Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пусть, далее, в рассматриваемом многограннике каждая грань ограничена и ребрами. Тогда ГЕ есть число ребер, ограничивающих все грани многогранника; ио при этом мы опять- таки сосчитали всякое ребро два раза, так как каждое ребро разделяет.две грани. Таким образом ГР = 2К.
Подставляя оба последних значения в эйлерову формулу, мы получаем: 2й 2й .— — К+ — =2, В г ') Пуанкаре обобщил теорему Эйлера на случай а-мерного пространства. Там вершинам, ребрам и граням соответствуют Оч 1ч 2ч ..., (о — 1)- меРиые обРазы, число котоРых мы обозначим чеРез Фз, Фь г)а .. йя ь Тогда для образов, соответствующих простым многогранникам, имеет место равенство: А)4 Ф~ + Фз+ ° ! ( 1)~ Для и 3 мы получаем формулу Эйлера. гл. чь топология или, преобразуя эту формулу, имеем: ! ! 1 1 + + в г 2 В соответствии со значением чисел и и г они должны быть равны 3 илн больше.
С другой стороны, если бы эти оба числа были больше 3, то мы имели бы: ! ! ! 1 ! ! 1 — = — + — — — ч — + — — — =О, К а с 2 4 4 2 а это невозможно. Если положим и = 3, то получим: ! 1 1 А' г 6' Таким образом для а = 3 число г может принимать только значения 3, 4, 5; тогда К получает значения 6, 12, 30. Так как наши равенства симметричны относительно п и г, то мы получаем отсюда соответствующие значения а для г = 3. Таким образом мы нашли шесть единственно возможных случаев, Причем два из них тождественны, именно; п = 3, г =3. Остаются пять различных типов, и они действительно осуществляются в правильных многогранниках ').
Особенность этого доказательства в противоположность данному раньше (с. 99) состоит в том; что мы при этом совсем не предполагали, что все грани суть правильные многоугольники. Мы предполагали только, что все грани ограничены одинаковым числом ребер и что в каждой вершине сходится одинаковое чт(ело ребер. Таким образом, если ограничиться простыми многограннйками, то «топологически правильных» многогранников существует столько же, сколько «метрически правильных».
Обратимся теперь к непростым многогранникам. В качестве примера возьмем призматический блок (рис. 273). Он представляет собой четырехгранную прижиму, из середины которой вырезана параллельно расположенная четырехгранная призма; кроме того, оба основания, общие для.обеих призм, скошены, как указано на чертеже.
Такой многогранник нельзя превратить в шар, но заведомо можею превратить в тора). другие типы многогранников можно получить подобным же способом, вырезая несколько дыр (рис. 274). Чтобы иметь возможность обозреть все такие многогранники, припишем каждому многограннику определенное число Ь, так называемую связность. Мы будем рассматривать замкнутые, не ') Подобным исе образом обобщение зйлерово)) теоремы Пуанкаре нрн. водит н определению правильных ячеек, пространств высшего числа измерений. з) Призматический блок также топологическн правилен. Ф М МНОГОГРАННИКИ пересекающие сами себя ломаные, составленные из последовательных ребер многогранника. Если некоторый многогранник разбивается на две отдельные поверхности каждой такой ломаной, то мы припишем ему связность Й = 1.
Этой связностью обладают, очевидно, все простые многогранники, так как шаровая поверхность может быть разбита на две части любой проведенной на ней замкнутой кривой. Обратно, можно непосредственно усмотреть, что всякий многогранник со связностью, равной единице, всегда может быть превращен в шар. Поэтому простые многогранники называются также простыми связными многогранниками. На призматическом блоке имеются замкнутые ломаные, составленные из ребер, не разбивающие этого многогранника (на- Рис. 274. Рис.
273. пример квадрат а на рис. 2?3), Всем многогранникам, обладающим этим свойством, мы приписываем более высокую свя м ность. Для того чтобы определить ее, рассмотрим все ломаные, составленные из ребер (не обязательно замкнутые), соединяющие две точки первоначально взятой ломаной. Если всякая такая пара ломаных разбивает многогранник, то мы приписываем ему связность И = 2. В противном случае мы продолжаем наше построение.
Вообще дадим следующее определение: Многогранник назьсвается Ь-связнгим, если можно найти на нем Ь вЂ” 1 ломаных, составленных иэ его ребер, совокупность которых не разбивает многогранника '), но нельзя найти Ь ломаных, обладающих этим свойством. При этом первая иэ этих ломаных должна быть залскнутой, а все последующие соединяют две точки предыдущих.
