Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 33
Текст из файла (страница 33)
наружим существенное изменение изображения, а именно: про» екция будет простираться в бесконечность, как бы мы ни выбн» э Ю. ПРАВИЛЬНЫЕ ТЕЛА И ЯЧЕИКИ Й ИХ ПРОЕКЦИИ 1о1 рали плоскость проекций. В самом деле, всякая плоскость, проходящая через центр проекции, пересекает многогранник.
Это, в частности, имеет место и для проходящей через центр проекции плоскости, параллельной плоскости проекций, которая и дает бесконечно удаленные точки проекции (с, 120). Тем не менее такой способ проектирования приводит к интересному геометрическому явлению, причеье это обнаруживается тогда, когда мы расположим центр проекции в центре многогранника. В этом и только в этом случае получается симметрическое распределение проектирующих лучей в пучки. Мы можем рассматривать пучок лучей, как уже было упомянуто на с.
120, как модель проективной плоскости, если будем называть прямые пучка точками, а плоскости пучка — прямыми. Таким образом правильные тела приводят к правильным разбиениям проективной плоскости. Эти разбиения будут однократно покрывать проективную плоскость только в случае центрально симметрических тел; у тетраэдра мы получим дли каждого проектируюшего луча две различные проекции, в зависимости от того, какую точку возьмем из двух точек пересечения его с телом; поэтому проективная плоскость дважды перекрывается. Напротив, у всех других тел каждая пара диаметрально противоположных элементов дает один элемент разбиения проективной плоскости. Если мы пересечем пучок лучей некоторой плоскостью, т.
е. будем рассматривать проекцию в собственном смысле, то не сможем по. лучить правильной симметрии. В частности, проекция будет особенно проста, если мы изберем плоскость проекции, проходящую через вершину и перпендикулярную в вершине к прямой, соедпняю1цей эту вершину с центром тела (рис. 158 для октаэдра). Пять получающихся таким способом фигур изображены иа рис. !59 — 163.
На каждом чертеже область, простирающаяся в бесконечность, выделена штриховкой. В случае тетраэдра пло. скость проекции покрывается дважды. На всех остальных фигурах каждый многоугольник плоскости представляет две противоположные грани тела. Другой ряд простых фигур мы получим, если выберем для симметричных тел (рис. 164 для куба) за плоскость проекции одну из боковых граней (в случае тетраэдра при этом мы не получим новой фигуры). На рис. 165 — 168 изображены эти фигуры ').
Мы можем избрать аналогичные способы проектирования, для того чтобы отобразить ячейки четырехмерного пространства в виде тел трехмерного пространства. При этом параллельная проекция оказывается неприменимой, ибо тогда ограничивающие ' ') Проекция октаэлра в этом случае соответствует разбиению плоскости иа четыре треугольника проективиой системой коордииат, 166 ГЛ, Н1. КОНФИГУРАЦИИ ячейку многогранники изобразятся многогранниками трехмерного пространства, которые будут частично перекрывать друг друга, Рис, 169.
Тетраздр. Рис. 168. Рис, 160. Окткздр. Рис. 16). Куб. Рис. 163. Икосаздр. Рис. 162, Додеказдр. частично проникать друг в друга. Напротив, мы получим удобс ные для обозрения изображения, если воспользуемся способом, который мы применяли для получения рнс. 153 — 157. Ограннчн..
5 та.пРАВильньте телА 'и ячеики и их НРОекпии 163 ваюшие ячейку многогранники тогда изображаются системой многогранников, из которых один занимает исключительное по. Рис. 164. Рис. !65. Октаедр. Рис. 166. Куб. Рис. 167. Дедеиаадр. ложение и заполняется другими без промежутков н двойных по. крытий.
Если мы затем будем проектировать эти .модели на пло» скость, то получим проекции, которые изображены на рис. 169- 172. На рис. 172 при некотором усилии можно обнаружить, что гл. 1п. конагигл яции большой октаэдр заполнен 23 меньшими октаэдрами 1четырех видов), так что всего здесь имеется 24 тела. Д - О ° ячейки получающиеся фигуры становятся совершенно необозри.
мыми. Рис, !88. Икосаадр. Рис. 170. 8-ячейка. Рис. 169, з.ячейка. Е с ложить центр проекции в центре ячейки, то мы сли ра по г п ост андолжны пол п лучить правильное разбиение проективного пр р пол чить Д пр ективного пространства мы не можем по у такой же симметричной модели, какую дает пучо р ру ч к п оекти ю- к как в этом случае щих лучей для проективной плоскости, та нам пришлось бы рассматривать некоторый четырехмерный образ.
Поэтому нам придется выбрать определенное трехмерное 156 Гл. !!!. конеигуРАиии пространство в качестве пространства проекции, причем симмет« рия частично исчезнет. Для того чтобы хотя бы частично сохранить симметрию, мы расположим пространство проекции айа- Ряс. 173а. 16-ячейка, Ряс. 1736. 16-ячейка. логично тому, как мы только что располагали плоскость и" роек. ц д случая пространства трех измерений; при этом пространство проекции либо должно совпасть с одним из ограничивающих пространств, соответственно изображенному на рис.
164 клетки расположению, либо оно должно проходить через в рш ер нпу и н иметь расположение, аналогичное расположению плоскости проекции иа рнс. 158, й та. правильные тилл и ячвики и их провкцин 157 В первом случае один из граничных многогранников должен оказаться неискаженным, так как он лежит в самом простран. стае проекции; во втором случае имеет место центральная'снмь метрия по отношению к избранной вершине, которая служит Рис. 174а. а.ячейка. Рис. 174б.
