Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Эта поверхность топологически эквивалентна проективной плоскости. Существует алгебраическая поверхность, имеющая такой вид (рис. 306). Уравнение этой поверхности: (й1х'+ йсус) (х'+ у'+ аа) — 23 (х'+ у') = О. Эта поверхность связана с некоторым дифференциально-геометрическим построением. Будем исходить из точки Р на некоторой Рис. 304. Рис. 303. поверхности Р, выпуклой в точке Р. Построим круги кривизны в точке Р для всех нормальных сечений этой поверхности (с.
185 — 188). Тогда это семейство кругов опишет поверхность, изображенную на рис. 306, а ее внутреннее ребро есть отрезок нормали к начальной поверхности в точке Р; приведенное уравнение относится к прямоугольной системе координат, начало которой находится в точке Р, а оси х и у совпадают с направлениями главных радиусов кривизны поверхности Р в точке Р; й~ и йс †главн кривизны поверхности Р в точке Р. Если мы опять будем исходить из рис. 304, но при этом будем складывать только АВ с С0, но не (7А с ВС, то получим поверхность, топологически эквивалентную с мебиусовой поверхностью. При Рис. 305.
этом мы применили тот же способ склеивания границ, при помощи которого поверхность Мебиуса по определению получается из квадрата, Граница новой поверхности получается из дуг 1)А и ВС. Нотаккакточка А совпадает с точкой С, а точка В с точкой О, то из этих дуг получается замкнутая кривая, которой мы можем придать, например, форму окружности (рис. 307). Очевидно, эта поверхность не имеет само- пересечений. В двух точках, получающихся из точек А, С и В, й, поверхность искривлена не гладко, однако путем дальнейшей 11 Д. Гввьсев», С. Кев-Феееев Гл ть тОпОлОГия зн д формации окрестностей этих точек мы получаем поверхность, исирсрывио искривленную всюду.
Рис. 308 и 309 дают представление об этой иоверхиости. Несмотря иа крутовую границу, эта поверхность не может служить сосудом. В самом деле, так как она односторонняя, оиа Рис. 666. ие отделяет внутренности сосуда от внешнего пространства. Если замкнуть поверхность путем добавления круга, то мы вновь получим модель проективиой плоскости. В этом можио убедиться, и .. З66.
Рис. 307. рассматривая рис. 307 и 305. Следовательно, мы получим опять модель мебпусовой поверхности, если вырежем круг из модели проективиой плоскости. При этом безразлично, в каком месте поверхности, изображеииой иа рис. 305, мы вырежем дыру, ибо иа проектпвиой плоскости никакое место пе выделяетоя по сравиеишо с другими, так как па шаре никакая пара диаметрально противоположиых точек ие отличается от друч их пар. Осоосиио наглядный вид получает оставшаяся часть иоверхиости, сели удалить ии7ки|ою часть фигуры, изображенную иа рис.
305. Тог- ! гг, пговктивгия плоскость клк злмкнттля повсгхность з!ч да получается поверхность, изображенная на рнс. 310, называемая «скреп!еиным колпаком». Скрещенный колпак представляет новую модель мебнусовой поверхности, имеющую круговую грангщу, Несмотря на односторонность, скрещенный колпак, очевидно, может служить крышкой сосуда. Это возможно поточу, что зта поверхность обладает линией самоперессчения. Если разрезать скрсщепный колпак вдоль линии самоперессчения, то можно получить путем соответствугощей деформаппи круг с четырехугольной или круглой дырой; в самом деле, мы просто в обратном порядке проделынаем построение,изображенное на рпс. 303 — 305. Следовательно, мы полу игл! модель чеби- Рис.
З09. усовой поверхности, если будем исходить пз плоской области, закл!Оченноп ме?Клу дву".!я кон!гент)гическп!ги ок1гужностя'!н, и отождсствпм все пары диаметрально противоположных то!с; внутренней окружности (рис. 311). С первого взгляда трудно за!!етптгь что получившаяся фигура представляет ту же саму!о поверхность, что п квадратная модель таблицы на с. 309. Однако можно получить квадратную модель из этой, если последшою разрезать (рпс. 312), деформировать полу швшиеся части (рис. 3!3) и, перевернув одну часть вокруг прямой Ь', частично склеить границы, а частично привести нх в соответствие (рис. 314). Наша модель проективной плоско- сти имеет две особые точки, а именно Рнс.
319. две конечные точки линии самопере. сечения. Бой построил другую модель проективной плоскости, которая не имеет особых точек и искривлена всюду непрерывно. Чтобы получить поверхность Боя, нужно исходить не пз квадрата, а из правильного шестиугольника, диаметрально противоположные точки границы которого опять. таки следует ото. >кдествлять. Путем деформации мы получим нгаровую поверх. ность, из которой вырезан праввльный шестиугольник со сторонами, образованными дугами кругов. Эту фигуру, так же как и ГЛ И1, ТОПОЛОГИЯ 313 шестиугольник, можно разбить на три конгруэнтные части, расположенные симметрично вокруг некоторой оси !рис.
