Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Мы уже, упоминали, что сумма углов треугольника в гиперболической плоскости всегда меньше и. На нашей модели этого нельзя заметить, так как гиперболические углы отличны от евклидовых. Поэтому в следующем параграфе мы рассмотрим другую модель гиперболической плоскости, построенную из модели, рассмотренной до снх пор; в этой новой модели гиперболические углы будут изображаться без искажений. Для этой. гл. |ч. диееаианциальнля гаоматиня цели нам придется исходить из простого учения элементарной геометрии — учения о стереографической проекции н о преобра зованиях, сохраняющих окружности, й 36.
Стереографпческая проекция н преобразования, сохраняющие окружности. Модель Пуанкаре плоскости'Лобачевского Пусть шар лежит на горизонтальной плоскости (рис. 239). Из верхнего полюса в) шара будем проецировать точки поверх. ности шара на эту плоскость. Получающееся таким образом Рис. 2Ж отображение поверхности шара на плоскость (Р'4.Р, рис.239) называется стереографической проекцией. При этом вся плоскость'будет отображена на всю поверхность шара, за исключением точки Ф.
Плоскость проекции параллельна касательной плоскости шара в точке У.Далее, н если р' есть касательная плон скость к шару в точке Р' (рис. 240), то вследствие всесторонней симметрии шара обе касательные плоскости и и р' образуют равные углы с хордой ИР', сое. диняюшей точки касания, а ли. ння пересечения плоскостей и и Рис. 240. р' перпендикулярна к )тР. Так как плоскость и параллельна плоскости проекции, то и плоскость проекции образует с лучом РР' такой же угол, как плоскость р', н пересекает плоскость р . по прямой, перпендикулярной к РР'. Отсюда вытекают некото- рые наглядные свойства стереографической проекции.
Пусть э 36. СтеРеОГРАФическия пРоекция сначала т' есть касательная к шару в точке Р' (рис. 241); если т есть проекция касательной т', то т и т' образуют одинаковые углы с прямой РР'. В самом деле, мы получаем прямую т как пересечение плоскости проекции с плоскостью, проходящей Рис. 241. через т' и ИР', но если некоторая плоскость е, проходящая через РР', пересекает по прямым т и т' (рис. 242) две пло. скости р и р', образующие с прямой РР' одинаковые углы и пересекающиеся по прямой, перпендикулярной к РР', то и прямыет и т'образуют равные углы с РР'. Далее соображения симметрии показывают, что если з' есть другая касательная к шару в точке Р' из есть проекция касательной е', то прямая т в пересечении с прямой з образует такой же угол, как прямые т' и з'.
Следовательно, при стереографическом проектировании углы Рис. 242. на шаре не искажаются впроекции. Поэтому такое отображение называют отображением с сохранением углов. Пусть далее к' — произвольная окружность на шаре, не проходящая через точку У (рис. 243). Касательные плоскости к шару в точках этой окружности огибают некоторый конус вращения; пусть вершина этого конуса есть Я. Так как окружность й' не проходит через точку Ф, то М8 ие будет касательной к шару в точке У и, следовательно, не будет параллельна плоскости проекции; пусть М будет точкой пересечения плоскости проекции с Ф8, Мы утверждаем, что кривая й,' изображающая гл.
пс диеезганиилльнхя гаоматзия окружность л' на плоскости проекции, есть окружность с центром в точке М. Доказательство легко усмотреть нз рис. 243. Если Р' есть произвольная точка окружности А', а Р— ее проекция, то Р'$ есть касательная к шару в точке Р', а РМ вЂ” проекция касательной Р'$; отсюда ~РР'$ = ~Р'РМ. Проведем через точку Рис. 243. $ прямую, параллельную РМ, и пусть эта прямая пересекаегУР в точке Р".
Тогда либо точки Р" и Р' совпадают, либо треугольник Р'Р"$ имеет равные углы при точках Р' и Р" и, следовательно, этот треугольник равнобедренный: $Р' = $Р", но РМ РМ ' МЗГ М~г — — — или РМ = Р'$ ° —. Р'8 Р"8 5М ЯУ Так как точка $ одинаково удалена от всех точек окружности л', то Р'$ постоянна. Из последней формулы следует, что и РМ вЂ” постоянная, т. е. кривая й есть окружность с центром в точке М. Таким образом все окружности на шаре, не проходящие через точку У, при стереографической проекции изображаются на плоскости в виде окружностей, и, обрашая только что проведенное исследование, можно видеть, что также и всякая окружность на плоскости переходит в окружность на шаре.
