Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Две пересекающиеся прямые АА' и ВВ' определяют согласно второй пространственной аксиоме некоторую плоскость. По в этой плоскости расположены также и прямые АВ и А'В' так, что согласно второй плоскостной аксиоме они пересекаются в некоторой точ. ке )х. Остастся неопределенным, лежит ли точка )х в конечной части пространства или в бесконечности, Сушествование двух других точек псресечсния 5 и Т можно доказать таким же образом. Вторую часть теоремы легко установить в том случае, когда треугольники расположены в различных плоскостях.

Тогда эти 1глоскости определяют одну — конечную или 'бесконечно удаленную — прямую пересечения '1см. пространственную аксиому 1), 4 нс весконечно идлленные элементы в ппостгхнстве 1яв 44з каждой пары соответствующих сторон треугольников: однЕ расположена в одной плоскости, другая — в другой. А так как обе стороны пересскаются, то точка их пересечения должна лежать на прямой, принадлежащсй обеим плоскостям. Таким' образом мы доказали теорему Дезарга для общего случая. Однако особенно важен как раз тот частный случай, когда оба треугольника лежат в одной плоскости.

В этом случае дока-' зательство можно провести при помощи проектирования в пространстве, подобно тому как доказывалась тсорема Брианшона. Нам следует только доказать, что всякая плоская дезаргова фигура может быть представлена как проекция некоторой пространственной дезарговой фигуры. Для этой цели соединим'все Рис. !34.

точки и прямые плоской дсзарговой фигуры с некоторой точкой 5, лежащей вне плоскости фигуры (рис. !34). Далее проведем через прямую АС плоскость; пусть эта плоскость пересекается с прямой В5 в точке Вс, отличной от точки 5. Затем проведем прямую ОВс. Эта прямая лежит в одной плоскости с пря« мой В'5, и таким образом обе прямые перссскаются в точке Вс. Но тогда треугольники ЛВсС и Л'ВсС' образуют прос.гранственную дезаргову фигуру, так как прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят через точку О.

Линия пересечения плоскостей обоих треугольников изображается при проектировании нз точки 5 в виде прямой на плоскости проскций, причем точки псресечения соответствующих пар сторон рассмотренных первоначально треугольников ЛВС и А'В'С' должны лежать на этой прямой. Теорема Дсзарга доказана полностью.

Как плоский, так и пространственный принципы двойственности приводят к интересным преобразованиям теоремы Дезарга. Прежде всего лсгко видеть, что справедлива и теорема, обратная теореме Дсзарга; из существования дезарговой прямой, на которой лежат точки пересечения пар соответствующих сторон трсугольников, следует существование дезарговой точки, через б Д, гкльберч с.

кои-Фоссеа Гл, пь конФигуглции 130 которую проходят прямые, соединяющие соответствующие вер» шины треугольников. Если же треугольники расположены в од» ной плоскости, то теорема, двойственная теореме Дезарга по пространственному принципу двойственности, совершенно тож« дественна с теоремой, получающейся по принципу двойственности на плоскости из теоремы Дезарга.

В этом можно убедиться при непосредственном сопоставлении: Пусть даны три пары точек Пусть даньс три пары пря- АА', ВВ', СС' так, что прямые, мых аа', ЬЬ', сс» так, что точки соединяющие каждую пару то- пересечения каждой пары лечек, проходят через одну и ту жат на одной прямой; тогда же точку. Тогда три точки пе- три прямые, соединяющие точресечення прямых ЛВ и А'В', ки (аЬ) и (а'Ь'), (Ьс) и (Ь'с')', ВС и В'С', СЛ и С'А' лезсат на (са) и (с'а'), проходят через одной прямой. одну и ту же точку.

Пусть даны три пары точек АА', ВВ' и СС' так, что прямые, соединяющие каждую пару, проходят через одну и ту Пусть даны три пары плоскостей иа', (1(1', тт' так, что л инии пересечения этих пар плоскостей лежат в одной пло» Рассмотрим теперь фигуру, состоящую из вершин и сторон двух лежащих в одной плоскости дезарговых треугольников, прямых, соединяющих соответствующие пары вершин, точек пере. сечения соответствующих й пар сторон, дезарговой точ.

ки О и дезарговой прямой д (рис. 135). Простой подсчет показывает, что эта фигура представляет конфигурацию (! Оз). Она называется де» зарговой конфигурацией. Она имеет то общее с конфигурацией Паскаля свой. ство,что при последователь. Рис. 135. ном построении ее шаг за шагом последняя инцидент* лость выполняется сама собой. Далее конфигурация Дезарга, так же как и конфигурация Паскаля, двойственно инвариантна. В самом деле, она представляет одновременно как теорему Де. зарга, так и ей двойственную теорему, которая выражает пред. ложеиие, соответствующее теореме Дезарга по принципу двой.

