Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Отсюда следует, что все преобразования, сохраняющие окружности, сохраняют неизменными уельь Связь отображений а и а' наглядно представлена иа рис. 244,а и б выделением окружности й, проходящей через точку Р плоскости, которая является стереографической проекцией большого круга 1 шара. Отображение а' переводит боль~ шой круг! в большой круг и, проходящий через точку Ф, стереографической проекцией которого служит прямая а.
Таким образом отображеиие а переводит окружность я в прямую л. Из чертежа можно усмотреть далее, что виутреииость и виешиость окружности я переходят в полуплоскости, ограиичеи.- иые прямой л, что, впрочем, ясно из соображений Непрерыв- ности ф за стегеоггленческля пгоекция 253 Перевертыванне и плоскости вокруг прямой у является пре. образованнем, сохраняющим окружности. В соответствии сэтнм отображение 4 = аиц-' представляет собой преобразование, сохраняющее окружности, которое сохраняет неподвижными Рис. 244.
точки окружности А, а внутренность н внешность этого круга переводит дрчг в друга. Отображение 4 называется инверсией нлн зеркальным отражением по отношению к кругу й. Это отображение особенно важно, н поэтому мы его рассмотрим не. сколько подробнее. Пусть Ь представляет окружность, пересекающую ортогонально в некоторой точке Я окружность л (рнс.
245). Тогда окружности 6 н й имеют еще одну общую точку Ю, в которой они также пересекаются ортогонально. Касательные к окружности й в точках Я н 5 суть радиусы окружности К которые пересекаются в центре М окружности л; следовательно, центр М гл. пс диееааенциальнлнтаомкггия лежит вне круга Ь. Инверсия ~ переводит окружность Ь в дру гую окружность Ь', также проходящую через точки К н $, так как этн точки остаются неизменными. Окружность Ь' вследствие сохранення углов прн ннверсин должна также пересекать окружность Ь в точках Я н 8 ортогонально. Но это возможно лишь в том случае, если Ь' тождественна с Ь. Таким образом инверсия ! переводит всякую окружность Ь, пересекающую ортогонально окружность Ь, в самое себя.
Так как прн этом преобразовании внутренность н внешность круга Ь переходят одна в другую, то н обе дуги окружности Ь, на которые эта окружность разбивается окружностью Ь, так. же должны поменяться местами. Р Рассмотрим теперь некоторую М прямую Ь проходящую через точ- Л Р ку М, например прямую ИМ„ пусть эта прямая пересекает окружность Ь во второй точке Д' (рнс. 245); тогда прямая 1 должн на перейти в окружность нлн в прямую Р так, что Р будет перРис. 245. пенднкулярна к Ь в точках Я и й'.
Это возможно только в том случае, если Р тождественна с Ь Поэтому преобразование инверсии переводит все диаметры круга Ь в самих себя. Так как этн прямые на расшнренной плоскостн имеют помимо точки М еще одну общую точку, именно бесконечно удаленную точку У, то точки М н У должны переходить одна в другую. Следовательно, совокупность прямых, не проходящих через точку М, н-совокупность окружностей, проходящих через точ. ку М, должны взаимно переходить друг в друга.
Пусть теперь имеем точку Р окружности Ь, отличную от точек к н 8, Тогда прн инверсии ~ нзображеннем точки Р может быть только вторая точка пересечения Я прямой МР с окружностью Ь, так как прямая МР, так же как н окружность Ь, пере. ходит в самое себя. Согласно элементарной теореме относительно произведения отрезков хорд в круге имеем: МР ° МСг МЯа* Точка Я называется инверсией точки Р относительно окружности Ь; мы нашли способ определять для каждой точки Р инверсию ее относительно окружности Ь н без вспомогательной окружностн Ь.
Именно, пусть г — раднус окружности Ь; тогда точку 9, представляющую инверсию точки Р, мы можем определить на полупрямой МР, выходящей из точки М, так, чтобы в м. ставаогглеичаскля пгоакпия удовлетворялось равенство Мр МО= . Можно доказать, что всякое преобразование, сохраняющее окружности, можно свести максимум к четырем инверсиям.Мы рассмотрим особо совокупность преобразований, сохраняющих окружности, которые переводят определенный круг й вместе с его внутренностью в самого себя. Эти отображения, очевидно, образуют группу Н. Пусть л — круг, ортогоиальный к л; тогда инверсия относительно л во всяком случае принадлежит к группе Н.
Можно показать, что всякое отображение, принадлежащее группе Н, можно получить тремя инверсиями, основные окружности которых ортогональны к А, т. е. такими тремя инверсиями, которые сами принадлежат к группе Н. Теперь поставим наши исследования в связь с моделью пло. скости Лобачевского, которую мы построили в предыдущем параграфе. Пусть гиперболическая плоскость представлена внутренностью.
круга т в горизонтальной плоскости. Положим на плоскость шар в точке, представляющей центр круга; пусть шар имеет радиус, равны» радиусу этого круга (рис. 246). Будем Рис, 246, теперь проецировать круг т и его внутренность вертикальными прямыми на нижнее полушарие, 'ограниченное большим кругом 1, конгрузнтным с окружностью ги. При этом наше полушарие превратится в новую модель гиперболической плоскости. Всякая хорда д круга ш переходит в полуокружность е на шаре, ортогональную к окружности й Поэтому эти полуокружности следует теперь рассматривать как изображение гиперболических прямых.
