Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

Как показывают исследования в геометрии Лобачевского, гиперболические группы сдвигов с 4р-угольной конечной фундаментальной областью определяются бр в 6 постоянными с точностью до гиперболического движения. Поэтому каждой ориентируемой замкнутой поверхности рода р ) 1 соответствует бр — б модулей, В теории функций этот способ применяется главным образом к римановым поверхностям алгебраических функций. Отображения У- Е в случае р=1 приводят к эллиптическим функциям, а в случае р ) 1 — к автоморфным функциям, изученным Клейном и Пуанкаре.

Незамкнутые поверхности приводят к группам с бесконечной фундаментальной областью. В теории функций такие группы встречаются, например, при изучении показательной функции и эллиптических модуль-функций. 5 51. Задачи о соседних областях, задача о нити и задача о красках В заключение мы рассмотрим три родственных друг другу вопроса, возникаю~цих при разбиении некоторой поверхности на различные области. Такое разбиение плоскости встречается, например, на политических картах. Далее деление произвольных Рис. 323. Рис.

324. Рис, 323, поверхностей на области встречается в комбинаторной тополо. гин, когда кривая поверхность заменяется топологически эквивалентным ей многогранником. Для того чтобы определить грани многогранника, необходимо разбить кривую поверхность на области.

Задача о соседних областях состоит в том, чтобы определить на некоторой поверхности максимальное число областей так, чтобы всякая область граничила со всякой другой вдоль некоторой кривой '). Мы рассмотрим эту задачу сначала на плоскости, ') При этом нет необходимости, чтобы области целиком покрывали всю поверхность. зза ГЛ. ЧЬ ТОПОЛОГИЯ причем выберем две области ! и 2, соприкасающиеся вдоль некоторой кривой. Если мы возьмем третью область так, чтобы она охватывала области ! и 2 целиком, то мы уже не сможем определить четвертую область так, чтобы она граничила со всеми тремя областями (рис. 323).

Если же мы расположим третью область так, как изображено на рис. 324, то легко найти соответствуюшую четвертую область. Однако, как бы мы ни выбрали четвертую область, всегда одна из остальных областей будет целиком окружена другими областями так, что уже нельзя найти пятой области, граничашей со всеми остальными четырьмя. Наши опыты показывают, что максимальное число соседних областей на плоскости есть 4. Это можно доказать строго. На рис. 325 изображено особо симметричное расположение этих областей. Задача о нити представляет собой двойственное обращение задач о соседних областях (причем двойственность следует понимать в смысле топологического обобшения пространственного принципа двойственности проективной геометрии).

Суть задачи о нити состоит в том, чтобы определить максимальное число точек, расположенных на некоторой поверхности так,что эти точки могут быть соединены кривыми, лежащими на поверхности и не пересекающими друг друга. Простое рассуждение показывает, что максимальное число должно совпадать с максимальным числом соседних областей на той же поверхности.

Для доказательства выберем в каждой из соседних областей одну точку. Так как все соседние области граничат вдоль некоторой кривой, то мы можем каждые две точки соединить кривой, лежащей только в двух смежных областях. Получаюшиеся таким образсм кривые мы можем провести так, чтобы отрезки кривых, лежащие в одной и той же области, не пересекались друг с другом; в самом деле, нам нужно только соединять некоторую точку, лежащую внутри области, с определенными точками границы.

Таким образом всякое расположение и соседних областей дает одно решение задачи о нити с и точками. Максимальное число точек в задаче о нити поэтому по крайней мере равно максимальному числу соседних областей. Обратно, всякое решение задачи о нити с а точками дает одно расположение а соседних областей.

Для этого нужно разбить всякую кривую, соединяюшую две точки, на две части и расширить каждую точку вместе с исходящими из нее частями кривых до области на поверхности путем присоединения окружающих эту точку частей поверхности. Тогда мы получим и звездообразных областей, которые всегда граничат друг с другом.

Следовательно, максимальное число соседних областей по крайней мере равно максимальному числу точек задачи о нити. Так как мы только что ЭМ. ЗАДАЧИ О СОСЕДНИХ ОБЛАСТЯХ доказали обратное, то отсюда следует, что оба максимальных числа равны, Эти максимальные числа были определены не только для поверхностей со связност~7ю, равной единице, но и для других поверхностей. Для проективной плоскости и для тора эти числа равны 6 и 7. Примеры подобных расположений приведены на рис. 326 и 327, При этом проективная плоскость изображена при помощи круга, в котором отождествлены диаметрально противоположные точки периферии, а тор изображен при помощи квадрата с обычным соответствием сторон.

