Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 61
Текст из файла (страница 61)
двнжнннв плоских онгл Таким образом мы получили для непрерывных движений характеристику, подобную той, которую мы прежде имели для дискретных движений; всякое непрерывное движение получается при качении одной кривой по другой. При этом следует еще допустить, что обе кривые могут в1ярождаться в точки (вращенне). В качестве примера рассмотрим на неподвижной плоскости произвольную кривую й, а на подвижной плоскости — прямую я и'потребуем, чтобы прн движении некоторая'точка Р прямой 8' описывала кривую й и чтобы прн этом прямая д все время оставалась перпендикулярной к кривой й (рис. 287).
Из определения центра кривизны йепосредственно следует, что мгновенный центр М всегда должен быть центром кривизны кривой й в соответствующей точке Р. Таким образом неподвижная полодня есть эволюта т кривой й, а подвижная полодия в подвижной плоскости есть сама прямая д, так как точка М ю всегда лежит на этой прямой.
Таким об- Н разом движение получается при качении прямой д по кривой лт. При этом точка Р прямой л описывает кривую й, для ко- Н торой кривая лт служит эволютой. Расстояние двух точек на прямой я всегда равно длине дуги между соответствую- Рис. 257. щнми точками кривой т. Отсюда вытекает уже рассмотренное выше построение всякой кривой по ее эволюте прн помощи нити (с. 181). Особенно важны кривые, описываемые точками подвижной плоскости в случае, когда неподвижная н подвижная полодии представляют окружности. Эти кривые имеют различный вид в зависимости от того, касается ли подвижный круг неподвижного изнутри или извне.
В первом случае кривые называются гипотрохоидами, во втором — эпитрохоидами. Если точка, описывающая кривую, лежит на самой окружности подвижного круга, то кривая называется гипоцнклоидой нли эпициклоидой. Далее, вид трохонд и цнклоид зависит от отношения радиуса неподвижного круга к радиусу подвижного.
Предположим сначала, что радиус подвижного круга й вдва раза меньше радиуса неподвижного круга К и что подвижный круг касается неподвижного изнутри. Определим для этого случая траекторию точки Р окружности й, т. е. гипоциклоиду'). Начнем с момента, когда круг й касается неподвижного круга К ') Бсэраэлично, какую точку окружности иыбрить.
В самом дслс, ислсдстиис симмстрии этой фигуры цикиоиды, обраэусмыс различными точкамн окружности я, отличаются только углом поворота окружности й вокруг цситра окружности К. зтв гл. ч. кинематика квк раз в точке Р (рис. 258). Рассмотрим далее другое положение й, подвижного круга. Пусть при этом точка Р перешла в точку Р, и пусть М и гл1 — центры кругов К и й» а Я вЂ” их точка касания. Так как круги катятся один по другому без скольжения, то дуга ЯР, круга й~.равна дуге ЯР окружности К. Так как далее радиус круга й в два раза меньше радиуса круга К, то отсюда имеем: ~ Ят1Р~ 2 ~ ЯМР. На том же основании точка М должна лежать на окружности круга й» а потому по известной теореме относительно вписанных н центральных углов имеем: 1 2 Поэтому отрезок МР, совпадает с отрезком МР, т. е.
точка Р, при движении описывает прямую МР. Таким образом мы дока- зали поразительный факт, а именно, й что в нашем .случае гипоциклоиды суть диаметры неподвижного круга. /~, Вместе с тем отсюда вытекает новый К тг. метод построения прямолинейно над правляющего механизма. Для того чтобы определить также и соответствующие гнпотрохонды, опишем движение несколько иным способом, воспользовавшись только что полученными результатами. Именно, пусть 5 и Т вЂ” две произвольные диаметрально противоположные точки окружности круга й; тогда дуге окружности ЯТ соответствует ' при качении четверть окружности К. Точки о и Т двигаются поэтому по двум взаимно перпендикулярным диаметрам з и 1 круга К (рис.
