Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В евклидовой геометрии установить такие группы было уже труднее. Оказывается, что в гиперболической геометрии число дискретных групп значительно больше, чем в евклидовой геометрии. Все эти группы осуществляются на модели. Пуанкаре группами преобразований, сохраняющих окружности, которые содержатся в группе Н как подгруппы. Эти группы играют роль в теории функций. Особенно важны среди них группы сдвигов. Сдвигом называется всякое гиперболическое движение, которое можно получить непрерывно нз тождественного преобразования и которое не оставляет неподвижной ни одной точки. В плоской эллиптической геометрии нет аналогий такому движению, так как всякое плоское эллиптическое движение имеет неподвижную точку.
В евклидовой геометрии сдвигам соответствуют переносы. Однако для сложения сдвигов нет таких простых законов, какие существуют для сложения переносов, так как в гиперболической геометрии отпадает однозначность параллельности. Мы ограничимся дискретными группами сдвигов, обладающими замкнутой фундаментальной областью. Им соответствуют евклидовы группы переносных движений, имеющие параллелограмм в качестве фундаментальной области. В гиперболической группе сдвигов с замкнутой фундаментальной областью эта последняя никогда не представляет собой четырехугольника.
Напротив, любое другое число углов, кратное четырем, может встречаться в фундаментальной области. На рис. 249 изобра» жено для случая восьмиугольной фундаментальной области заполнение такими фундаментальными областямн гиперболической плоскости на модели Пуанкаре. Все покрытие, конечно, начертить нельзя, так как восьмиугольники, составленные из дуг окружностей, все ближе прижимаются к граничной окружности. Так же как в основном параллелограмме евклидовых групп переносных движений, и здесь стороны фундаментальной области попарно равны и эквивалентны. На рис. 249 это изображено для одной из фундаментальных областей. Соответствующие углы различных фундаментальных областей обозначены одинаковыми цифрами.
На чертеже можно видеть„что вокруг любой произвольно выбранной вершины А всякая цифра встречается один и только один раз. Отсюда следует, что сумма углов фундамен~ тальной области должна равняться 2я. Во,всякой другой группе сдвигов фундаментальные области располагаются аналогичным $ ЗУ. МЕТОДЫ ОТОБРАЖЕННЛ образом, н потому сумма углов фундаментальной области всегда должна равняться 2п. Далее, стороны в определенном порядке, который мы здесь не описываем подробно, должны быть попарно равны. В остальном фундаментальная область может быть задана произвольно. Иэ того обстоятельства, что сумма углов должна равняться 2п, понятно, почему не может быть четырехугольных фундаментальных областей. В самом деле, сумма углов гиперболического четырехугольника всегда меньше 2п, Рис.
249, как легко видеть путем разложения четырехугольника на два треугольника. Гораздо обширнее многообразие групп сдвигов с незамкнутой фундаментальной областью. Одна иэ таких групп применяется в теории эллиптических модуль-функций. $ 37. Методы отображений. Отображения, сохраняющие длину, сохраняющие площади, геодезические, непрерывные н конформные Мы уже многократно н разлнчнымн епособамн отображали одни поверхности на другие, например при помощи центральной проекции нлн прн помощи параллельных нормалей.
Теперь в заключение сопоставим важнейшие типы отображений, ебо Гл. Ие диФФЯРенцихльнхя ГеометРия Наиболее точное изображение поверхности дает отображе ние с сохранением длины. При этом геодезическое расстояние двух точек всегда равно геодезическому расстоянию между образами точек. Все углы сохраняются неизменными, а геодези. ческие линии переходят в геодезические же, Как уже было упомянуто, два произвольных куска двух поверхностей обычно нельзя отобразить друг на друга с сохранением длины. В самом деле, для этого необходимо, чтобы гауссовы кривизны в соот. ветствующих точках поверхностей совпадали. Поэтому на некоторый кусок плоскости можно отобразить с сохранением длины только такие кускн поверхностей, гауссова кривизна которых всюду равна нулю; таким образом нельзя, например, отобразить на плоскость кусок шаровой поверхности.
Вследствие этого всякая карта земной поверхности неизбежно должна давать искажение. Менее точно, но все же имеет более широкое применение отображение с сохранением площадей. Оно характеризуется требованием, чтобы площадь всякого куска поверхности, заключенного внутри замкнутой кривой, была равна площади, заключенной внутри изображения этой кривой. Легко представить н нетрудно доказать, что это требование для произвольных замкнутых кривых будет выполнено, если оно выполнено только для всех «бесконечно малых» замкнутых кривых. Поэтому отображение, сохраняющее площади, легко охарактеризовать с точки зрения дифференциальной геометрии.
Отображение с сохранением площадей е У часто используется в географии. Оно дает весьма удобный и простой способ изображения части шаровой поверхности ня пло. скости. Опишем вокруг шара круговой цилиндр того же радиуса (рис, 250). Будем — проецировать точки шара на поверхность цилиндра при помощи нормалей к цилинд. ру. Если теперь разрезать цилиндр вдоль одной из образующих и развернуть его на Рис, 250.
плоскость, то, как показывает вычисление, мы получим на плоскости изображение шара, сохраняющее площади. Очевидно, изображение будет тем более искажено, чем дальше мы будем отходить от окружности, по которой соприкасаются цилиндр и шар. Такое же важное значение в геометрии, а прежде всего для морских карт, имеет геодезическое отображение.
