Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

199. Рис. 200. оси, что и первая. Обе гиперболы кроме того имеют общие асимптоты, причем направления последних определяются асимп. тотическими направлениями в рассматриваемой точке поверхности. Конические сечения, построенные нами таким образом, называются индикатрисами Дюпена точки поверхности. В точках округления иидикатриса Дюпена есть окружность. Это легко можно показать на шаре и на эллипсоиде.

В параболических точках соответствующий способ может приводить к различного рода кривым. На обезьяньем седле индикатриса') имеет примерно такой вид, как показано на рис. 200. 9 29. Сферическое изображение и гауссовв кривизна До сих пор мы характеризовали кривизну поверхностей двумя числами, именно главными кривизнами.

Гаусс указал способ, который дает возможность представлять кривизну в каждой точке поверхности одним единственным числом, зависящим, конечно, от главных кривизн, подобно тому как мы это делали в случае пространственных кривых. Проведем через центр некоторого единичного шара прямые, параллельные нормалям рассматриваемой поверхности. Примем одно из двух направлений нормали к поверхности в некоторой точке за положительное и распространим это соглашение о на.

'1 «Иникатрнса», но не «инднкатрнса Дюпена», Стандартное определение «Дюпена ннднкатрисм» см., например, «Математическая энциклопедия».— о1.: Советская энциклопедии, 1979. — Прим. ред, 9 ЕЗ СФЕРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ И ГАУССОВА КРИВИЗНА 195 правлении нормали на все соседние точки нашего куска поверхности.

Если теперь мы выберем такое же направление и на соответствующем диаметре шара, то каждой точке куска поверхности будет соответствовать определенная точка на поверхности шара, а именно конец диаметра; таким образом поверхность будет отображена на шар. Этот предложенный Гауссом способ называют сферическим изображением поверхности.

Так как диаметры шара перпендикулярны к касательным плоскостям, проведенным через концы диаметра, то при гауссовом изображении нормаль в каждой точке поверхности имеет такое же направление, как и нормаль в соответствующей точке сферического изображения; точно так же касательные плоскости к поверхности и шару параллельны. Сферическое изображение поэтому называется также изображением с помощью параллельных нормалей или же параллельных касательных плоскостей. Таким же способом можно отобразить поверхность не только иа шар, но и на произвольную другую замкнутую поверхность при помощи параллельных касательных плоскостей. Такие обобщенные отображения играют известную роль в современной дифференциальной геометрии, При сферическом изображении одна и та же точка шара соответствует нескольким точкам поверхности тогда и только тогда, когда поверхность обладает несколькими параллельными и одинаково направленными нормалями, Как легко уяснить себе из наглядного представления и как это мы докажем более точно ниже, в ближайшей окрестности эллиптической или гиперболической точки поверхности нет параллельных нормалей (рис.

202, 203, с .197 — 198). Таким образом вблизи этих точек сферическое изображение взаимно однозначно. Если мы проведем на куске поверхности замкнутуюкривуюй, то ей будет соответствовать на шаре некоторая замкнутая кривая л; Рассмотрим теперь отношение площади 6 куска шаровой поверхности, заключенной внутри кривой й', к плошади Р куска поверхности, заключенного внутри кривой й, и будем стягивать кривую й, проведенную на поверхности, к точке Р поверхности. При этом Р и б будут становиться все меньше, и в пределе, когда кривая на поверхности будет стянута в точку, рассматриваемое отношение получит определенное предельное значение: б 1!ш — =К.

Р Р Е Определенное таким образом число К называется гауссовой кривизной поверхности в точке Р. Аналитическое исследование показывает, что гауссова кривизна равна произведению соответствующих главных кривизн: К = й1йх. 196 ГЛ. 1М ЛИФФЕРЕНЦНЛЛЬНАЯ ГЕОМЕТРНя Гауссова кривизна обладает одним в высшей степени важным свойством: она не изменяется при любом изгибании куска поверхности.

Под изгибанием понимают такую деформацию, которая оставляет неизменными длины и углы всех проведенных иа поверхности кривых; поверхность, сделанная из какого-нибудь почти иерастяжимого материала, например из бумаги или из тонкой жести, может быть использована для наглядного представления изгибаний. Так как гауссова кривизна не изменяется при изгибании, то она должна находиться во внутренней связи с такими свойствами поверхности, которые зависят только ог величины дуг и углов проведенных на поверхности кривых. Поэтому гауссова кривизна и ее аналог для большего числа измерений играют решающую роль в теории относительности, кото. рая как раз занимается исследованием таких «внутренних» свойств искривленных многомерных многообвазий.