259). Теперь легко простыми выкладками выяснить, что когда некоторый отрезок 5Г движется таким образом, что его концы описывают две взаимно перпендикулярные прямые, то середина отрезка описывает окружность, а всякая другая точка Р отрезка описывает эллипс, оси которого совпадают с прямыми з и й Длина полуосей равна двум отрезкам, на которые разбивается отрезок ВТ точкой Р. Отсюда следует, что гипотрохоиды в нашем случае представляют всегда-эллипсы. В самом деле, всякая точка, неподвижно соединенная с кругом й, лежит на одном из диаметров этого круга, т. е. на одной пз прямых, две точки которой скользят вдоль перпендикулярных прямых.
Рассмотрим теперь случай, когда круг й катится извне по кругу К В этом случае эти циклоиды имеют вид кривой е, э 4ь движении плоских ьигх 279 рис. 260. Можно доказать, что как у этой кривой, так и у всех других эпициклоид и гипоциклоид всегда имеются острия. В таких точках циклоиды перпендикулярны к неподвижному кругу. Острия соответствуют таким положениям круга, в которых точка, образующая циклоиду, является точкой прикосновения окружностей. Так как в нашем случае радиус круга й вдвое меньше радиуса круга К, то должно получаться как раз два острия. Касательная к нашей кривой обладает замечательным свойством.
Оно может быть уяснено из рис. 261. Пусть качение начинается в момент, когда точка Р, описывающая кривую, совпадает с точкой касания кругов, то есть когда эта точна образует одно острие цнклоиды. Иа чертеже изображено и другое положение й1 круга й. Точка Р прошла по дуге циклоиды в положение Рь Соединим центры М и т1 Х кругов К и йь Прямая Мтп1 проходит через точку касания Я окружностей К и л, и пересекает окружность й~ вторично т в точке Р, Пусть 1 — касательная к циклоиде в точке Рь Так как О есть мгно- тт венный центр вращения в рассматриваемом положении круга й, то направление движения точки Рь а значит, и прямая Рис.
259. перпендикулярны к ОР, ' Поэтому прямая 1 совпадает с прямой Р,К, так как угол ОР~й как вписанный угол, опирающийся на диаметр,— прямой. Подобным же свойством обладают касательные ко всем эпи- и гипоциклоидам. Из равенства дуг РЯ круга К и Р1О круга й1 в нашем случае, когда радиус круга й вдвое меньше радиуса круга К следует: ! ~ РМт."г= — ~ РнтД = ~ Р|Щ 2 Если мы проведем через точку Я прямую з, параллельную пря-. мой МР, то прямые з и т образуют равные углы с 'прямой МР.
Это можно формулировать как теорему геометрической оптики, именно: если пучок параллельных лучей (з) отражается от окружности радиуса МР с центром М, то отраженные лучи (1) огибают эпициклоиду с двумя остриями, образующий круг кото- 1 рой имеет центр М и радиус — МЯ. Острия циклоиды лежат на 2 прямой, проходящей через центр М в направлении (з).
Вследствие такого оптического свойства кривая называется также фокальиой линией круга. Эту кривую можно повседневно наблюдать в чашках и кружках. Две соответствующие эпитрохоиды изображены на рис. 260. Все эпитрохоиды не имеют особенностей, если образующая точ. гл. ч. кннемАтикА ка расположена внутри движущегося круга, и набборот, онн имеют петли и двойные точки, если образующая точка взята вие круга. Циклоиды представляют переходный случай между обоими видами трохоид. Следующий простой случай получается, когда, радиус движущегося круга втрое меньше неподвижного. Гипоциклоида Рис. 261. Рис. 260.
