Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

5 34. Эллиптическая геометрия На кривых поверхностях следует рассматривать геодезические линии как аналоги прямых на плоскости. Исследуем теперь эту аналогию более подробно. Простейшее построение плоской геометрии основывается на вычерчивании прямых и нанесении отрезков и углов. Если перенести эти построения на кривыеповерхности, то прежде всего возникает следующее принципиальное различие: на плоскости мы всегда клали в основу прямые на всем нх протяжении, между тем как на кривых поверхностях мы'всегда рассматривали только малые куски в соответствии с дифференциально-геометрической точкой зрения. Поэтому мы должны ограничиться такими построениями, которые не выходят из пределов куска поверхности и которые, следовательно, соответствуют рассмотрению малой области на плоскости.

') То есть эллнптнческую н гнперболнческую геометрнн. Факт существовакнк гиперболической геометрнн, т. е. геометрнн Лобачевского, имевший огромное прннпнпнальное эначенне, был впервые обнаружен велнннм русским ученым Н. И. Лобачевским, давшим подробное построенне этой геометрам. См. также два следующих параграФа, — Прим. рад.

ГЛ. Пл ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМвтГИЯ На всяком достаточно малом куске кривой поверхности можно провести через две не слишком близкие к границе точки одну и только одну дугу геодезической линии, так же как на всякой области плоскости через две не слишком близкие к границе точки можно провести одну и только одну соединяющую нх прямую, расположенную в данной области ').

На всяком куске поверхности можно построить угол с геодезическими сторонами таким же образом н так же его переносить, как угол с прямолинейными сторонами на куске плоскости. Точно так же перенос геодезических отрезков подчиняется тем же законам, что и перенос прямолинейныхотрезков на куске плоскости.

Но уже при простейших построениях, состоящих из этих трех элементов, а именно, при построении конгруэнтных треугольников, аналогия, вообще говоря, нарушается. Два треугольника называются конгруэнтными, если при соответствующем наложении вершин соответствующие стороны и углы равны. Очевидно, это понятие может быть перенесено на геодезические треугольники на кусках кривых поверхностей. Если теперь мы на куске плоскости будем исходить от треугольника АсВсСз и подберем для. точки А точки В и С так, чтобы было АВ = АсВз, АС = = АсСс и л ВАС = л'ВсАзСз, то согласно первой теореме 'о конгруэнтности; треугольник АВС конгруэнтеи с треугольником АсВсС,; при этом следует только предположить, что точка А расположена так далеко от границы области, что все эти построения возможны в пределах области.

Если, однако, предпринять аналогичные построения на куске кривой поверхности, то геодезическая дуга ВС, вообще говоря, имеет длину, отличйую от ВсСс. Таким образом не может быть речи о конгруэнтности двух треугольников АВС и АзВсСс. В одном случае, однако, можно перенести первую теорему конгруэнтности на геодезические построения, — именно в том случае, когда кусок поверхности обладает постоянной гауссовой кривизйой. Тогда мы можем так изгибать наш кусок поверхности, что точка А совпадет с точкой Ас и геодезические стороны угла ВсАсСс совпадут с соответствующими сторонами угла ВАСа). Вследствие сохранения длин и углов при изгибании точка Вз совпадет с точкой В и точка Сс — с точкой С; таким ') В случая, ясли граница нс,всюду выпукла, прямая, соединяющая дае достаточно близкнс к гранина точки, может частнчио лежать внс области.

') Это нс всегда возможно сделать прн помощи непрерывного прсобразовавия; невозможно зто сделать даже на плоскости, где, как нззсстио; н зеркальные преобразования следует отисстн к совмсщсиням. На позсрхиоств с постоянной нс равной нулю кривизной также существуют отображения, сохраняющие длину и соответствующие зеркальным отображениям. % м. эллиптическая ГеОметРия азт образом в этом случае треугольникн АРВРС0 н АВС дслжны быть конгруэнтнымн.

Аксиоматический анализ плоских геометрнческнх построеинй показывает, что все теоремы относительно конгруэнтноггн фигур можно свести логнческн к первой теореме конгруэнтностн. Следовательно, на поверхностях с постоянной кривизной для укаэанных нами построений осуществляется полностью аналогня с геометрией на куске плоскости, Первую теорему конгруэнтностн мы перенесли на поверхности с постоянной кривизной так, что мы связали с ними группу изгибаний с-тремя параметрами.

Можно, однако, эту связь логически обратить. Если на какой-нибудь поверхности нмеет место теорема конгруэнтности для геодезических треугольников, та отсюда следует, что поверхность должна обладать семейством отображений, сохраняющих длину, с тремя параметрами н потому должна обладать постоянной гауссовой крнвнзной. Прежде всего нз описанного выше построения треугольников вытекает, что для достаточно малого геодезического треугольника всегда Можно подобрать ОО' конгруэнтных треугольников. Но если положнть в основу некоторый треугольник, то при помощи нанесения отрезков и углов н повторного прнмененняпервой теоремы конгруэнтностн можно целиком измерить поверхность по таким же принципам, которые прнменяются в практике измерений на земной поверхности.

