Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Особенно простое преобразование, сохраняющее сферы, представляет инверсия в пространстве. Она определяется аналогично инверсии на плоскости; если заданы постоянная точка М и постоянное положительное число г, то всякой точке Р, отличной от точки М, соответствует в качестве образа та точка ф которая лежит на полупрямой МР, выходящей из точки М, и для которой выполняется равенство МР МЯ = гз. Всякое преобразование, сохра.
ияющее сферы, можно составить из инверсии в пространстве и преобразования подобия. й 39. Конформиое отображение кривых поверхностей Минимальные поверхности. Задача Плато Примером конформного отображения кривой поверхности на плоскость служит стереографическая проекция. Она переводит всякое конформное отображение на плоскости в конформное отображение на шаре. Конформным отображениям на шаре, оставляющим неизменной точку Ж, при стереографической проекции из точки У соответствуют конформные отображения евклидовой плоскости на себя. Как мы уже упоминали, это суть преобразования подобия и только они. Отсюда следует,что все конформные отображения шаровой поверхности на себя, оставляющие некоторую точку неизменной, суть преобразования, сохраняющие окружности.
Всякое конформное отображение шаровой поверхности на себя можно перевести вращением шара .вокруг его диаметра а отображение, оставляющее неподвижной одну точку. Поэтому совокупность всех конформных преобразований шара на себя должна быть тождественна с совокупностью преобразований, сохраняющих окружности на шаре, т.е. с преобразованиями, которые прн стереографическом проецировании соответствуют преобразованиям, сохраняющим окружности на плоскости. Преобразования, сохраняющие окружности на плоскости, выражаются формулой (1) на с. 263. В нее входят четыре комплексные постоянные, которые определены, однако, с точностью до некоторого общего комплексного множителя.
По. этому преобразования, сохраняющие окружности на плоскости, а также на шаре, образуют семейство с шестью параметрами. Оказывается, можно доказать, что произвольная замкнутая поверхность, которая может быть непрерывно н взаимно однозначно отображена на сферу, как, например„ поверхность эллнп- 4 ЗЧ. КОНООРМНОЕ ОТОВРАЖЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ М9 соида, может быть также конформно отображена на сферу. Отсюда следует, что всякие две такие поверхности всегда могут быть также конформно отображены одна на другую и что всякая подобная поверхность обладает семейством конформных отображений на себя ровно с шестью параметрами. Поверхности, которые могут быть отображены непрерывно на внутренность круга или на евклидову плоскость, как, например, гиперболический параболоид, заведомо не могут быть все конформно отображены одна на другую, так как, например, внутренность круга не может быть конформно отображена на евклидову плоскость.
Существует, однако, важная теорема о «дизъюнкциитс всякая такая поверхность может быть конформно отображена либо на внутренность круга, либо на евклидову плоскость. Для других типов поверхностей, например для поверхности тора, вопрос о возможности конформного отображения также получает исчерпывающий ответ. Так как при этом необходимы вспомогательные топологические средства, то мы вернемся к этому только в главе о топологии.
Особенно интересный пример конформного отображения представляют минимальные поверхности. Выше мы охарактеризовали эти поверхности (с. 195) тем, что в каждой нх точке обе главные кривизны равны по абсолютной величине и имеют противоположные знаки.
Из этого определения регко вывести, что для минимальных поверхностей сферическое изображение конформно, н обратно, можно показать, что помимо шаров минимальные поверхности суть единственные поверхности, для которых сферическое изображение конформно. Благодаря этому минимальные поверхности тесно связаны с теорией функций. Всякую аналитическую функцию комплексной переменной можно использовать для определения минимальной поверхности. Если натянуть на замкнутую проволочную фигуру мыльнуго пленку, то, как было указано, она принимает форму минимальной поверхности.
Так возникает поставленная впервые Плато задача для всякой заданной замкнутой пространственной кривой найти кусок минимальной поверхности, ограниченный этой кривой. Долгое время напрасно старались доказать хотя бы существование подобной минимальной поверхности для всякой заданной границы. Только в 193! г. Дуглас ') дал решение задачи Плато в общем виде'). ') Тгаиз. Ашег. шабь Зос., 1931, т. ЗЗ. При несколько более узких допущениях незадолго неред тем задача Плато была разрешена Радо (Т.