Теперь будем стереографически проецировать это полушарие обратно на плоскость; при этом наша проекция займет некоторый круг л. Внутрениостьэтогокруга,такимобразом, гл. нс дноеарннцндльнля гкоматоия превратилась в новую модель гяперболнческой плоскости. 14а этой модели полуокружность п вследствие сохранения углов н окружностей прн стереографнческом проецировании перехо. . днт в дугу окружности и, ортогональную к окружности й. Катям дугам окружностей следует, конечно, добавить диаметры окружности й как предельные случаи. Рассмотрим более подробно эту новую модель, предложенную Пуанкаре.
Из нашего рассмотрения следует, что совокупность дуг. окружностей, ортогональных к й, можно взаимно однозначным способом ноставнть в соответствие с совокупностью хорд другой окружности лг. В сну лу этого две точки А н В внутри круга й мы всегда можем соединить только одной такой дугой. Пусть Я н 8 — две точкн пересечения такой дугнс окружностью й (рнс. 247); тогда мы можем получить гиперболическое расстояние между точ- Я камн А н В нз формулы (1) на с. 243. Действительно, пусть. А'В'Н'8' — те точкн первоначальной модели, нз которых прн описанном построении вози нклн точки АНЯМ; тогда прн помощн теорем проектнвной геометрии можно установить соотношенне АЛ ° ВЯ А'л' ° В'5' Вк ° АУ В'й' ° А'В' ' (1) Отсюда для гиперболического расстояния з между точками А н В нашей новой модели получается формула: з=с~1п Во .Ай ° ВЯ (2) Всякое движение гиперболической плоскости вдбпь самой себя должно соответствовать некоторому отображению а внутренностн круга й, которое переводит в самое себя совокупность дуг окружностей, ортогональных к окружности й.
Вполне очевидно н может быть строго доказано, что такое отображенне представляет преобразование, сохраняющее окружности, н, следовательно, принадлежит к рассмотренной выше группе Н. По. мимо того можно доказать, что группа Н тождественна с группой всех гнперболнческнх двнженнй '). Теперь ясно, что ото. браження группы Н как преобразовання, сохраняющие окруж- ') В качестве движений принимаются во внимание здесь также такие отображения, сохраняющие длину ва гиперболической плоскости, которые не могут быть воспроизвекеиы непрерывно.
Простое движение подобного рода может быть представлено всякой инверсией, входящей в состав группы Ог 4 ж стеипогплоичвскля ппоехция ности, сохраняют неизменными углы, а также гиперболические углы, так как эти отображения представляют гиперболические движения. Отсюда следует, что евклидовы углы в модели Пуанкаре должны быть пропорциональны гиперболическим углам с постоянным коэффициентом пропорциональности, а так как полный угол, равный 2п гиперболической плоскости, должен оставаться неизменным, то коэффициент пропорциональности должен равняться единице. Модель Пуанкаре должна сохранять углы неизменносми.
Можно установить аналитически формулу преобразования для непосредственного отображения заданного куска поверхности постоянной отрицательной кривизны с сохранением углов на кусок плоскости внутри окружности й так, что при этом геодезические линии отобразятся в виде дуг окружностей, ортогональных к окружности й. Проследим теперь доказательство теоремы, приведенной на с. 246, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше и.
Будем исходить из произвольного треугольника АВС и возьмем за основу модель Пуанкаре (рис. 248). Согласно аксиомам конгруэнтности, которые сохраняют силу в геометрии Лобачевского. мы можем начертить треугольник А'В'М, коигруэнтный .треугольнику АВС, причем точка М, соответствующая точке С, будет центром окружности л. Но мы видели (с. 253), что всякая окружность, ортогональная к окружно- е' . сти й и проходящая через точку М, необходимо должна вырождаться в диаметр ! окружности я, между тем как окружности, ортогональные к окружности й, но ри„й4к не проходящие через точку М, должны оставлять точку М вовне. Поэтому в нашей модели гиперболические прямые А'М н В'М должны быть представлены евклидовыми прямыми, а гиперболическая прямая А'В' — дугой окружности, оставляющей точку М вовне.
Евклидовы углы при точках А' и В' превращаются поэтому в углы треугольника А'В'М, ограниченного двумя прямымн и одной дугой окружности„т. е. в углы меньшие, чем углы треугольника А'В'М, образованного прямолинейными отрезками, а потому сумма углов остается меньшей и, Вследствие сохранения углов на модели то же самое нмеет место и для суммы гипер« «перевертываиие» гиперболической плоскости вокруг прямой. Как было укаваио иа с. 255, всякие гиперболическое лвижеиие равносильно самое большее трем перевертываииям.
9 д. гнньбсрт, С. Канньсссен гл. пс диефзгенпнхльнля гаометгня болических углов гиперболического треугольника А'В'М и конгруэнтного с ннм треугольника АВС. Напрашивается мысль отыскать дискретные группы гиперболических движений. В случае эллиптической геометрии эта задача приводилась к рассмотрению правильных многогранников, и там было немного групп подобного рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