На призматическом блоке, как это видно из рис. 2?3, имеется система двух таких ломаных (квадрат а и трапеция Ь). Таким ') То есть лве произвольные точки миогограннииа можно всегда соединить кривой, лежащей на многограннике и не пересекающей нн одного на полкгопальнык путей. 1О Д. ГИЛЬисрт, С.
Кои-фоссеи гл.ш. топология образом этот многогранник должен быть по меньшей мере трех связным. Мы сейчас увидим, что он действительно трехсвязен. Теперь возникает вопрос, может ли быть обобщена теорема Эйлера, доказанная выше для односвязных многогранников, на многогранники произвольной связности й. Мы не можем ожидать, чтобы теорема осталась неизменной, так как при нашем доказательстве мы использовали плоскую сетку, построение которой, очевидно, возможно только для односвязных многогранников. Оказывается, можно показать, что вообще имеет место формула: Š— К+Р=З вЂ” й.
Для Ь = 1 эта формула дает доказанное выше равенство. Другой пример дает призматический блок. Очевидно, он имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней и для него имеет место равенство: 16 — 32 + 16 = 3 — 3 = О. Отсюда следует, что призматический блок в точности трех. связен. Точно так же и в общем случае теорема Эйлера является удобным средством для того, чтобы установить связность многогранника. Для этого необходимо только сосчитать вершины, ребра и грани и вовсе не нужно рассматривать ломаные, составленные из ребер. 5 43. Поверхности Мы уже видели, что простые многогранники могут быть деформированы в шаровую поверхность, а призматический блок— в тор. Подобным же способом можно заменять более сложные топологические образы многогранными фигурами.
Таким путем теория этих образов приводится к изучению фигур, составленных из простых элементов, строение которых может быть легко указано. Этот способ рассмотрения, называемый «комбинаторной топологией», имеет еще то преимущество, что он может быть перенесен непосредственно на случай числа измерений более трех. В самом деле, структура многогранника может быть полностью описана при помощи схематического указания соединений составляющих его элементов, без привлечении пространственного представления.
В интересах наглядности, наоборот, часто бывает более целесообразным положить в основу непосредственно поверхности. Так, шар представляет более простой образ, чем простоИ много. гранник, а тор более простой образ„ чем призматический блок. Поэтому мы теперь перенесем понятие связности с многогранни. ков на произвольные поверхности, % гн.
повйгхиости Для шара мы должны положить Ь = 1, а для тора 8= 3. Поверхности более высокой связности мы можем получить, расплющивая шары, сделанные из пластической массы, и проделывая в них несколько дыр (рис, 2?5). Подобные поверхности мы будем называть кренделями. Можно показать, что крендель с р дырами должен иметь связность Ь = 2р+1. На рисунке изображены системы из О, 2, 4, 6 кривых, не разбивающих на отдельные части крендели со связностью, равной 1, 3, 5, 7. Легко видеть, что всякая следующая кривая, соединяющая две точки, л=х Рнс. 276.
а .,: д . д г Рнс. 276 лежащие на краях разрезов, должна разбивать соответствующую поверхность. На поверхности можно свободнее выбирать кривые, чем это имело место на многогранниках, где мы ограничивались ломаными, составленными из ребер. Поэтому можно дать и другие определения связности поверхностей, например: на замкнутой Ь-связной поверхности можно провести Ь вЂ” 1 замкнутык кривых, не разбивающих поверхность; но всякая система, состоящая из Ь подобных кривых, непременно разбивает поверхность.
На рис. 276 изображены такие кривые для случаев 8 =1, 3, 5, 7. Можно подчинить эти кривые еще одному условию, именно, потребовать, чтобы они проходили через определенную, произвольно выбранную точку поверхности. Таким образом можно получить удобную для многих целей «каноническую систему разрезов» поверхности, примеры которых даны на рис. 285, 286, 287 (с, 299 — 300). С другой стороны, теорема ие остается неизменной, если огэаничиться системами замкнутых кривых, не пересекающих друг друга. Для поверхностей нечетной связности можно доказать, что на замкнутой поверхности связности Ь = 2р+ 1 имеет 10г Гл. Уг. ТОполОГия ся р и не более, чем р, замкнутых, не пересекающих друг друга кривых, не разбивающих данной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