и а д о. Мавь Е«1930, т. 32). г) Сейчас оиа решена для л-мерного случая, См. Ф о и е и к о А. Т. Многомерная задача Плато а рнманоаых многообразиях, — Метем. сб. ° 1972, 89 (13!), с. 475-519. — Прим. ред. 210 ГЛ. Пг, ПИФФЕРЕИЦИАЛЬИАЯ ГЕОМЕТРИЯ Дуглас заменяет эту задачу еще более общей; он ищет не только минимальную поверхность М, заключенную внутри заданной пространственно кривой г, но также и конформное отображение этой поверхности на круг К С этой целью он рассматривает прежде всего отображение, переводящее кривую г в окружность й круга К.
Оказывается, что этоотображение характеризуется одним экстремальным свойством.- Всякой хорде з кривой г при отображении ее концевых точек соответствует / хорда з' окружности 'л. Если принять отношение — за длину хорды з и образовать из обратных величин квадратов этих длин по всем хордам кривой г среднее, то при искомом отображении это среднее значение будет наименьшим ').
Таким образом, можно сказать, что искомое отображение отделяет в среднем все точки кривой г на наибольшее возможное расстояние друг от друга. Можно доказать, что отображение, обладающее таким ' экстремальным свойством, всегда существует. При помощи этого отображения г-+ й можно представить известными аналитиче- ' скими формуламиа) декартовы координаты остальных точек минимальной поверхности М как функции точек круга К. Если предположить, что кривая г плоская, то поверхность М вырождается в плоскую область Сг, ограниченную кривой г. Способ Дугласа дает тогда конформное отображение области 0 на круг К, т.
е. решение римановой задачи. Это решение, очевидно, получается путем, обратным тому, который был использован ранее. Прежний способ построения исходил от пары внутренних точек области; увеличивая гиперболическое расстояние изображений этих точек; мы достигали того, что граница области 6 приводилась к совпадению с границей области К. Способ Дугласа, обратно, сначала осуществляет отображение границы области О на границу области К, характеризующееся определенным экстремальным свойством. Тогда отображение внутренних точек получается само собой. Для пространственных кривых г частного вида можно определить соответствующие минимальные поверхности значительно более простым путем; это возможно, например, если в качестве ') Формулы дают следуюшесг пусть Р н Гс — две точки кривой г, ко.
торые переходят в точки Р' и Д' окружности Й, и и )) — аргументы точек Р' РГ) и ы'; положим,, о(а, 5)г тогда двойной интеграл гп ап ~ (о (а, й))а Ыа ф о о для искомого отойражсиня имеет наименьшее вначенне. а)- Интеграл Пуассона по кривой г, З зк коноопэгное отопохжанип кривых поверхностен ят1 кривой г выбран замкнутый пространственный многоугольник, составленный нз прямолинейных отрезков. Вообще мнннмальные поверхности, ограниченные кривой г, имеют особенности на этой границе; однако специальным выбором кривой г можно достнчь того, чтобы минимальные поверхности позволяли правнльное продолжение за граничную кривую. Таким способом Неовнусу ') удалось построить минимальную поверхность, которая может быть продолжена во всем пространстве без особенностей, которая не пересекает сама себя н обладает такой же снмметрней, как пространственная решетка алмаза. Сферическое изображение этой поверхности также не может иметь границы.
Можно, наконец, показать, что на минимальных поверхностях нельзя провести параболических кривых, по которым сферическое изображение могло бы быть перевернуто. В то же время сферическое изображение поверхности Неовнуса не может гладко, без складок н ветвлений, покрыть всю поверхность шара, так как в.протнвном случае эту поверхность можно было бы непрерывно отобразить на шар. Противоречие разрешается тем, что на поверхности Неовнуса имеются обезьяньи седла. В таких местах однократный обход на поверхности преобразуется в многократный обход на сферическом изображении ее 1с. 208). Сферическое изображение минимальной поверхностп Неовнуса поэтому покрывает шар в виде бесконечного множества листов, связанных друг с другом в иэображениях обезьяньнх седел. Сферическое иэображение многих 'других минимальных поверхностей обнаружнвает аналогичное поведение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
