Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Это есть семейство движений с двумя параметрами; других же движений, переводящих круговой цилиндр в самого себя, не существует. При помощи одного из таких движений можно любую точку кругового цилиндра перевести в любую другую. Напротив, направления нельзя отображать произвольно, так как образующие цилиндра при этих движениях всегда переходят опять в об. разующие. Для поверхностей с семейством движений с одним параметром хорошим примером служат поверхности вращения. Эти Гл. ИА диФФнРанциАльнАя ГаомвтРия поверхности при всехвращенияхвокругоси и (если исключить' шары, плоскости и круговые цилиндры) только при этих дви» жениях переходят в самих себя.

Таким образом каждая точка. может быть переведена в произвольную точку параллели, и этим вполне определяется отображение. Однако поверхности вращения отнюдь не исчерпывают совокупности всех поверхностей, Фбладающих семейством движений с одним параметром. Класс поверхностей, характеризую шихся этим свойством, состоит яз винтовых поверхностей; этот класс поверхностей охватывает поверхности вращения, с одной стороны, и цилиндры — с другой, как предельные случаи.

Как уже было указано на с. 211, всякую винтовую поверхность можно получить следующим образом; возьмем произвольную пространственную кривую и будем вращать ее с произвольной по. стоянной угловой скоростью вокруг произвольной прямой и кроме того придадим ей переносное движение с постоянной скоростью вдоль этой прямой. Из определения следует, что винто» вые поверхности обладают семейством движений с одним параметром, а именно тем семейством движений, которое позволяет получить эти поверхности из пространственной кривой. Упомянутые уже предельные случаи получаются в том случае, когда или угловая скорость или скорость переносного движения равны нулю.

В первом случае винтовое движение превращается в переносное и пространственная кривая описывает цилиндр, во втором случае получается вращение и пространственная кривая образует поверхность вращения '). Всякая точка образующей кривой описывает (если исключить предельные случаи) винтовую линию, Таким образом семейство движений винтовой поверхности с одним параметром переводит всякую точку в произвольную точку соответствующей винтовой линии; в предельных случаях винтовая линия переходит в образующие цилиндра нли в параллели поверхности вращения.

ф 33. Изгибание поверхностей на себя Обобщим теперь вопрос, возникший в связи с одиннадцатым свойством шара. Рассмотрйм поверхности, которые вместо движений допускают произвольные изгибания на себя. Вполне гиб ') То, что кроме винтовых поверхностей ве существует других поверхностей с одмепараметрнческим семейством движений, следует иа того, что движения поверхности по самой себе образуют группу. Однако винтовые движения вокруг постоянной осн с постоянным шагом, если причислить к этим движениям также н вращение вокруг оси и переносные движения вдоль оси в качестве предельных случаев, образуют наиболее общее одиопарамет» рические труним движений пространства. э 33.

Нзгиалние повеэхностеи нл сеБя кий, но нерастяжимый кусок оловянной жести, который может быть наложен в каком-нибудь месте на модель подобной по. верхности, должен соответствующим образом перемещаться по модели; при этом он должен изменять свою форму, но не испы тывать разрывов и все время плотно соприкасаться с поверхностью. В то время как подвижность поверхности по самой себе за. висит от положения поверхности в пространстве, изгибаемость поверхности в себе представляет внутреннее свойство поверхио~ сти, которое не может исчезнуть нли появиться при изгибании поверхности. Так как движения представляют частный случай изгибаний, .то среди тех поверхностей, которые мы сейчас ищем, во всяком случае должны встретиться поверхности, перечисленные нами в предыдущем параграфе Оказывается, что все эти поверхности и их изгибания уже дают самый общий случай поверхностей, обладающих семейством изгибаний иа себя; таким образом при обобщении постановки вопроса мы ие получаем существенно нового класса поверхностей.

Но установленные выше типы поверхностей получают теперь нное значение. Так, очевидно, ци. линдры следует рассматривать как не имеющие существенного отличия от плоскостей,'так как плоскость может быть изгибаема в любой цилиндр. Точнв так же второй предельный случай винтовых поверхностей, случай поверхности вращения, теряет свой особый характер, Йменио, всегда можно кусок произвольной винтовой поверхности путем изгибания превратить в кусок поверхности вращения. Для этого достаточно придать какой-нибудь из винтовых линий, проходящих на поверхности, путем изгибания ферму круга, который, конечно, должен обходить поверхность бесчисленное количество раэ, так как винтовая линия имеет бесконечную длину.

