Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Путь, который прн этом описывает середина отрезка АВ, будет сколь угодно близок к геодезической линии, если выбрать дугу АВ достаточно малой. Это определение делает понятным то, что через каждую точку в любом направлении проходит в точности одна геодезическая линия. Далее, в соответствии с этим определением можно приближенно построить геодезическую линию таким способом: ') 11а внешней стороне выпуклого куска поверхности нить сама собой располагается на поверхности; в других случаях необходимо проследить аа тем, чтобы нить нн в одной точке не покидала поверхности.
222 гл ш. диоогпвнциллюгая геометрия пусть по поверхности катится возможно малая двухколесная коляска, колеса которой жестко связаны с осью и, следовательно, имеют одинаковую скорость вращения. Так как мы желаем, чтобы автомобиль мог ездить на земле не только по геодезическим линиям и так как в целях сохранения шин н по другим основаниям нам желательно предотвратить скольжение колес, то приходится позаботиться о том, чтобы оба задних колеса автомобиля имели возможность вращаться с различной скоростью.
Третье определение геодезических линий как «прямейших» связано уже не с внутренней геометрией поверхности, а с положением поверхности в пространстве. Именно, дуга геодезической линии во всех своих точках имеет наименьшую кривизну по сравенню со всеми теми кривыми на поверхности, которые имеют с дугой геодезической линии общую касательную в данной точке. Это свойство определяет геодезическую линию на всем ее протяжении, если задать одну из ее точек и ее направление в этой точке. Эту линию можно получить, если в заданной точке и в заданном направлении протянуть упругую прямую вязальную спицу и пригибать ее к поверхности так, чтобы она могла двигаться по поверхности только вдоль самой себя.
Так как спица сопротивляется всякому искривлению, то она примет вид геодезической линии. Можно также определить прямейшие линии и таким геометрическим требованием, чтобы соприкасающаяся плоскость кривой всегда проходила через нормаль к поверхности во всякой точке кривой. Наглядное рассмотрение показывает, что прн этом две бесконечно близкие касательные кривой образуют друг с другом на поверхности наименьший возможный угол. Это обстоятельство уже приводит к условию наименьшей кривизны.
Название геодезических линий обязано этому определению нх при помощи соприкасающейся плоскости. Этим критерием поль. зуются в геодезии при проведении кратчайших линий на земной поверхности. Геодезическими линиями шара служат большие круги. В самом деле, плоскости этих кругов пересекают шар перпендикулярно к поверхности и через каждую точку поверхности шара во всех направлениях проходит один большой круг.
Соответственно этому все геодезические линии шара суть замкнутые кривые. Однако это свойство никоим образом не определяет шара; существуют еще многие другие выпуклые замкнутые поверхности, геодезические линии которых также замкнуты'). Напрашивается мысль искать замкнутые геодезические линни также и у всех других поверхностей. Особенно просто ведут ') Здесь и в дальнейшем под замкнутой геодезической ливией мы под. разумеваем такую линию, которая без изломов возврашается к исходной Мочке н не пересекает сама себя. 4 зт. одиннадцать своиств шлях 223 себя поверхности вращения.
У них меридианы представляют всегда геодезические линии, так как плоскости меридианов проходят через ось и потому пересекают поверхность под прямым углом (выше мы уже доказали, что меридианы служат также линиями кривизны поверхности). Отсюда следует, что все замкнутые поверхности вращения обладают семейством замкнутых геодезических с одним параметром, На других поверхностях существуют только отдельные линии такого рода. Так, можно показать, что на трехосном эллипсоиде единственными замкнутыми геодезическими линиями без самопересечений являются те три эллипса, которые получаются в пересечении этой поверхности с тремя плоскостями симметрии.