3!5). Вырежем одну из этих частей и будем деформировать ее дальше. Рис. 31!. Рис. 3!2 с а' Рис. 313. Рис. 3!4. Эту деформацию, которая будет описана ниже, применим затем к оставшимся двум частям поверхности и таким образом получим три новых коигруэнтных куска поверхности.
Складывая их, Рис. 3!5. Рис. 3!7. Рис. 3!6. получим в конечном итоге поверхность Боя. Эта поверхность обладает также трехкратной осью симметрии. Кашей целью яв- А а. пРОектиВИАя плоскость кАк зАмкнутАя пОВеРхнОсть 3!7 ляется совмещение противоположных точек границы шестиугольника, вырезанного из поверхности шара.
Итак, представим себе кусок поверхности ВСАаВЬСао (рис. 315) и прежде всего приведем к совпадению в точке Утри 1 а т Р . 3!В. Рнс, 3!9. точки А, В, С (рис. 316), не отождествляя их, однако, ибо зто ие соответствовало бы закону отождествления точек границы, из которого мы исходим. Закрепим теперь точки 8 и У и стороны Ь, с и Н, вывернув кверху замкнутую сто- 77 рону а (рис. 317) так, что она займег положение, изображенное на рис.
313. с' Б" Часть поверхности, заключенную между, с' а'" сторонами с и а, придется при этом сильно растянуть так, что она станет почти плоской. Повернем теперь петлю Ь на- Б и' х с. право вверх (рис. 3!8) так,чтобы онана- с н дошла снизу к вышеупомянутой части по- Ф й верхности и заняла положение, изобра- Б женное на рис. 3!9. В этом окончательном расположении дуги с и а должны быть конгруэнтны друг другу, петли а и Ь так- Рнс. 3№ же конгруэнтны друг другу, так что при поворачивании нашей фигуры вокруг оси ВУ в направлении, ука- 2я Ванном стрелкой, на угол 3 дуга с должна совпасть с И, а Ь с а (рис.
319). Представим себе теперь, что мы приготовили вто- гл. ю. топология з~в рой конгруэнтный экземпляр такого же куска поверхности, причем соответствующие части обозначим соответствующими буквамн а', 5' н т. д. Наложим этот экземпляр па первый таким образом, чтобы й' совпала с с (и именно так, чтобы точка 5' Рис. 321. совпала с точкой 5, а точка У' с точкой Ф). Тогда дуга а' должна совпасть с дугой Ь.
Сложим обе этп границы вместе. Кривая ФЬ превратится в кривую самопересеченпя получившейся поверхности, как это видно на рис. 319. Граница поверхности теперь состоит из дуг с', а, Ь', и'. В этом легко убедиться, если снова обратиться к шестиугольнику, от которого мы исходили (рис. 320). Очевидно, к этой границе можно приложить третий экземпляр таким образом, чтобы (применяя соответствующие обозначения) дуга и' совпала с дугой с", а с Ь", Ь' 3 аа, норм.
ФОРмы пОВВРхнОстей коначной связности 319 с ам и с' с Ы". Таким образом мы построили поверхность Боя. На рис. 320 видно, что поверхность Боя эквивалентна проектнв. ной плоскости. Модель такой поверхности, сделанная из проволочной сетки, изображена на рис. 321. Кривая самопересечения поверхности Боя состоит из трех петель, проходя1цих через точ. ку М, и так же, как и вся поверхность, симметричных относительно осн 5М.'Более детальное рассмотрение рис. 320 показывает, что через точку М проходят три полости поверхности. Для того чтобы эти три полости имели в точке М непрерывную касательную плоскость, необходимо и достаточно, чтобы шесть концов петель, сходя1цнхся в точке М, имели в этой точке трн попарно перпендикулярных касательных. Если в остальных швах имеется не непрерывное изменение кривизны или изломы, то нх можно устранить простым разглаживанием.
На модели (рис. 321) кривая самопересечения сделана нз более толстой проволоки. Другие толстые проволоки служат только для жесткости; закрепляющий винт помещен в точке 5. Связь этой модели с нашим построением наглядно выступает на рис. 321, б. В соответствии с этим поверхность Боя имеет всюду непрерывное сферическое изображение.
К сожалению, до сих пор не выяснено, каким образом зто изображение простирается на шаре '). Если при этом мы будем исходить от произвольного нормального вектора и будем непрерывно строить изображение, то вследствие односторонности поверхности Боя мы заведомо придем к противоположно направленному нормальному вектору в той же точке, Таким образом всякой точке поверхности прн сферическом отображении соответствует пара диаметрально противоположных точек шара. Но так как прн таком отождествлении шар снова переходит в проектнвную плоскость, то сферическое отображение поверхности Боя дает отображение проективной плоскости на самое себя, которое, конечно, не взаимно одно. значно, так как паре точек шара, очевидно, соответствует несколько точек поверхности Боя, й 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
