Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

лен,— для этих точек все направления параллельны направле. ниям изображений. В случае эллиптических точек оба направления главных кривизн направлены одинаково со своими изображениями или, при другом выборе направления нормали, оба направления противоположны направлениям изображений, между тем как для гиперболических точек всегда одно из направ. лений кривизны одинаково со своим сферическим изображением, а другое противоположно ему.

Этот критерий позволяет легко определить линии кривизны поверхностей вращения. Мы утверждаем, что это суть параллели и меридианы поверхностей вращения. Действительно, ясно, что оба эти семейства кривых переходят в систему параллелей и меридианов на шаре и притом так, что всякое направление параллельно направлению своего изображения.

Оба полюса выпуклой замкнутой поверхности вращения поэтому всегда суть точки округления. Асимптотические направления обладают другим свойством. Именно, они перпендикулярны к своему сферическому изображению, и притом это — единственные направления такого рода. 205 В 30. РАзВеРтыВАьощиеся пОВеРхнОсти Направления вращения, в которых мы должны вращать асимптотические направления в касательной плоскости, для того чтобы получить направления изображений„ всегда противоположны для обоих асимптотических направлении.

Это связано с тем обстоятельством, что сферическое изображение всегда обращает Рис. 215. Рис. 214. направление движения для седлообразно искривленных поверхностей. Так как асимптотические линии проходят только по гиперболической части поверхности, то они должны обнаруживать особенности вблизи параболических кривых. В случае, когда параболические кривые имеют изменяющиеся касательные плоскости, как, например, на колоколе, асимптотические линии имеют точки заострения вдоль параболической кривой (рис. 214).

Наоборот, если все точки параболической кривой имеют одну и ту же касательную плоскость, как у тора, параболическая кривая служит огибающей асимптотических линий, т. е. она касается в каждой из своих точек асимптотической линии (рис. 215). Поведение асимптотических линий на обезьяньем седле характеризует рис. Рис. 216. 216. Если обход по замкнутой кривой вокруг точки такого рода превращается в и — 1-кратный обход на сферическом изображении, то через эту точку проходят в точности п асимптотических льппьй, й 30.

Развертывающиеся поверхности Линейчатые поверхности До сих пор при рассмотрении параболических точек мы ис. ключали тот случай, когда поверхность состоит исключительно из параболических точек. Теперь этот случай должен быть подробно рассмотрен ввиду его исключительной важности. Примерамн подобных поверхностей могут служить все те поверхности, которые получаьотся из куска плоскости путем его ГЛ. Ис ДИФФЕРЕНПИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ изгибания. Теперь мы выскажем общую теорему, гласящую, что две поверхности могут быть путем изгибания переведены одна в другую тогда, когда на обеих поверхностях гауссова кривизна имеет всюду одно и то же постоянное значение').

Согласно этой теореме можно получать путем изгибания куска плоскости все поверхности с гауссовой кривизной, всюду равной нулю. В связи с подобным способом получсния эти поверхности называются также «развертывающимися поверхностями». Существует еще два иных способа получения развертывающихся поверхностей. Прежде всего развертывающимися поверхностями являются все те поверхности, которые являются оги.

бающимн семейства плоскостей с одним параметром. Переменная плоскость семейства касается подобной поверхности вдоль всей прямой. Эту прямую можно получить путем предельного перехода из прямой пересечения рассматриваемой плоскости семейства с одной из соседних плоскостей семейства. Эта прямо« есть параболическая прямая поверхности, так как поверхность вдоль всей прямой имеет одну и ту же касательную плоскость. Так как кроме того совокупность таких прямых покрывает всю поверхность, то последняя действительно должна состоять только из параболических точек. Замечательно, однако, что имеет место и обратное положение, так что таким способом можно получить все развертывающиеся поверхности.

Вследствие этого развертывающиеся поверхности суть вместе с тем линейчатые поверхности '). Так как трн плоскости всегда имеют точку пересеченияэ), то ясно, что соседние образующие развертывающейся поверхности всегда пересекаются. Это можно доказать аналитически, и это дает третий способ получения развертывающихся поверхностей. Именно, точки пересечения соседних прямых описывают кривую, и здесь оправдывается наглядное представление, что эта пространственная кривая должна не пересекаться, а соприкасаться с образующей.

Таким образом мы можем определить развертывающиеся поверхности как поверхности, которые образуются касательными к произвольной пространственной кривой, Эти поверхности вместе с тем огибаются соприкасающе- ') Для поверкностей с переменной гауссовой кривизной яе существует столь же простого достаточного условия того, что эти поверхности могут быть переведены одна в другую путем изгибания. Необходимо, чтобы по.