При этом отображении требуется, чтобы геодезические линии одной поверх- $ зг, методы отогплженин 261 ности переходили'в геодезические линии другой. Таким образом отображения, сохраняющие длину, представляют частный случай геодезичедких отображений. Другое отображение подобного рода мы рассматривали при изучении эллиптической геометрии; если проецировать шар из его центра на плоскость, то бочьшие круги шара переходят в прямые на плоскости, и таким образом это отображение есть геодезическое отображение. Вместе с тем оно дает геодезическое отображение всех поверхностей постоян.
ной положительной гауссовой кривизны на плоскость. Оно осу. ществляется при помощи описанной в $ 35 модели гиперболической плоскости. Можно показать, чу, помимо поверхностей постоянной гаус. совой кривизны, нет других поверхностей, которые могут быть отображены геодезически на плоскость. Общая задача о том, когда два куска двух кривых поверхностей могут быть геодезически отображены один на другой, приводит к сложным вычислениям. Обобщение этой задачи на пространства трех и более измерений играет известную роль в современной физике; именног в общей теории относительности траектории материальных точек рассматриваются как геодезические линии четырехмерного континуума, Наиболее общее отображение, которое вообще доступно наглядному представленичо, есть непрерывное') отображение.
При этом отображении требуется только, чтобы оно было взаимно однозначным и чтобы соседние точки оставались соседними. Та. ким образом непрерывное отображение может произвольно искажать всякую фигуру. Но при этом необходимо, чтобы связные части не разрывалнсь, а раздельные части не обращались в связные. Несмотря на такую большую общность, непрерывное отображение не позволяет переводить два произвольных куска поверхности один в другой. Примерз) двух кусков поверхностей, ко- фф~ торые не могут быть непрерывно отображены ЯЩф ~Щф один иа другой, представляют плоскость круга и плоское кРУговое кольцо, заключенное Рнс 2б1 между двумя концентрическими окружностями (рис.
251). Даже границы обоих этих кусков поверхностей нельзя непрерывно отобразить одну на другую, так как плоскость круга ограничена одной связной кри« ') В этом н следующем абзацах под словами «непрерывное отобрзженне» авторы подразумевают гомгоморфное, т. е. взвнмно однозначное н в обе стороны непрерывное отобрвженне. — Прим. ред. з) Кзк первую нз фигур рнс. 251 можно непрерывно отобрвзнть нз вто.
рую, твк н наоборот. Текст нужно поннмзть твк, что не существует гомео ° морфнзмв между зтнмн фигурами. Грвннцу кольца можно непрерывно отобрззнть нв окружность — обрзтно нельзк. — Прим. дед. 262 Гл. Ис диФФеРенциАльнАя геометРия вой, между тем как граница кольцевой области состоит из двух раздельных кусков, Вопрос о том, когда две поверхности могут быть непрерывно отображены одна на другую, относится к задачам, рассматриваемым е топологии, к которой мы перейдем в последней главе. Очевидно, этот тнп отображений охватывает все остальные; геометрическое отображение только в том случае может приводить к полезным следствиям, когда оно непрерывно. Так, по способу, приведенному на рис.
250, мы отображали куски шаровой поверхности на плоскость с сохранением площадей. Полная шаровая поверхность, очевидно, переходит в прямоугольную область. Можно видеть, что отображение, теряет наглядное значение на границах прямоугольника, так как оно перестает быть непрерывным.
Правда, в современной топологии рассматриваются еще более общие отображения, не являющиеся взаимно однозначными, но такие, которые только в одном направлении однозначны и непрерывны, например отображение куска поверхности на дугу кривой. Более подробно, чем рассмотренные до сих пор типы отображений, были исследованы отображения, сохраняющие углы, илп конформные. Они характеризуются требованием, чтобы утры, под которыми пересекаются две кривые, отображались без искажений. Если не считать отображений, сохраняющих длину, то стереографическая проекция и преобразование, сохраняющее окружности, представляют простейшие примеры подобных отображений. Модель Пуанкаре гиперболической геометрии дает отображение поверхностей отрицательной гауссовой кривизны на плоскость с сохранением углов.
Отображение, сохраняющее углы, имеет кое-что общее с отображением, сохраняющим длины. Именно, можно аналитически показать, что весьма малые фигуры при отображении, сохраняющем углы, изображаются почти без искажений; это значит, что помимо углов остаются приблизительно неизменными, правда, не длины, но отношения длин, причем этн отношения сохраняются с тем большей точностью, чем меньше рассматриваемая фигура. Название «конформное» как раз и указывает на это свойство. Поэтому конформное отображение в малом из всех вышеописанных типов отображений ближе всего подходит к отображению, сохраняющему длины. В самом деле, из наших примеров видно, что при отображении, сохраняющем площади, и при геодезическом отображении даже произвольно малые фигуры могут быть искажены сколь угодно сильно.
В 'то время как отображение, сохраняющее длины, применимо лишь в очень ограниченной мере, конформное отображение имеет широкие применения, и как раз вопрос о примени. мости конформного отображения поставил его в центр плодот- $ ЗК ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЯ ворных геометрических исследований. Простейший вопрос этого рода, именно вопрос о том, когда два плоских куска поверхности могут быть конформно отображены один на другой, приводит к наглядному представлению комплексных чисел и рассматривается в геометрической теории функций, $ 38. Геометрическая теория функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