с тремя остриями изображена на рис. 282. Касательные к ней также обладают особым свойством, которое можно вывести ана. литическн. Отрезок касательной ЗТ внутри кривой имеет постоянную длину, не зависящую от точки соприкосновения. Этот факт раньше связы. вали с упомянутой на с. 215 геометрической минимальной задачей, заключающейся в Я следующем: требуется двигать отрезок прямой в плоскости таким образом, чтобы он повернулся на 180' вокруг средней точки и чтобы описанная прн движении часть плоскости имела наименьшую площадь. Как уже было упомянуто, надлежаще выРис. 262.
бранным движением можно эту площадь сделать произвольно малой, так что эта за. дача не имеет решения. Однако раньше думали, что задача имеет решение и что решение можно получить, заставляя огре. вок 57 так двигаться в качестве касательной вдоль треугольной 4 41. движение плОских ФиГуР 281 Рнс 264 циклоиды, чтобы концы его оставались на кривой (рис. 262). Действительно, может показаться, что этот кусок плоскости не может быть далее уменьшен. Касательные к четырехугольной гипоциклоиде, обычно называемой астроидой (рис, 263), также обладают аналогичным свойством. Именно, обозначим через 5 и Т точки пересечения касательной с'осями симметрии кривой.
Тогда отрезок БТ имеет постоянную длину. Поэтому, если заставить отрезок скользить своими концами по двум взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, то этот л + отрезок огибает астроиду. Мы уже упоминалн выше, что всякая точка'отрезка, движущегося таким образом, описывает эллипс. Отсюда можно заключить, что астроида сгибает семейство эллипсов, у которого сумма полуосей имеет постоян- Рнс. 263.
ную вел14чину (рис. 264). Вообще говоря, поведение циклоид весьма различно в зависимости от того, соизмеримы нли нет радиусы г н Я движуще- Г гося и неподвижного кругов. Если — представляет рациональное число, которое может быть записано в виде несо- 1 н 1 кратимой дроби —, то циклои- Ь' ! да имеет Ь остриев и замыкается после того, как подвижный круг сделает а обо— 1-Т =« =! ~! ротов по неподвижному. На- -4 + -1- ! г против, если — иррациональ- --.Ь-- 1 но, то кривая имеет бесконечс! но много остриев и не замы- 1 кается. Можно показать, что в этом случае ко всякой точке области, описываемой катящимся кругом, кривая подходит произвольно близко,если только продолжать движение достаточно долго.
Предельные случаи при г= оо нли Я = оо имеют особенно простой смысл. Если г = оо, то катящийся круг превращается в прямую, и мы получаем эвольвенту круга (рнс. 8, с. !4). Если же заменить неподвижный круг прямой, то получается «обыкновенная циклои- Гл ч. кинемитикА 282 дав. Такую кривую описывает всякая точка окружности колеса, катящегося по прямой (рис. 265). До сих пор мы рассматривали движения, при которых имеется только одна единственная движущаяся плоскость.
Однако физика приводит к изучению более общих явлений относительного движения. Представим себе, что, помимо неподвижной плоскости Е и подвижной плоскости е, имеется еше одна плоскость(, скользящая по плоскости Е иным способом, чем е. Тогда плоскость г будет иметь вполне определенное движение также и по отношению к плоскости е, именно такое движение, которое видит наблюдатель, связанный с плоскостью е. Движение ()Е) плоскости г относительно плоскости Е можно мыслить разложенным на движения (ге) и (еЕ). Часто изучение сложного движения можно упростить подобным разложением.
Так, особенно просто можно разложить качение двух кругов К и й. Пусть Е есть неподвижная плоскость круга К; ( — подвижная плоскость Рис. 265. круга й; М и т — центры кругов К и й. Чтобы описать движение точки гп относительно плоскости Е, нам необходимо ввести только одну плоскость е, по отношению к которой точка т неподвижна и которая вращается вокруг точки М. Движение плоскости Г' по отношению к плоскости е может быть только вращением вокруг точки ги. Угловые скорости вращений вокруг точек М и т должны быть обратно пропорциональны радиусам кругов К и й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
