Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Кроме того можно также доказать, что эта конфигурация правильна н поэтому из нее можно выбрать различными способами двойные шестисторонники. Если добавить еще плоскости, содержащие две инцидентные прямые конфигурации,то такая плоскость всегда содержит третью прямую конфигурацию, в чем можно убедиться из схемы инцидентностей. К такому же результату приводит и простое алгебраическое рассуисдение.

Именно: всякая плоскость пересекается с поверхностью Рз по кривой третьего порядка. Так как плоскость содержит две пря. мые конфигурации, то эта кривая третьего порядка должна содержать эти прямые, а отсюда алгебраическим путем можно вывести заключение, что кривая должна состоять из этих двух прямых и некоторой третьей примой. Легко подсчитать, что через каждую из 27,прямых проходит пять таких плоскостей и что всего должно быть 45 таких плоскостей. Таким образом конфигурация не является двойственной самой себе, между тем как двойной шестисторонник двойствен сам себе, так как он построен на двойственно инварнантном соотношении инцидентности прямых.

Можно легко дополнить двойной шестисторонник до конфигурации, двойственно соответствующей построенной выше конфигурации. Для этого следует вместо прямых (!2) и осталь. ных прямых (!й) взять другие прямые !Й1, из которых, например, 112! проходит через точки пересечения прямых 1 и 2' и прямых 1' и 2. Схемой такой конфигурации будет (35м 27з).

Обратимся теперь снова к первоначальной конфигурации 27 прямых и покажем исчислительными методами, что на произвольной поверхности третьего порядка гз расположена такая конфигурация К. При этом, так же как и во всех рассуждениях исчислительной геометрии, следует принять во внимание и те случаи, когда К частично мнима или вырождается, Для доказательства нашего утверждения подсчитаем сначала, как велико множество двойных шестнсторонников, По построению для прямой 1 мы имеем полную свободу, т.

е. четыре параметра; точки пересечения прямых 1.с прямыми 2' — 6' зависят еще от пяти параметров, а каждая из прямых 2' — 6' при определенной точке пересечения ее с прямой 1 может занимать еще оо~ положений .(десять параметров). Прямые 1, 2', 3', 4', 5', 6' определяют двой. иой шестисторонник; таким образом мы нашли, что имеется сом ззз, двоинои швстистоРонннк !плвфли !73 двойных шестисторонников (!9 = 4+ 5+ !0). Так же велико множество конфигураций К, так как каждая нз них определяется соответствующим ей двойным шестисторонником, причем имеется только конечное число двойных шестисторонннков в одной я той же конфигурации К. Но мы уже указали способ построения поверхности Рз, проходящей через конфигурацию К. Следовательно, множество построенных таким образом поверх.

ностей Рз составляет ооы; если же это множество менее обшнр. но, то по крайней мере со' конфигураций К должны лежать'на одной и той же поверхности Рь т. е. поверхность Рз должна быть линейчатой поверхностью третьего порядка. Но можно доказать, что имеется меньше чем оо'з линейчатых поверхностей третьего порядка, а потому на построенных нами поверхностях Рз должны лежать по кРайней меРе соз двойных шестистоРон.

ников. Но так как эти поверхности, как уже было доказано, не содержат гиперболоида и так как на линейчатых поверхно. стях порядка более высокого, чем второй, лежит только одно семейство прямых линий, то на одной поверхности Рз не могув находиться ао' двойных шестисторонников. Таким образом в об» щем'случае построенные нами поверхности не могут быть линейчатыми, а отсюда следует, что наше построение охватывает нв менее чем сом поверхностей.

С другой стороны, как было ука« вано в предыдущем параграфе, вообще не может существовать более чем сом поверхностей третьего порядка. Отсюда, прнни« мая во внимание алгебраическую природу рассмотренных нами образов, можно строго доказать, что на каждой поверхности третьего порядка действительно лежит конфигурация К. Глава И ДИФФИРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ До сих пор мы рассматривали геометрические образы со стороны их общей структуры.

Дифференциальная геометрия представляет собой принципиально иной метод исследования. Именно, теперь мы будем описывать кривые и поверхности лишь в непосредственной близости к какой-либо точке кривой или поверхности. С этой целью мы будем сравнивать окрестность точки с простейшими образами, например с прямой, плоскостью, кругом или шаром, которые .в рассматриваемой окрестности возможно ближе подходят к кривой; таким образом возникает, например, известное понятие касательной к кривой в некоторой точке.

