Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Исследуя общее поведение конформных отображений, представляемых нелинейными функциями, например функцией ш = ге, Рнман пришел к поверхностям, представляющнм расширенные поверхности шара нлн плоскости. Места, в которых полосы рнмановой поверхности связываются друг с другом н одна с другой аналогнчно сферическому изображению обезьяньего седла, были названы Рнманом точками ветвления. ') 1Ч еоч 1п е Е. й. Веы!пппппд егче1ег ереиейеп ребогйесвеп М1пппа1- Пасьеп.— Акад, АЫгапг1!ппд, Не1е1пя1оге, 1883.

Глава У КИНЕМАТИКА До сих пор мы рассматривали главным образом неподвиж. ные в пространстве фигуры, так как геометрия кладет в основу именно такие фигуры. Но уже в элементарной геометрии понятие движения играет известную роль. Так, мы называли две фигуры конгруэнтнымн, если посредством движения их можно совместить. Далее мы рассматривали подвижные гиперболоиды (с. 22), определяли линейчатые поверхности при посредстве движущейся плоскости (с.

206), изгибала и деформировали поверхности (четвертая глава). В кинематике движения рассматриваются систематически. Прежде всего мы рассмотрим ту часть кинематики, которая тесно связана с элементарной метрикой: учение о шарнирных механизмах. Затем мы исследуем непрерывные движения с более общей точки зрения; при этом мы будем пользоваться дифференциально-геометрическими методами. й 40. Шарнирные механизмы Плоским шарнирным механизмом называется всякая плоская система жестких стержней, частично соединенных между собой илн скрепленных с неподвижными точками плоскости, вокруг которых они могут вращаться, так что вся система еще сохраняет подвижность в ее плоскости. Простейшим таким мехапизмом является единственный жесткий стержень, закрепленный одним концом в некоторой точке плоскости, вокруг которой он может вращаться, т.

е. циркуль. Подобно тому как свободный конец циркуля описывает окружность, так во всех других плоских шарнирных механизмах с одной степенью свободы все точки стержней движутся по алгебраическим кривым, т. е. по таким кривым, координаты которых в декартовой системе связаны алгебраическим уравнением. Обратно, для всякой сколь угодно сложной алгебраической кривой можно подобрать такое шарнирное сочленение, с помощью которого данная кривая может быть построена (хотя бы по кускам), Создание такой конструкции для простейшей алгебраической кривой, именно для прямой линии, представляет известную за.

% ЭЭ ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ дачу о прямолинейно направляющем механизме. Модель такого механизма, инверсор Поселье, мы рассмотрим здесь подробно. Будем исходить от изображенного на рнс, 253 механизма, состояшего из шести стержней. Иэ этих стержней а и Ь равны ме. жду собой; точно так же стержни с, и', е, ~ равны между собой. Стержни а и Ь закреплены в неподвижной точке О, вокруг которой онн могут вращаться. Во всяком положении механизма точки Р н Я должны лежать на одной прямой с точкой О, именно на биссектрисе угла АОВ, Построив 'окружность радиуса с с /сА.

Ф 1 / / / Рис. 254. Рнс. 253. вокруг точки А, получаем далее на основании теоремы о хордах, что при всяком положении механизма удовлетворяется соотно. шенне ОР ° ОЯ = (ОА + с) (ОА — с) = аэ — сэ. Соответственно с этим точки Р и Я представляют инверсию относительно окружности с центром О н радиуса ~/пз — сэ (с. 254). Очевидно, точку Р можно привести в любую точку кругового кольца, ограниченного концентрическими окружностями с радиусами а+ с н а — с и центром в точке О. Таким образом наш аппарат позволяет для любой точки этой области найти инверсную точку относительно указанного круга, почему этот механизм и называется инверсором.

Если точка Р описывает окружность, проходящую через точку О, то точка О должна описывать прямую (с. 254). Поэтому мы можем закрепить в точке Р еще один стержень д (рис. 254), другон конец которого мы закрепим в точке М, находящейся на расстоянии я от точки О. Тогда точка Р вынуждена оставаться на окружности ра. дяуса я с центром в точке М. Из равенства ОМ = я следует, что эта окружность проходит через точку О. Поэтому точка Я описывает прямую д, н тем самым наша задача решена. Как легко видеть, прямая и перпендикулярна к ОМ; таким образом 274 ГЛ Ч КИНЕМАТИКА прямолинейно.

направляющий механизм Поселье позволяет опустить перпендикуляр на заданную прямую. В пространстве шарнирные механизмы определяются аналогичным образом. Однако в этом случае шарниры, соединяющие стержни между собой или прикрепляюшие их к неподвижным точкам, должны допускать вращения не только в одной плоскости, но и вращения во всевозможных направлениях в простран. стве. В определенных случаях практически это~о можно достичь при помощи шаровых сочленений. Колщы стержней пространственного шарнирного механизма всегда описывают алгебраические поверхности. Однако до сих пор не доказано обратного положения, именно, что всякая алгебраическая поверх- а ность моясет быть построей на при помощи шарнирного механизма, хотя такая теол Ь у' рема весьма вероятна.

Рассмотрим опять-таки у' простейшую из таких кона струкций, а именно плоско направляющий механизм. Для этой цели будем исходить нз подвижной стержневой модели однополостного гиперболоида (с. 22). Рас. 255, Пусть я н д' — две прямые одного семейства, (л — подвижная прямая другого семейства, пересекающая прямые й и и' в переменных точках Н н Н'. Пусть теперь модель, составленная из стержней, движется так, что стержень и остается неподвижным (рис.