ствениости. Применим к дезарговой теореме в пространстве простран ственный принцип двойственности. При этом мы получаем такое сопоставление; й ьа еесконечно удаленные элементы в прострлнсгвв гз1 скости. Тогда три плоскости, проведенные через прямые )ар) (а'р'), (()у) (р'у'), (уа) (у а'), проходят через одну и ту же прямую. же точку, Тогда три точки пе- ресечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' должны лежать на одной прямой. ') При этом необходимо только, чтобы взятые 5 точек имели общее распоаожение, т.

е. чтобы никакие 4 из ннх ие лежали в одной плосхости н, значит, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой. з) Полным пространственным л.угольником иазываетси совокупность вссх прямых и плосностей, соединяющих и точен, произвольно расположенных Теорема, написанная справа, наглядно представлена на рис. 136.

Вместо двух трсугольников мы имеем в этой теореме два телесных угла, образованных плоскостями а, 1), у и сс", 1)', у'. Подобно тому, как мы зто делали на плоскости, рассмотрим н здесь пространственную фигуру, зу лу' х составленную из обоих дезарго- у' вых углов, плоскостей, проведен- а ных через соответствующие реб- я уы' ра, линий пересечения соответ. ч од уу ствующнх граней, «дезарговых плоскостей» (аа', ф', ур' на рис. 136) и «дезарговой прямой» ол ,(у"йг на рис. 136).

Если мы пере- у сечем эту пространственную фн- х гуру произвольной плоскостью, непроходящей через точки )г,%', Х, у, л, то мы получим в этой плоскости дезаргову конфигурацию, так как ребра дезарговых телесных углов образуют в пересечении с плоскостью вершины 'дезарговых треугольников. Плоскостям и прямым пространственной фигуры соответствуют прямые и точки плоской конфигурации. Но пространственная фигура обладает внутренней симметрией, которую нельзя усмотреть в плоской конфигурации, именно — пространственная фигура состоит из всех плоскостей н прямых, соединяющих пять точек )г, ))т, Х, У, 2, причем эти пять точек вполне равноправны.

Обратно, всякий пространственный пятиугольник приводит к пространственной дезарговой фигуре, если произвольно выбрать две вершияы '). Л так как в пространственной фигуре все прямые и плоскости равноправны, то и точки и прямыс плоской дсзарговой конфигурации должны быть также равноправными. Таким образом, мы доказали, что дезаргова конфигурация правильна и что можно произволно выбрать дезаргову точку или дсзаргову прямую в конфигурации г) гл. нь конэигэрации 132 Теперь мы представим дезаргову конфигурацию как пару пятиугольников, одновременно описанных и вписанных друг' в .7 Рис.

137б. Рнс, 137а, друга. Для этого нам придется сначала найти вообще те пятиугольники, которые входят в конфигурацию. Итак, мы требуем, чтобы все вершины и стороны многоугольника были элементами конфигурации и чтобы никакие три последовательные вершины не лежали на одной прямой. Задача значительно упрощается, если мы обратимся к пространственному пятиугольнику. Верши. нам плоского многоугольника соответствуют ребра пространственного многоугольника.

Так как две последовательные вер. шины плоского многоугольника должны лежать на одной пря. мой конфигурации, то соответствующие ребра лежат в одной плоскости и, следовательно, инцидентны. Для того чтобы три последовательные вершины лежали на одной прямой, необхо. димо только потребовать, чтобы соответствующие ребра лежали в одной плоскости, Это будет в том и только в том случае, если три последовательных ребра образуют треугольник. Если теперь мы будем в каком-нибудь порядке обходить основные точки УгггХУЯ пространственного пятиугольника, например в по.

рядке, в каком они здесь выписаны, то мы получим замкнутую последовательность ребер, как это нам и требуется. Она и даст нам в конфигурации пятиугольник, который нам нужен. Стороны в пространстве. Как для случая л 5, так я для произвольного л, мы всегда получнм конфнгурацяю, если пересечем полный л-угольннк некоторой пло. скостью, не проходяшей нп через одну вершнну. Все такие конфнгурацнн правнльпы. Онп прняадлежат к типу «(~ — 1) Р' 2 г Таким образом нонфнгурацня спецпального типа р Л получается только для случая л 5. Дальнейшне правнльные конфнгурацнн получаются, есля исходить нз л-угольннков обшего расположеяяя в пространствах высшях намеренна.

Все такие конфнгурацпн называются чмяогогранвымв»„ З 1Э. ВЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 133 пространственного пятиугольника, которые при таком обходе остаются неиспользованными, образуют второй пространствен. ный многоугольник подобного же рода, Таким образом через каждую основную точку пространственного пятиугольника про- ходят две такие стороны, так как всего из каждой осяовной точ- ки выходят четыре ребра и два из них уже были использованы при первом обходе. Второй последовательности ребер соответ- ствует в конфигурации второй пятиугольник, и простые сообра- жения показывают, что он должен быть вписан в первый.

Характеристики

Список файлов книги