Этот способ рассмотрения, называемый локальной дифференциальной геометрией или дифференциальной геометрией в малом, дополняется другим способом рассмотрения — дифференциальной геометрией в целом. Например, если мы знаем о каком-нибудь непрерывном геометрическом образе, что он имеет определенное дифференциально-геометрическое свойство в окрестности любой из своих точек, то, как правило, мы можем сделать существенные утверждении относительно общего поведения данного образа. Так, например, если относительно какой-нибудь плоской кривой известно, что она в окрестности каждой своей точки не лежит целиком по одну сторону касательной, то можно доказать, что такая кривая необходимо должна быть прямой. Наряду с непрерывными многообразиями точек в дифференциальной геометрии рассматриваются также многообразия дру.

гих образов, например многообразия прямых; между прочим, такого рода проблему ставит геометрическая оптика, которая исследует непрерывные системы световых лучей. Наконец, дифференциальная геометрия приводит к задаче, впервые поставленной Гауссом и Риманом, о построении геометрии как целого на основе таких понятий и аксиом, которые касаютсн лишь непосредственной окрестности каждой точки. Таким образом возникло еще до сих пор неисчерпанное изобилие возможностей более общих геометрий, среди которых «неевклидова геометрия» представляет важный, но весьма специальный пример. Общая теория относительности показала, что в основу рационального описания физической действительности должна быть положена не обычная евклидова геометрия, а более общая риманова геометрия„ 4 26.

плоские кРКВые $ 26. Плоские кривые + ке касания, называется нормалью к кривой. Касательная и нормаль образуют для каждой точки кривой оси прямоугольной системы координат. Эта система координат особенно удобна для исследования поведения кривой в рассмат. риваемой точке. Для этого выбе. рем произвольным образом неко. +М-~ торое направление движения по кривой.

Далее занумеруем четыре квадранта, на которые осп разбивают плоскость, причем номером 1 обозначим тот квадрант (рис. 183), и котором мы на. ходимся, когда движемся в установленном направлении по кривой по направлению к началу координат, находясь от него до. статочио близко; номера 2, 3, 4 получат остальные квадранты; при этом всегда касательная отделяет квадранты 1 и 2 от квадрантов 3 и 4, а нормаль в квадранты 1 н 4 от квадрантов 2 И 3, Лг гг Чтобы начать с простейших случаев, рассмотрим сперва пло« скис кривые. При этом мы ограничимся рассмотрением небольших дуг кривой, на протяжении которых кривая ие пересекает сама себя. Прямая, пересекающая кривую в двух точках, называется се кущей.

Если мы станем вращать секущую з вокруг одной из точек пересечения так, чтобы вторая точка пересечения все более приближалась к первой (рис. 182), то секущая будет 5 стремиться к определенному положению и Прямая, принявшая это положение, называется касательной к кривой. Точка пересечения в этом случае называется точкой касания этой касательной. Очевидно, что касательная есть та прямая, проходящая через точку касания, направление которой в этом месте наибо- Рис. 1В2. лее приближается к течению кривой; поэтому направлением кривой в некоторой точке называют направление соответствующей касательной.

Говорят, что две кривые в общей точке пересекаются под углом 55 или соприкасаются, если обе касательные, проведенные в этой точке к кривым, образуют угол а или совпадают, Прямая, перпен- дикулярная к касательной в точ- Гл ид диФФеренциАльнАя геометрия Тогда можно различать четыре случая в зависимости от того, в каком квадранте — втором, третьем, четвертом или первом— мы находимся, когда движемся по кривой в установленном направлении, только что миновав начало координат (см. 1 — 1)г рис.

183). Только в первом случае рассматриваемая точка кривой называется правильной, во всех остальных случаях она называется особой точкой. Вообще почти все точки кривой ведут себя как правильные точки, между тем как особые точки встречаются только в отдельных местах '). В случае П говорят о точке перегиба; в двух последних случаях говорят, что кривая имеет острие или клюв и называют соответствующую точку кривой точкой возврата. Наконец, можно показать, что наше разделение на четыре случая не зависит от выбранного направления иа кривой. Теперь попробуем представить себе наглядно, как изменяется направление касательной в этих точках кривой, когда точка касания движется по кривой.

Для этого воспользуемся способом, который впервые был дан Гауссом и который играет особенно важную роль при исследовании поверхностей. Установим опять на кривой определенное направление движения. Затем начертим в плоскости кривой окружность радиуса 1, Примем далее, что каждой касательной к кривой соответствует тот ра- диус, который выходит из ьз центра окружности параллельно рассматриваемой касательной, а именно в направлении установленного движения по 6з кривой (рис. 184). Такое построение приводит в со- 6 ответствие с каждой точ- кой Р кривой некоторую Р, точку Я окружности, а именно точку пересечения соответствующего радиуРис, 184.

Характеристики

Список файлов книги