зерхности можно было так отобразить одну на другую, чтобы они в соот ветстзующих точках обладали одинаковой гауссовой кривизной. Однако этого условия недостаточно, Это легко выяснить на примере поверхностей вращения. э) В противоположность этому в четырехмерном пространстве существуют развертывающиеся поверхности, не являющиеся линейчатыми. з) При етом паралдельиость следует представлять как пересечение е бесконечности. $ зе. РАЗВЕРТЫВАЮШИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ 207 мися плоскостями кривой. Только конус и цилиндр должны быть исключены из такого представления, между тем как при помощи предыдущего способа можно получить и их.

Второй способ позволяет непосредственно определить сферические изображения всех развертывающихся поверхностей за исключением плоскости. Именно, огибающими плоскостями являются касательные плоскости поверхности. Эти плоскости, а также и направления нормалей к ним образуют семейства, зависящие только от одного переменного параметра.

Таким образом сферическое изображение развертывающейся поверхности всегда представляет кривую, а именно индикатрису бинормалей пространственной кривой, касательные к которой образуют поверхность. То, что сферическое изображение поверхностей с нулевой кривизной приводится к кривой, можно было ожидать также на основании нашего первоначального определения гаус. совой кривизны, в силу которого сферическое изображение вся* кого такого куска поверхности имеет площадь, равную нулю.

Развернем теперь поверхность„ образуемую касательными какой-нибудь пространственной кривой на плоскость. Тогда пространственная кривая должна перейти в плоскую кривую, а прямые, образующие поверхность, должны перейти в касательные к этой плоской кривой. Всякой дуге пространственной кривой соответствует дуга плоской кривой той же длины. Но кроме того можно показать, что обе кривые в соответствующих точках имеют также одинаковую кривизну'). Если исходить, обратно, из некоторой плоской выпуклой дуги кривой и и вырезать кусок плоскости внутри кривой, то оставшаяся часть плоскости может быть так изогнута, что пространственная кривая, в которую переходит дуга и, сохраняет во всех точках кривизну плоской кривой.

При этом можно аналитически доказать, что эта пространственная кривая может иметь любое кручение. Подобное изменение формы пространственной кривой, при котором длина дуги н кривизна сохраняются, в то время как кручение изменяется, называется кручением пространственной кривой. При нашем изгибании плоскости, очевидно, касательные к кривой з остаются все время прямолинейнымн, в то время как все другие прямые начальной плоскости изгибаются з), Однако ') Это можно наглядно представить. В самом деле, угол между двумя соседними касательными ие изменяется при изгибании, а кривизна есть предел отношения этого угла к соответствующей дуге.

з) При совершенно произвольном изгибании куска плоскости, конечно, изменяется также и кривизна дуги з. Для того чтобы кривизна дуги кривой з сохранялась неизменной, не только необходимо, ио и достаточно, чтобы касательные к хривой з оставались прямолинейными. Поэтому мы получаем подходящую модель, если вырежем плоский кусок из бумаги и за. крепим некоторые полукасательные кривой з путем приклеивания палочек.

гл. нх диэеггвнцихльная гвомит»ия при этом обнаруживается, что при изгибании куска плоскости мы не получаем всей поверхности, образуемой касательными пространственной кривой 1, которая возникает из кривой з. Поверхность, которую мы построили, содержит только одну полу- прямую всех касательных кривой й полупрямую, ограниченную точкой касания. Если мы продолжим эти полукасательные до полной прямой, то получим другую часть поверхности, которая вместе с первой частью образует поверхность касательных к кривой й Обе части поверхности встречаются по кривой Б, образующей острое ребро, которое называется ребром возврата поверхности.

Если теперь снова закручивать кривую Б непрерывно в кривую и, то обе части все теснее соприкасаются одна с другой и, наконец, совпадают на плоскости кривой з, Можно получить целиком поверхность, образуемую касательными к кривой Г, если внешнюю часть плоскости кривой и в двух экземп. лярах наложить одну на другую, сложить их по кривой и и затем при кручении кривой и отделить обе части. При этом существенно, чтобы кривизна кривой и нигде не обращалась в нуль. Если исходить при этом из кривых с точками перегиба, то поверхность касательных вообще состоит из четырех листков, встречающихся в точке перегиба, из которых два связаны вдоль касательной в точке перегиба, Теперь обратимся к линейчатым поверхностям, которые не являются развертывающимися. Согласно сказанному выше это должны быть те поверхности, у которых две соседние образующие расположены в различных плоскостях.

Характеристики

Список файлов книги