При этом все остальные винтовые линии сами собой принимают также вид окружностей и все эти окружности имеют одну и ту же ось, так что получаю. щаяся поверхность в самом деле есть поверхнесть вращения, параллели которой возникают нз винтовых линий начальных поверхностей. Пример, подтверждающий это положение, представляет описанное на с. 211 наложение геликоида на катенеид, Если отказаться от рассмотрения вопроса с аналитической точки зрения, то легко сделать наглядным то, что поверхности, обладающие семейством изгибаний с Одним параметром, всегда могут быть превращены в винтовые или в поверхности враще. ния, и то, что прн этом винтовые линни и параллели соответ.

ствуют друг другу. Через всякую точку куска подобной поверхности должна проходить кривая, представляющая совокупность всех точек, изо бражающих данную точку, когда мы осуществляем изгибания гл. ип диеевгвнциАпьихя гвомвтэия нашего семейства, Следовательно, кусои поверхности покрывается целиком и непрерывно определенным семейством кривых, которые прн рассматриваемых изгибаниях переходят сами в себя. Если выбрать две произвольные кривые нз этого пучка, то все точки одной кривой должны находиться на одинаковом расстоянии по геодезическим от другой кривой, так как это расстояние при изгибании не изменяется.

Отсюда следует, что всякая геодезическая линия, перпендикулярная к какой-нибудь кривой семейства, перпендикулярна и к остальным кривым; в самом деле, кратчайшее расстояние точки поверхности от кривой, проведенной на поверхности, определяется на поверхности геодезической линией, проходящей через данную точку и перпендикулярной к кривой. Таким образом иа рассматриваемых поверхностях всегда имеется ортогональная сеть кривых, из которых одно семейство есть только что описанное семейство, а другое состоит из геодезических линий. Вследствие этого вдоль каждой кривой первого семейства гауссова кривизна должна быть постоянной, так как она остается неизменной при изгибании, н всякая точка кривой семейства при рассматриваемых изгибаниях должна переходить в любую другую точку той же кривой.

Следовательно, чтобы описать распределение значений гауссовой кривизны на нашей поверхности, достаточно задать эту кривизну вдоль геодезической линии второго семейства как функцию длины дуги. Легко теперь построить поверхности вращения, для которых гауссова кривизна представляет наперед заданную функцию длины дуги меридиана. Так как меридианы поверхности вращения суть геодезические линии, пересекающие параллели ортогональио, то понятно (что легко проверить вычислением), что заданный кусок поверхности можно изгибанием превратить во все эти поверхности вращения; построенная нами ортогональная сеть на поверхности при этом превратится в сеть меридианов н параллелей.

На винтовых поверхностях. очевидно, винтовые линии обладают таким же свойством, как параллели поверхностей вращения, Они опять-таки представляют траектории отображений по. верхностн на себя с сохранением длин. Таким образом вообще, если винтовая поверхность может быть изгибанием превращена в поверхность вращения, то винтовые линии н параллели необходимо соответствуют друг другу. Вычисление показывает, что из всякой винтовой поверхности можно путем изгибания получить другое семейство'винтовых поверхностей с двумя параметрами и семейство поверхностей вра щения с одним параметром.

Рассмотрим теперь поверхности, обладающие семейством изгибаний с двумя или многими параметрами. То, что семейство изгибаний обладает по крайней мере двумя параметрами,,рав- % м. эллнптичпскдя ГРОметРия иозначно с тем, что всякая точка поверхности может быть переведена во всякую соседнйю точку. Поэтому гауссова кривизна этих поверхностей должна быть постоянной. Все поверхности с постоянной положительной гауссовой кривизной (если ограничиться достаточно малыми кусками) могут быть развернуты на шар (с. 206).

Как и этот последний, они обладают, следовательно, семейством изгибаний на себя не только с двумя параметрамн, но даже с тремя параметрами. То же самое имеет место для поверхностей с гауссовой кривизной, равной нулю, так как эти поверхности могут быть развернуты на плоскость. Можно аналитически доказать, что н поверхности с постоянной отрицательной кривизной обладают одинаковым многообразием изгибаний. Таким образом все поверхности с постоянной гауссовой кри.

визной имеют одно общее с плоскостью важное внутреннее свойство, которое мы в дальнейшем исследуем более подробно. Можно так построить геометрию на плоскости, что ее основные и наиболее общие положения будут иметь место не только на плоскости, но и на всех поверхностях с постоянной кривизной и что только в более тонких деталях этого построения получится различие между плоскостями н поверхностямн с постоянной положительной или отрицательной гауссовой кривизной; тогда геомстрия разделится иа евклидову и на две «неевклидовы» геометрии ').

Характеристики

Список файлов книги