Всякому конгруэнтному нанесению основного треугольника соответствует поэтому некоторое отображение куска поверхности с сохранением длин. Таким сбразом мы-показали, что поверхности с постоянной гауссовой кривизной суть единственные, на которых имеет место пс гзп теорема.конгруэнтностн для геодезнческнх треугольников.

Чтобы проследить дальше аналогню этих поверхностей с плоскостью, мы должны теперь попытаться устранить ограничение только малыми областями. Начнем с поверхностей, постоянная гауссова кривизна которых положнтельна. Напрашивается мысль начать с шаровой поверхностн. Однако тем, что мы рассматрнвает эту поверхность в целом, аналогия с плоскостью нарушается в существенном пункте. Геодезические лннин шара суть большие круги; через две диаметрально противоположные точкн шара, однако, проходнт бесконечное множество больших кругов, между тем как на плоскости через две точкн всегда можно провести только единственную прямую, соединяющую нх.

Далее, в то время как на плоскости две прямые нмеют не более одной точкн пересечения, два больших круга на шаре всегда пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Никакую другую поверхность 'с постоянной положительной крнвнзной, кроме шаровой, мы уже потому не можем рассматрн. гл. пк днФФеввнцнкльнкя гаомвтвкя вать как аналог плоскости, что все такие поверхности имеют особые точки или границы. Простой абстракцией, однако, можно устранить мешающее нам свойство шаровой поверхности. Именно, выделим поверхность полушария н будем рассматривать каждую пару диаметрально противоположных точек большого круга, ограничивающего это полушарие, как одну единственную точку.

Далее, если какая-нибудь сферическая фигура выйдет за пределы граничного круга, то будем заменять точки, попадающие вне рассматриваемого полушария, диаметрально противоположными точками, которые будут находиться на рассматриваемом полушарии (рис. 231). Таким образом мы получим точечный образ, обладающий всеми теми свойствами, из которых мы исходилн. Во-первых, всякий достаточно малый кусок отображается ссохраненнем длин на кусок шаровой поверхности. Во-вторых, граница не препятствует нанесению отрезков и соединению двух точек геодезическими линиями. В-третьих, Рвс.

23!. две различные точки всегда можно соеди- нить единственной геодезической линией, а две геодезические линии никогда не пересекаются более чем водной точке; это следует нз того, что пары диаметрально противоположных точек, которые содержит наш образ, рассматриваются всегда как одна точка. Аналог плоской геометрии, который имеет место на этой модели поверхности, называется эллиптической геометрией (или геометрией Римана), а сама поверхность называется моделью эллиптической плоскости.

Другую модель эллиптической плоскости, очевидно, можно получить, если исходить из всей шаровой поверхности и рассматривать всякую пару диаметрально противоположных точек как одну точку. Рассмотрим теперь эллиптическую геометрию, причем будем называть большие круги прямыми, а дуги больших кругов отрезками. Тогда бросаются в глаза два отличия эллиптической геометрии от обычной евклидовой геометрии. Во-первых, эллиптические прямые суть замкнутые кривые, между тем как евклидовы прямые имеют бесконечное протяжение. Во-вторых, две эллиптические прямые всегда имеют точку пересечения, между тем ко всякой евклидовой прямой существуют параллельные линии, не пересекающие ее.

Полностью можно обозреть взаимоотношения эллиптической и евклидовой геометрии, если исходить из аксиом евклидовой плоской геометрии н проверить для каждой аксиомы, удовлетворяется ли она также н в эллиптической геометрии или она 4 м. эллиптическая Геометрия должна быть заменена несколько иной аксиомой, Мы уже прежде упоминали аксиомы сочетания (с. 123) н аксиомы не. прерывности (с. 136), Всю евклндову плоскую геометрию можно полностью построить, исходя нз пяти групп аксиом: аксиом сочетания, порядка, конгруэнтностн, аксиомы параллельности н аксиом непрерывности. В основе каждой группы аксиом лежат определенные понятия; так, напрнмер, для аксиом сочетания такими понятиями служат понятна точки, прямой н инцидентностн. Другне понятия могут возникать лишь в связи с определенными аксномамн, как, например, понятие отрезка нлн поня. тне полупрямой возникает в связи с аксиомами порядка.

Понятие отрезка в свою очередь есть основа аксном конгруэнтностн, так что аксиомы конгруэнтностн требуют для нх формулировки определенных аксиом порядка. Прнведем теперь аксиомы евклн. давай плоской геометрнн '). 1. Аксиомы сочетания: 1. Через две точки проходит одна и только одна прямая. 2. Всякая прямая содержит ло крайней мере две точки. 3, Существует ло крайней мере три точки, не расположенные на одной и той же прямой.

Характеристики

Список файлов книги