б-ячейка. проекцией самой себя. Здесь рассмотрим прежде всего по два изображения 16- и 8-ячейки (рис. 173 и 174) '). При этом пространство разобьется на восемь или, соответственно, на четыре части, причем каждой части соответствуют два диаметрально расположенных граничных тела ячейки. На рис. 173а части 1 ) Дли 5-кчейки атот способ иаображекии кепритодеа, так как оиа ие обладает кеитральиой симметрией. и м. прдвильныв тела и ячкпкн и их пронкцин 169 пространства, простирающиеся в бесконечность, имеют двоякий вид. Четыре из этих областей имеют боковые грани (напрпмвр,1, 3,4), целиком расположенные в конечной области пространства, простираясь от которых в бесконечность они достигают противо.
положной вершины (папример, 2). Три другие области, напро. тнв, имеют два расположенных друг против друга конечных ребра (например, 1, 2 и 3, 4), между тем как все боковые грани простираются в бесконечность. На рис. 173б бесконечно удаленная плоскость сама является граничной плоскостью. Мы видим, что 16-ячейка приводит к знакомым нам разбиениям, а именнот к разделению пространства на октанты прн помощи проектив. ной или декартовой системы координат. В случае 8-ячейки, кап видно на рис, 1?4а, три части пространства, удаляющиеся в бес.
конечность, иагеют все один и тот же вид. На рис. 1?46 стрелками изображены ребра той области, которая соответствует ко. печному кубу рис. 174а, К ребрам этой области принадлежат также конечные ребра, выходящие из точки 1, кроме ребра ),6. На рис. 1?5 и 176 те же самые два способа проектирования применены к 24-ячейке. Мы получаем таким образом разделе. ние пространства на двенадцать октаэдров, из которых всв про.
стираются в бесконечность, не считая среднего, как показана нв рис. !75. Но в этих фигурах мы уз. наем оба симметрических расположения конфигурации Рейе, которую мы рассмотрели в предшествующем параграфе'). Мы видим на октаэдре, расположенном в конечной области, что плоскости конфигурации образуют в одно и то же время гранинв являются плоскостями симметрии двенадцати октаэдров. Более детальное рассмотрение позволяет попить истинное основание этого; именно, полный четырехсторонник разбивает проективную плоскость на трц четырехугольника и четыре треугольника (рис.
1?7, четырехугольника 1, 2, 3, треугольа ники 1, П, 111, Ю). В конфигурации Рейе каждая плоскость разбивается таким же образом прямыми конфигурации; в тан как гранями октаэдра являются треугольники, между тем кан плоскости симметрии пересекаются с октаэдром по четырех ') Так мы получали одну фигуру нз другой прн помощя ноднрнннв нре обрззоааниа относительно шара.
Теперь мы узнаем а иик проеицни одного н того же аетырекмсрного образа, которые могут быть переаедеюа вида р другую при помощи перемещения пространстаа проекций, ГЛ Гп. КОНФИГУРАЦИИ угольникам, то отсюда следует, что всякая плоскость конфигурации является плоскостью симметрии для трех октаэдров и общей гранью 2.4 октаэдров и не пересекает одного из двенадцати октаэдров; так, например, на рис. 175 бесконечно удаленная плоскость есть плоскость конфигурации; она не пересекает одного Октаэдра, именно того, который расположен в конечной обла. сти ').
Рис. 176 проще, чем рис. 175„поскольку на нем имеется только два вида октаэдров (шесть октаэдров имеют такой же вид, как 1, 2, 3, 4, 5, 10, а шесть остальных коигруэнтны с октаэдром 2, 5„6, 9, 10, 11), между тем как на рпс. 175 имеются октаэдры трех видов. Именно, один пз них правильный октаэдр, а из остальных три имеют плоскостью симметрии бесконечно удаленную плоскость (например, 1, 6, 7, 8, 9, 1О), а для восьми октаэдров эта плоскость служит гранью (например, 3, 4, 7, 8, !О, 11).
Из такого построения конфигурации непосредственно следует утверждение, приведенное в конце предыдущего параграфа, а именно, что конфигурация Рейе правильна. Вышеприведенное рассмотрение наводит на мысль о том, чтобы проектировать и-мерные правильные образы на пространство с возможно меньшим числом измерений, т. е. на прямую. Мы рассмотрим вопрос о том, как и-мерный куб проектируется на одну нз его главных диагоналей, если применить ортогональную проекцию.
Концы А, В такой диагонали будут служить изображениями самих себя. Точки, пзображаюгцие другие вершины куба, мы обозначим по порядку через Сг и Сз, ... в порядке их расположения на прямой АВ, начиная с точки А. Но из точкиА выходят и ребер куба и все онн образуют с прямой АВ равные углы. Поэтому все их концы должны илгеть одну точку С~ в качестве проекции на прямой АВ. Далее, каждое из ребер куба параллельно одному из ребер, выходящих из точки А, а потому расстояние между последовательнымц точками С», ') Как октаэдр имеет трн плоскости снмметрнн, проходящие через центр н пересекаюшне его по квадратам, так 24-ячейка нмеет 12 трехмерных пространств симметрии, Опп проходят через цен~р этой ячейки н пересекают ее каждая по некоторому кубооктаэдру (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