255); тогда всякая точка Н' прямой лт' сохраняет постоянное расстояние от соответствующей точки Н прямой д. Таким образом точки прямой д' описывают при движении модели шары вокруг соответствующих точек прямой Р. Если теперь выбрать положение прямой 7л так, чтобы она пересекала прямую д в бесконечно удаленной ее точке У, и если У' есть точка пересечения прямой й с д', т. е. точка, соответствующая бесконечно удаленной точке К то эта точка (7' должна быть расположена на конечном расстоянии, ибо в противном случае УГ = Ь была бы бесконечно удаленной прямой поверхности, и, следовательно, поверхность представляла бы не гиперболоид, а гиперболический .параболоид (с. 23).

Поэтому при движении модели точка У' описывает шар бесконечно большого радиуса, т. е. плоскость. Из нашего рассмотрения вытекает простое построение плоско-направляющего механизма. Тремя стержнями одного семей. 27б 4 а. днижпнин плоских миги ства гиперболоид полностью определяется. Поэтому мы можем прикрепить к неподвижному стержню д тремя шаровыми шарнирами А, В, С, три других стержня а, Ь, с. Другие концы этих стержней прикрепим шаровыми шарнирами к трем точкам А', В', С' другого стержня В'. Для того чтобы стержни а, Ь, с описывали гиперболоид, а не гиперболический параболоид, достаточно выбрать точки так, чтобы АВ:АС чь А'В':А'С'.

Именно, можно показать, что на гиперболическом параболоиде расстояния трех точек прямой д всегда относятся так, как расстояния соответствующих точек прямой и'. В нашем механизме всякая точка прямой д' имеет две степе.- ни свободы, так как подвиж- 4 иый гиперболоид, определяемый стержнями а, Ь, с, может принимать оо ' форм, а каждая из этих У у' поверхностей может еще обла- в дать произвольным вращением б" вокруг прямой д как оси '). Со- д' гласно вышесказанному точки прямой йс' описывают шары, У' имеющие прямую я в качестве диаметра, а точка 77' прямой йс' описывает часть плоскости, перпендикулярной к прямой д'. Можно усмотреть, что точка 77' пробегает все точки плоского кругового кольца, описанного вокруг прямой д как оси.

Таким образом наша задача решена. Другое возможное решение изображено на рис. 256. Этот механизм можно получить из предыдущего, если поменять роли обоих семейств прямых линьгй подвижного гиперболоида. 5 41. Движение плоских фигур Пусть некоторая подвижная плоскость скользит произвольным образом по неподвижной плоскости. Опишем такое движение геометрически возможно более простым образом. Как мы уже прежде подробно выяснили, всякое движение плоскости по самой себе из начального в конечное положение тождественно с одним единственным поворотом или единствен- ') Степени свободы можно подсчитать также следующим образом: если бы не было стержня 2', то тройка точек А', В', С' имела бы шесть степеней свободы, так как каждан в отдельности из них может хвататься по поверхности шара и, следовательно, имеет две степени свободы.

Требование, чтобы точка С' лежала на одной прямой с точками А', В', дает два условия, а требование, чтобы отрезки А В' н А'С' имели постоянную длину, дает еще два условия. Таким образом мы получаем 6 — 2 — ! — ! = 2 степени свободы н соответствии с изложенными в $ 24 методами. Гл. ч..кинем»тнк» ным переносом (с. 69). Если рассматривать перенос как вращение вокруг бесконечно удаленной точки, то можно сказать, что всякое плоское перемещение может быть заменено вращением вокруг определенного центра. Пусть теперь задано определенное движение.

Тогда подвижная плоскость в некоторый момент г занимает определенное положение А. Сравним с этим положением другое положение А»„ которое подвижная плоскость занимает в некоторый близкий последующий момент г+ л. Этому изменению положения А -» А» соответствует определенный центр вращения М». Если задавать Ь все меньшие значения„т. е. если положение А» будет все меньше отличаться от положения А, то цектр вращения М» будет стремиться к некоторому предельному положению М. Точка М называется мгновенным центром вращения для момента Направление движения всякой другой точки Р подвижной плоскости в этот момент перпендикулярно к РМ.

Если мы определим мгновенные центры для всех моментов движения, то получим в неподвижной плоскости геометрическое место мгновенных центров, представляющее некоторую кривую, называемую полодией. Но мы можем для того же самого движения рассматривать движущуюся плоскость как неподвижную, а плоскость, остававшуюся неподвижной, как -движущуюся. В таком виде это движение будет представляться наблюдателю, двигавшемуся вместе с плоскостью, принятой первоначально за подвижную.

Таким образом и в этой плоскости точно так же получается определенная кривая как геометрическое местомгновенных центров. Она называется подвижной полодией. Обе кривые всюду непрерывны; онн могут также простираться в бесконечность, но должны быть там замкнуты в смысле проективной геометрии, т. е. при центральном проецировании на любую другую плоскость онн должны переходить в кривые, непрерывные в соответствующих местах горизонта.

Подробное исследование показывает, что вид подвижной н неподвижной полоднй полностью определяет движение, если при этом заданы две точки обеих кривых, совпадающие в некоторый момент движения. Именно, мы восстановим движение, если так наложим обе кривые друг на друга, что они будут соприкасаться в заданных точках, и затем заставим подвижную полодию катиться без скольжения по неподвижной, увлекая вместе с со. бой 'свою плоскость.

Прн этом обе кривые будут всегда соприкасаться друг с другом во всех мгновенных центрах движения. Так как кривые катятся одна по другой без скольжения, то отсюда следует, что две точки неподвижной полодии и две соответствующие точки подвижной володин всегда ограничивают дуги равной длины на обеих кривых. $ м.

Характеристики

Список файлов книги