Постараемся уяснить, почему гауссова кривизна, определение которой все же существенно зависит от пространственного расположения поверхности, тем ие менее остается неизменной при изгибании. Представим себе телесный угол, составленный нз жестких треугольных плоских пластинок (а, б, с, 1( на рис. 201), так что каждые две соседние пластинки могут вращаться вокруг общего ребра. Если телесный угол имеет более трех граней, то его форма может изменяться в простран-, стве, и эти изменения мы долж- Ф Ь П7 ~ ны считать изгибанием,так как и м при этом длины и углы всех кривых, которые можно начертить на поверхности телесного угла, остаются неизменными.

Если мы восстановим перпенРис. 201. цикуляры ((, т, и) к каждой из боковых граней, направлен. ные наружу, то придем к сферическому изображени1о телесного угла, посредством отдельных точек ((', т', п') шара. Чтобы теперь установить аналогию со сферическим изображением поверхности, соединим дугами больших кругов те точки шара, которые отображают соседние боковые поверхности телесного угла. Таким образом мы получим иа шаре некоторый многоугольник.

И вот мы утверждаем, что при определенных выше изгибаниях площадь этого многоугольника не меняется. Этот факт, очевидно, аналогичен неизменности гауссовой кривизны при изгибании поверхности, Наше утверждение легко доказать при помощи элементарных теорем сферической геометрии. Именно, известно, что площадь 9 м сФВРическое изоБРлжение и глуссоВА кРиВизнА 197 сферического треугольника, а равным образом и любого сферического многоугольника, составленного из дуг больших кругов, зависит только от суммы углов. Таким образом достаточно показать, что углы многоугольника, который мы построили для сферического изображения нашего телесно~о угла, не изменяют.

ся при изгибании. Из рис. 201 можно усмотреть, что каждый такой угол равен дополнению до 180' того угла, который образуют два соседних ребра телесного угла. Но по предположению все эти углы остаются неизменными. Из проведенного выше рассмотрения можно вывести путем предельного перехода также и неизменность гауссовой кривизны, по крайней мере, если ограничиться выпуклыми кусками поверхности.

Для этой цели следует заменить нашу поверхность приближа1ощими ее вписанными многогранниками, составленными из треугольников с малыми длинами ребер, и применить наше рассуждение к каждому телесному углу такого многогранника. Теперь посмотрим, как можно охарактеризовать разницу между эллиптическими, гиперболическими и параболическими точками поверхности при помощи сферического изображения и гауссовой кривизны, Если обходить эллиптическую точку по малой замкнутой, не имеющей двойных точек кривой, проведенной на поверхности, то и иа шаре мы получим точно так же замкнутую кривую, не имеющую двойных точек (рис. 202).

Точно так же и для седлообразной точки сферическое изображенив Рис. 902. кривой будет свободно от двойных точек (рис. 203). Как показывают рис. 202 и 203, в случае гиперболической точки направление обхода кривой на шаре обратно направлению обхода на кривой, проведенной на поверхности, между тем как для эллиптической точки оба направления обхода совпадают. В аналитической геометрии принято обозначать площадь кусков поверхностей одинаковыми или обратными знаками, в зависимости от того, совпадает ли направление обхода граничной кривой для обоих кусков поверхности или же этм направления противовв- 198 гл. 19. диееегвнцилльнля геомвтгия ложны.

Соответственно с этим гауссова кривизна выпуклых кусков поверхности считается положительной, а седлообразных— отрицательной. К тому же самому обозначению в смысле знака мы приходим, если будем исходить из обеих главных кривизн. Именно: в эллиптических точках центры кривизны, соответствующие главным кривизнам, лежат на одной н той же стороне нормали, между тем как в гиперболических точках они расположены на противоположных по отношению к поверхности сторонах нормали. Следовательно, если мы будем считать направление нормалей по одну сторону от поверхности положительным, а Рис.

203. по другую сторону отрицательным, то произведение обоих ра. днусов главных кривизн — а значит, и произведение главных кривизн и гауссова кривизна — будет положительным для эллиптических точек и отрицательным для гиперболических точек. Так как изображение достаточно малых замкнутых кривых, ие имеющих двойных точек, тоже не имеет двойных точек, то сферическое изображение достаточно малых всюду выпуклых или всюду седлообразных кусков поверхностей всегда взаимно однозначно. Параболические точки занимают среднее положение между эллиптическими и гиперболическими точками; поэтому следует ожидать, что гауссова кривизна в параболических точках равна нулю.

Характеристики

Список файлов книги