Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Горловыми линиями в этом случае служат наименьшие параллели этих поверхностей. Вследствие симметрии по верхностей вращения кручение постоянно и зависит только от вида и величины образующей гиперболы. Гиперболоиды с одинаковым закручиванием легко охарактеризовать аналитически. Пусть в прямоугольной системе д, у координат образующие гиперболы выражаются уравнениями: я' р' — х- — — — — 1 а Ья ') Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы две линейчатые поверхности бйлн аксоядями некоторого движения, ие может быть понято, без аналитических вспомогательных средств.
Прежде всего горловые линни обеих поверхностей должны быть тяк отнесены друг к другу, чтобы поверхности в соответствующих точках имели одинаковое ирученне. '1огде, если и, а' представляют углы горловых пиний с обревующимн в соответствующих точ. кех н я, я' — соответствующие длины дуг обеих гордовык дийий, то должно удовлетворяться уравнение; бя' з!и а бя зла'' % 1з даижсния и пгостпхпсзаа авт х-' ~г вг Таким образом осью вращения служит ось д. Требование, ~тобгя оба получающихся гиперболоида имели одппакоаос кручение, выражается простым уравнением Ь =.
В. На рпс. 2бй пзооражепы две такие гиперболы н их фок сы. г ри качении взаплноерасположение обоих гиперболон- ..ФЧ»' дов не меняется. Таким обра- ф 1 зом, если закрепить одни гиперболоид, то ось вращения второго получит вращение вокруг оси первого. Движение будет значительно упрощено, если мы заставим первую поверхность вращаться вокруг своей оси в обратную сторону. Тогда ось второго гиперболоида (конечно также и первого) сохраняет неподвиж- Ъ, ное положение в пространстве.
Следовательно, мы получим качение обеих этих поверхностей, если наложим их друг на друга так, что опи Ряс 2аэ. будут соприкасаться вдоль некоторой прямой и будут вращаться обе вокруг своих осей с соответствующим отношением скоростей. Отсюда получается употребительный в технике способ зубчатой передачи между двумя непересекающимися осями. Так как при взаимном скольжении стирается материал, то для такой передачи необходимо ограничиться конгруэитными гиперболоидами. Такая передача изображена на рис, 269. Гдаеа гг ТОПОЛОГИЯ В проективной геометрии мы уже встречались с такими фак. тами, которые могут быть установлены без измерения и сравнения длин и углов и которые тем не менее имеют вполне геометрический характер. Теперь, в топологии, мы будем иметь дело с геометрическими фактами, для установления которых ие приходится привлекать даже понятия прямой и плоскости, а. приходится иметь в виду только непрерывную связь между точками фигуры.
Представим себе некоторую произвольно деформируемую фигуру из неразрываемого материала, отдельные части которой не могут склеиваться, и будем заниматься исследованием тех свойств, которые сохраняются при всевозможных произвольных искажениях фигуры, сделанной из подобного материала, При таком рассмотрении, например, все топологические свойства шара в одинаковой степени принадлежат также эллип. соиду, кубу и тетраэдру, Напротив, между шаром и тором имеется топологическое различие.
В самом деле, непосредственно ясно, что шар без разрывов или склеиваний не может быть превращен в тор. В истории геометрии как науки топологические проблемы, естественно, появляются еще позже, чем проективные, именно лишь в ХЧ111 в. Впоследствии оказалось, что топологические предложения, несмотря на кажущуюся их неопределенностть связаны как раз с наиболее точными абстрактными математическими предложениями о величинах, именно с алгеброй, с теорией функций комплексного переменного и с теорией групп.
В настоящее время топологические исследования являются наиболее плодотворными по сравнению с исследованиями во всех отделах математики. В последующем мы ограничимся некоторыми вопросами из топологии поверхностей в трехмерном пространстве'). Начнем с тех поверхностей, которые можно наиболее просто исследовать топологически, именно с многогранников. ') В качестве дальнейшего введения в основные понятия топологии можно упомянуть небольшую книжку: Александров П. С. и Ефремович ч В. А. Очерк основных понятий топологии.— Мп Лл ОНТН, 1936 (нли статью: Болтянский В.
Г. н Ефремович В. А. Очерк основных идей топологии.— Математическое просвещение, 1957, 2, с. 3 — 34; 1958, 3, с. 5 — 40; !959, 4, с. 27 — 52,— Прим. ред.). 999 444. МНОГОГРАННИКИ 5 44. Многогранники Многогранником мы называем всякую систему многоуголь» ников, связанных таким образом, что, с одной стороны, при каждом ребре сходятся (под некоторым углом) два и только два многоугольника, а с другой стороны, от всякого многоугольника данной системы можно перейти к другому, переходя через ребра. Простеишие и наиболее важные многогранники суть те, которые могут быть превращены в шар при помощи непрерывной деформации.
Мы их будем называть простыми многогранниками. Примеры простых многогранников представляют правильные многогранникй ($14). Мы увидим, что существует помимо ° простых множество других многогранников, которые, следовательно, не могут быть превращены в шар. Далее, правильные многогранники обладают тем свойством, что они не имеют входящих ребер. Отсюда следует,.что правильные многогранники выпуклы. Выпуклым нязывается всякий многогранник, расположенный по одну сторону. каждой из своих граней; такой многогранник можно положить на плоскость стола на любую из его граней.
