также относится к внутренней геометрии поверхности. Именно, можно определить геодезические линии требованием, чтобы бесконечно малая дуга кривой АВ на поверхности двигалась всегда «прямо». Прн этом требуется, чтобы пути точек А и В всегда имели равную длину н были всегда перпендикулярны к АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