Рис. 326 соответствует проекции додекаэдра, изображенной на рис. 167, с. 153, Рис. 326. Рис, 328. Рис. 327. Рис, 328. дает решение задачи о нити в проективной плоскости, отвечающее делению на области, изображенному на рис. 326. В тесной связи с задачей о соседних областях находится задача о красках, которую можно представить в виде задачи практической картографии.

Пусть на некоторой поверхности начерчено определенное число областей. Каждая из этих областей выкрашена определенной краской, причем никакие две области, граничащие вдоль некоторой кривой, не выкрашены в одну и ту же краску; если же две области соприкасаются только в одной точке, то они могут быть выкрашены одинаковой краской, Требуется для заданной поверхности определить минимальное число красок, достаточное для подобной раскраски прп всяком возможном делении поверхности на области, Число это во всяком случае должно быть не меныпе максимального числа возможных соседних областей на поверхности. В самом деле, для какой-нибудь системы расположения соседних областей необходимо, чтобы каждая область была выкрашена в другую краску. Обратно, напрашивается мысль, что это максимальное число и достаточно.

В самом деле, было доказано, что на проективной поверхности достаточно шести красок, а на торе в семи красок для раскраски по нашим правилам при любом выборе областей, Однако подобное же предположение от- ГЛ. У!, ТОПОЛОГИЯ иосительно плоскости и шара, а именно, что для этих поверхностей достаточно четырех красок, до сих пор не доказано ').

Рассмотрим прежде всего деление на области в плоскости. Три соседние области на рис. 329,а необходимо выкрасить тремя различными краскамн 1, 2, 3, Тогда можно выкрасить четвертую область, граничащую с областями 2 и 3, нли краской 4 или краской 1. Если мы выкрасим эту область краской 4, то четырех красок нам не хватит при таком разделении на области, которое изображено на рис. 329, б.

Таким образом в этом случае нам нужно выкрасить эту область краской 1. Однако при такой раскраске мы наталкиваемся на трудности при делении на области, изображенном на рис. 329, в; здесь зта область должна быть выкрашена краской 4. Из этих примеров следует, что окраска первых четырех областей определяется расположением д) Рис. 329. .дальнейших областей. При присоединении новой области в зависимости от обстоятельств приходится уже закрашенные области вновь перекрашивать; отсюда все трудности этой задачи. Теперь мы покажем путь, позволяющий нам разрешить задачу о красках для целого ряда замкнутых поверхностей.

При этом мы будем деформировать поверхность таким образом, чтобы она превратилась в многогранник, а отдельные области превратилнсь бы в боковые грани многогранника '). Очевидно, до. статочно разрешить задачу для всех многогранников, имеющих ту же связность, как и заданная поверхность. Прежде всего докажем следующее: всякий многогранник связности Ь может быть выкрашен максимум л красками, если число п таково, что для всякого целого числа Р ) л выполнено: ПР > 6(Р+ А — 3).

') Задача о четырех красках решена положительно в 1976 году Аппелем и Хакеиом; см. Арре! К., На )ге п тг'. Ечегу р)апаг шар !а 1опг со!опгаые,— Вп!1. Ашег. Магь. Бос., 1976, 82„№ 5, р. 711 — 712. Относительно карт иа дру. тих поверхностях см. Р и и гель Г. Теорема о раскраске карт.— Мп Мир, 1977, — Прим. ред.

4] Как показывают примеры, изображенные иа рис. 329, такая деформа. пия вообще воаможиа лишь в том случае, если допускаются также и кривые боковые грани. Для последующего докааательства вто несущественно. $ аь БАдАчн о соседних ОБлАстях ззв Затем мы определим для всякого заданного положительного гь минимальное число ил, обладающее этим свойством, Тем самым будет доказано, что всякая замкнутая поверхность связности Ь может быть выкрашена прн всяком делении на области пь красками, Представим себе теперь, что связность Ь задана вместе с некоторым целым числом п, которое прн данной й удовлетворяет заданному условию.

Характеристики

Список файлов книги