Обратно, имеет место теорема, уже давно предполагавшаяся, но лишь в 1930 г. доказанная Люстерником и Шнирельманом '), что на всякой выпуклой замкнутой поверхности проходят по крайней мере три замкнутые геодезические линии без самопересечений. Геодезические линии имеют большое значение для физики. Материальная точка, свободная от действия сил, но вынужденная оставаться на определенной поверхности, всегда движется во геодезической линии поверхности. Каждое из приведенных нами определений геодезической линии дает основание для законов механики материальной точки; так, определение геодезической линии как кратчайшей соответствует принципу Якоби в механике; определение геодезической как прямейшей проявляется в принципе наименьшего принуждения Гаусса — Герца; положение соприкасающейся плоскости геодезической линии находит выражение в уравнениях Лагранжа первого рода.
Геодезические линии находятся в интересной связи с теорией фокальных поверхностей и линий кривизны. Выше мы уже упоминали, что нормали к поверхности касаются фокальной поверхности. Этим самым каждой точке фокальной поверхности соответствует некоторое направление на этой поверхности, именно направление той нормали к первоначальной поверхности, которая касается фокальной поверхности как раз в этой точке.
Так же как в случае линий кривизны и асимптотических линий, можно интегрировать поле этих направлений на фокальной поверхности, т. е. можно получить семейство кривых, которые имеют в каждой точке соответствующее направление. Оказывается, что полученное таким образом семейство кривых состоит из геодезических линий. Касательные плоскости к этим геодезическим линиям, которые можно получить из нормалей к ') Л ю отер и и к Л. А. и Ш пир ель м а и Л. Г.
Топологичеекие методы в вариапиоииых задачах и их пряложеиии к дифференциальной геометрии аоверхиоетей.— УМН, 1947, 2, гй К вЂ” Прим. ред. ГЛ. !Ч, ЛИФФЕРЕИПИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 224 начальной поверхности, пересекают начальную поверхность по ее линиям кривизны, причем каждая полость фокальной поверхности дает одно из двух семейств линий кривизны. Мы уже упоминали, что две софокусные поверхности второго порядка разного рода всегда можно рассматривать как фокальпую поверхность некоторой поверхности. Это обстоятельство дает нам способ найти все геодезические линии трехосного эллипсоида.
Возьмем гиперболоид Н, софокусный с данным эллипсоидом Е. Прямые, которые касаются как эллипсоида, так н гиперболоида, определяют иа эллипсоиде Е ноле направлений, интегральные кривые которого согласно указанной теореме суть геодезические. Однако таким способом мы никоим образом не получим всех геодезических линий эллипсоида Е, так как через всякую точку поверхности проходят геодезические линии во всех направлениях, между тем как мы нашли геодезические линии только для вполне определенных направлений.
Семейство найденных нами геодезических линий эллипсоида Е легко опрепслитеи можно показать, что мы получили все те и только те геодезические линии эллипсоида Е, которые касаются кривой пересечения эллипсоида Е и гиперболоида Н (рис. 230). Они покрывают эллипсоид подобнотому, как касательные к эллипсу покрывают плоскость. Кривая пересечения эллипсоида Е и гиперболоида Н (которая кроме того является линией кривизны эллипРис. 230. соила, как уже было упомянуто) делит эллипсоид на части. Одна часть остается непокрытой кривыми, между тем как через всякую точку другой части проходят две кривые семейства. Теперь, чтобы получить все геодезические линии эллипсоида Е, необходимо, чтобы гиперболоид Н принимал вид всех однополостных и двуполостных гиперболоидов софокусной системы, определяемой эллипсоидом Е.
Прн этом фокальную гиперболу следует рассматривать как предельный случай гиперболоида, В качестве касательных этой вырожденной поверхности следует рассматривать все те прямые„которые пересекают фокальиую гиперболу. Фокальиая гипербола пересекает эллипсоид Е в четырех точках округления. Переходя к пределу, мы получим, что семейство геодезических линий эллипсоида Е, которое принадлежит к фокальной гиперболе, состоит из всех тех и только тех геодезических линий, которые проходят через точку округления элливсоида '). Далее оказывается, что всякая геодезическая ') Описаииое иа с. 190 построеиие при помощи нити тесно связано с этим. % ак одиннадцать свояств ШАРА линия, проходящая через точку округления, проходит и через диаметрально противоположную точку округления. В случае шара все геодезические линии, проведенные через какую-нибудь точку Р, проходят также и через другую апреде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