Когда некоторый круг, подвижный на шаре, приближается 'к кругу, проходящему через точку У, то прямая У$ приближается к касательной к шару в точке У, а точка М удаляется в бесконечность. Отсюда следует, что кругам, проходящим через точку У шара, соответствуют на плоскости проекций прямые. Это ясно $36. стегеог4мемпяскля ПРоек11ия и без перехода к.пределу, так как лучи, проектирующие точкм окружности, проходящей через точку У шара, расположены в. плоскости этого круга, так что прямая, получающаяся в пересечении этой плоскости с плоскостью проекции, служит проекцией нашей окружности. Таким образом совокупности окружностей иа шаре соответствуют в стереографической проекции совокупности окружностей и прямых на плоскости. Стереографическая проекция сохра няет окружности.
Возьмем теперь какое-нибудь отображение и' шара на самого себя, при котором окружности на шаре переходят в окружности; так, например, а' может быть вращением шара вокруг произвольного (не обязательно проходящего через точку У) диаметра. Тогда отображению а' при стереографической проекции соответствует некоторое отображение а плоскости проекций на самое себя, при которой совокупность окружностей и прямых переходит в самое себя. Всякое такое отображение плоскости называется преобразованием, сохраняющим окружности.
На евклидовой плоскости преобразования, сохраняющие окружности, вообще говоря, не представляют взаимно однозначных отображений. В самом дале, при стереографической проекции точке У шара не соответствует никакая точка плоскости. В общем случае отображение а' шара не оставляет точку У неподвижной, а преобразует в точку У некоторую другую точку Р', стереографическая проекция которой пусть будет Р. Тогда точка Р при преобразовании а, сохраняющем окружности, которое соответствует отображению а', не будет иметь никакого изображения. Здесь; так же как в проективной геометрии, для объеди,нения всего процесса отображений необходимо провести абстрактное расширение евклидовой плоскости.
Однако это расширение в учении о преобразованиях, сохраняющих окружности, производится другим способом, чем в проективной геометрии; именно, к евклидовой плоскости добавляют единственную «бесконечно удаленную» точку К которую представляют себе как изображение точки У при стереографической проекции. После такого расширения плоскость может быть взаимно однозначно и непрерывно отнесена ко всей поверхности шара, а преобразования, сохраняющие окружности, превращаются во взаимно однозначные отображения; в приведенном выше примере точка Р при преобразовании, сохраняющем окружности, отображается в точку К При соответствующем отображении шара а' окружности, проходящие через Р', переходят в окружности; проходящие через У; следовательно, отображение а переводит окружности, проходящие через точку Р, в прямые, В соответствии с этим представляется целесообразным рассматривать прямые как окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку.
Параллельные прямые при преобразовании, сохраняющем окруж Гл. Не диФФеРенциялъняя ГеометРия ности, переходят либо в параллельные же прямые, либо в соприкасающиеся окружности. Тривиальными примерами преобразований, сохраняющих окружиости, служат движения, перевертывания и преобразования подобия плоскости; оии переводят евклидову плоскость взаимно однозначно в себя же. Следовательно, если положить в основу этих преобразований дополненную точкой Уплоскость,то можно сказать, что зти преобраэоваиия суть преобразования, сохраняющие окружности, оставляющие неподвижной точку К Можно доказать, обратно, что едииствеииые преобразования, сохраняющие окружности, оставляющие неподвижной точку К суть только что иаэваииЫе. На основе этой теоремы можно обозреть полиостью все преобразования плоскости, сохраняющие окружности.
Пусть Р— точка плоскости, которая прп заданном преобразовании ам сохраняющем окружности, переходит в точ. ку У, и пусть Р— стереографическая проекция точки шара Р'. Дадим теперь шару такое вращение а', при котором точка Р' переходит' в точку Ф. Вращению а' соответствует преобраэоваиие а, сохраияющее окружности, свойства -которого связаны простым наглядным образом со свойствами вращения а'.
Заданное преобразование аа сохраняющее окружности, которое точно так же, как а, переводит точку Р в точку У, может отли. чаться от преобразоваиия а только преобразованием, сохраняющим окружности, которое оставляет точку У неподвижной. Поэтому согласно только что приведеивой теоремепреобраэова. иие аэ тождественно с а с точностью до движения, перевертываиия или преобразования подобия. Выше мы уже упоминали, что стереографическая проекция сохравйет углы неизменными. Вращение а' представляет отображеиие шара с сохранением углов, а так как а получается иэ а' при помощи стереографической проекции, то а представляет отображение плоскости с сохраиеиием углов; аэ отличается от а только иа отображение с сохранением углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