Выпуклость ие является топологическим .свойством, так как можно превратить выпуклый многогранник в невыпуклый при 'помощи некоторого топологически несущественного изменения. Однако из выпуклости многогранника можно сделать заключение об одном его топологическом свойстве. Именно: простое рассуждение показывает, что всякий выпуклый многогранник необходимо простой1).
Число вершин, ребер и граней простого многогранника связано между собой очень важным соотношением, которое называется эйлеровой теоремой о многогранниках в честь открывшего его ученого. Пусть Е будет число вершин, К вЂ” число ребер, Š— число граней многогранника; тогда эйлерова теорема о многогранниках утверждает, что число Š— К+ Е для всех простых многогранников равно '2: Š— К + Р = 2.
') Между выпуклыми и невыпуклымн многогранниками есть своеобразное различие. Именно, в то время как всякий замкнутый выпуклый многогран. ник представляет твердое тело, существуют замкнутые иевыпуклые многогранники, боковые грани которых могут двигаться друг по отношению к другу. Неизгибаемость выпуклого многогранника представляет айалогию с упомянутой ранее неизгибаемостью замкнутых выпуклых поверхностей. Методы исследования метрики кривых поверхностей'путем предельного перехода от многогранников развиты А Д.
Александровым (см. А л е к ° с а н д р о в А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, — Мл ) ос. яехиздат, 1948). — Прим. ред. 1/З19 Д. Гяльесрг, С. Кое.ооссся гл. ть топология Проверим эту поразительную теорему на некоторых правильных многра нинках: тетраадр: Š— К+ Р 4 — 6+ 4 2, ,куб: Š— К+ Р 8 — 12+ 6 2, октаадр: Š— К + Р 6 — 12+ 8 — 2. Для доказательства теоремы Эйлера построим на плоскости изображение простого многогранника, которое мы назовем его плоской сеткой. Для этого выбросим одну из граней.многогранника и деформируем остальные грани так,.чтобы все они расположились в одной и той же плоскости.
Этого можно достигнуть таким способом, чтобы все боковые грани сохранили вид многоугольников, ограниченных прямолинейными отрезками, и чтобы число вершин не изменилось. (Наоборот, невозможно сделать так, чтобы многоугольники иа плоскости были все конгруэнтны исходным многоугольникам.) Получившаяся таким образом система многоугольников, расположенных на плоскости, называется плоской сеткой многогранника. Мы можем Рие. 270. рассматривать рис.
153 — 157, с. 150, как плоские сетки правильных многогранников. Плоская сетка содержит столько же вершин и ребер, как многогранник, но граней — на одну меньше. Сделаем теперь изменения в плоской сетке так, чтобы при этом число Š— К+ г осталось неизменным, а вид сетки упростился.
Прежде всего, если в сетке имеется многоугольник, у которого более трех сторон, то в таком многоугольнике проведем 'диагональ. При этом прибавятся одна грань и одно ребро, число же вершин останется неизменным, так что число Š— К+ Р останется тем' же самым (рнс. 270). Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не получим сетки, у которой все грани суть треугольники. Если мы к такой сетке, составленной из треугольников, добавим вдоль какого-нибудь ребра новый треугольник так, что две вершины, расположенные в концах взятого ребра, будут вер-- шинами нового треугольника, то число вершин и граней возрастет на единицу, а число ребер возрастет на два (рис. 271).
Таким образом рассматриваемое число опять .останется неизменным. Точно так же это число не изменится, если мы дабавим ребро там, где контур сетки'имеет входящий угол, соединив две вершины контура и получив при этом новый треугольник (рис.
272); в самом деле, при этом число вершин не изменится, а число ребер и граней возрастет на единицу.. Теперь можно непосредственно усмотреть, что произвольная сетка, составленная из треугольников, может быть получена из Ф 44. МНОГОГРАННИКИ 291 единственного треугольника путем многократного повторения этих двух операций. Таким образом число Š— К+ Е для всякой сетки, составленной из треугольников, и, следовательно,' для всякой другой плоской сетки имеет то же самое значение, как и для одного единственного треугольника: Š— К+Е = 3 — 3+ +1, 1, а так как сетка эта имеет столько же вершин и ребер, как прпстои многогранник, и одной гранью меньше, чем многогранник, то для простого многогранника должно иметь место равенство '): Š— К+Р=2.
При помощи теоремы Эйлера- можно дать новое простое доказательство того„что возможны лишь пять правильных многогранников (с. 99). Пусть в рассматриваемом правильном многограннике во'всякой вершине сходятся и граней, и, значит, гз Рис. 272. Рис. 2П. ребер. Если Е, К, Е имеют то же значение, что и выше, то число ребер, выходящих из всех вершии, равно, следовательно, аЕ. Но при этом мы сосчитали два раза всякое ребро, так как каждое ' ребро соединяет две верпеины. Следовательно, пЕ =' 2К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
